Aufgaben zu Spurpunkten einer Geraden

Wie gut kennst du dich aus? Vertiefe dein Wissen mit diesen Aufgaben zu den Spurpunkten und von Geraden.

Berechne die möglichen Spurpunkte der gegebenen Geraden.

Skizziere jeweils die Geraden und gib an, welche Lage die Geraden im Koordinatensystem haben.

$g:\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden

Spurpunkte berechnen

Um den Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene zu berechnen, setzt man $x_{3} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ :

$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 3+r\cdot 0$
	↓	Setze $x_{3} = 0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3+r\cdot 0$

Die erhaltene Gleichung $0=3+r\cdot 0$ ist für kein $r$ erfüllbar (falsche Aussage).

Somit gibt es keinen Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene.

Für die Berechnung des Spurpunktes in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{2} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .

$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2+2\cdot r$
	↓	Setze $x_{2} = 0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2+2\cdot r$	$\displaystyle -2$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle 2\cdot r$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle -1$

Der Wert $r = - 1$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene zu berechnen:

$\displaystyle \vec{X}_{S_{13}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r = - 1$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1+1 \\ 2-2 \\ 3-0 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{13}(2|0|3)$ .

Für den Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{1} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .

$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 1-r$
	↓	Setze $x_{1} = 0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1-r$	$\displaystyle +r$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 1$

Der Wert $r = 1$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene zu berechnen:

$\displaystyle \vec{X}_{S_{23}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r = 1$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1-1 \\ 2+2 \\ 3+0 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{23}(0|4|3)$ .

Skizze der Geraden

Lage der Geraden im Koordinatensystem

Die Gerade $g$ ist parallel zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene.

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$h:\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden

Spurpunkte berechnen

Um den Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene zu berechnen, setzt man $x_{3} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ :

$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 1-2\cdot r$
	↓	Setze $x_{3} = 0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1-2\cdot r$	$\displaystyle +2r$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle 2\cdot r$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Der Wert $r=\dfrac{1}{2}$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene zu berechnen:

$\displaystyle \vec{X}_{S_{12}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r=\dfrac{1}{2}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1+\frac{1}{2} \\[1ex] 2+\frac{3}{2} \\ 1-1 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1{,}5 \\ 3{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}$

Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{12}(1{,}5|3{,}5|0)$ .

Für die Berechnung des Spurpunktes in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{2} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .

$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2+3\cdot r$
	↓	Setze $x_{2} = 0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2+3\cdot r$	$\displaystyle -2$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle 3\cdot r$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{2}{3}$

Der Wert $r=-\dfrac{2}{3}$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene zu berechnen:

$\displaystyle \vec{X}_{S_{13}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r=-\frac{2}{3}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+(-\frac{2}{3})\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1-\frac{2}{3} \\ 2-2 \\ 1+\frac{4}{3} \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac{1}{3} \\ 0 \\ \frac{7}{3} \end{pmatrix}$

Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{13}(\frac{1}{3}|0|\frac{7}{3})$ .

Für den Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{1} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .

$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 1+r$
	↓	Setze $x_{1} = 0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1+r$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle -1$

Der Wert $r = - 1$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene zu berechnen:

$\displaystyle \vec{X}_{S_{23}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r = - 1$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1-1 \\ 2-3 \\ 1+2 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{23}(0|-1|3)$ .

Skizze der Geraden

Lage der Geraden im Koordinatensystem

Die Gerade $h$ ist zu keiner Koordinatenebene parallel.

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$k:\overrightarrow{X}=r\cdot \begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden
Anhand der Geradengleichung kannst du feststellen, dass die Gerade $k$ durch den Koordinatenursprung verläuft. Sie ist außerdem zu keiner Koordinatenebene parallel. Es gibt somit nur einen Spurpunkt $S (0 ∣ 0 ∣ 0)$ .
Skizze der Geraden
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$l:\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden

Spurpunkte berechnen

Um den Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene zu berechnen, setzt man $x_{3} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ :

$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 1-2\cdot r$
	↓	Setze $x_{3} = 0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1-2\cdot r$	$\displaystyle +2r$
$\displaystyle 2\cdot r$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Der Wert $r=\dfrac{1}{2}$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene zu berechnen:

$\displaystyle \vec{X}_{S_{12}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r=\frac{1}{2}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+(\frac{1}{2})\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 +0\\ 2 +\frac{3}{2}\\ 1-1 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\3{,}5\\ 0\end{pmatrix}$

Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{12}(0|3{,}5|0)$ .

Für die Berechnung des Spurpunktes in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{2} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .

$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2+3\cdot r$
	↓	Setze $x_{2} = 0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2+3\cdot r$	$\displaystyle -2$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle 3\cdot r$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{2}{3}$

Der Wert $r=-\dfrac{2}{3}$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene zu berechnen:

$\displaystyle \vec{X}_{S_{12}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r=-\frac{2}{3}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+(-\frac{2}{3})\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 +0\\ 2 -2\\ 1+\frac{4}{3} \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\0\\ \frac{7}{3}\end{pmatrix}$

Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{13}\left(0|0|\frac{7}{3}\right)$ .

Für den Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{1} = 0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .

$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0+0\cdot r$
	↓	Setze $x_{1} = 0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0+0\cdot r$

Du hast die Gleichung $0=0+0\cdot r$ erhalten. Diese Gleichung ist für alle $r$ erfüllt ( wahre Aussage). Die Gerade hat somit unendlich viele Schnittpunkte mit der $x_{2} x_{3}$ -Ebene, d.h. die Gerade hat auch unendlich viele Spurpunkte in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene.

Skizze der Geraden

Lage der Geraden im Koordinatensystem

Die Gerade $l$ liegt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene.

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2
Die Gerade $g$ hat nur einen einzigen Spurpunkt $S$ . Welche besondere Lage hat die Gerade $g$ im Koordinatensystem?
1. $S (0 ∣ 1 ∣ 3)$
  Die Gerade g verläuft parallel zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene und parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene.
  Die Gerade g verläuft parallel zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene und parallel zur $x_{2} x_{3}$ -Ebene.
  Die Gerade g verläuft parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene und parallel zur $x_{2} x_{3}$ -Ebene.
  Die Gerade g verläuft parallel zur $x_{1}$ -Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte von Geraden
  Wegen $x_{1} = 0$ liegt der einzige Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene. Somit verläuft die Gerade $g$ parallel zur $x_{1}$ -Achse bzw. die Gerade $g$ ist parallel zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene und parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene.
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2. $S (1 ∣ 4 ∣ 0)$
  Die Gerade g verläuft parallel zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene und parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene.
  Die Gerade g verläuft parallel zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene und parallel zur $x_{2} x_{3}$ -Ebene.
  Die Gerade g verläuft parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene und parallel zur $x_{2} x_{3}$ -Ebene.
  Die Gerade g verläuft parallel zur $x_{3}$ -Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte von Geraden
  Wegen $x_{3} = 0$ liegt der einzige Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene. Somit verläuft die Gerade $g$ parallel zur $x_{3}$ -Achse bzw. die Gerade $g$ ist parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene und parallel zur $x_{2} x_{3}$ -Ebene.
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