Aufgaben zu Spurpunkten einer Geraden
Wie gut kennst du dich aus? Vertiefe dein Wissen mit diesen Aufgaben zu den Spurpunkten und von Geraden.
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Berechne die möglichen Spurpunkte der gegebenen Geraden.
Skizziere jeweils die Geraden und gib an, welche Lage die Geraden im Koordinatensystem haben.
g:X=123+r⋅−120
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden
Spurpunkte berechnen
Um den Spurpunkt in der x1x2-Ebene zu berechnen, setzt man x3=0 in der Geradengleichung und berechnet den Parameter r:
x3 = 3+r⋅0 ↓ Setze x3=0.
0 = 3+r⋅0 Die erhaltene Gleichung 0=3+r⋅0 ist für kein r erfüllbar (falsche Aussage).
Somit gibt es keinen Spurpunkt in der x1x2-Ebene.
Für die Berechnung des Spurpunktes in der x1x3-Ebene setzt man x2=0 in der Geradengleichung und berechnet den Parameter r.
x2 = 2+2⋅r ↓ Setze x2=0.
0 = 2+2⋅r −2 ↓ Löse nach r auf.
−2 = 2⋅r :2 r = −1 Der Wert r=−1 wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der x1x3-Ebene zu berechnen:
XS13 = 123+r⋅−120 ↓ Setze r=−1 ein.
= 123+(−1)⋅−120 ↓ Vereinfache
= 1+12−23−0 = 203 Der Spurpunkt in der x1x3-Ebene hat die Koordinaten S13(2∣0∣3).
Für den Spurpunkt in der x2x3-Ebene setzt man x1=0 in der Geradengleichung und berechnet den Parameter r.
x1 = 1−r ↓ Setze x1=0.
0 = 1−r +r ↓ Löse nach r auf.
r = 1 Der Wert r=1 wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der x2x3-Ebene zu berechnen:
XS23 = 123+r⋅−120 ↓ Setze r=1 ein.
= 123+1⋅−120 = 1−12+23+0 = 043 Der Spurpunkt in der x2x3-Ebene hat die Koordinaten S23(0∣4∣3).
Skizze der Geraden
Lage der Geraden im Koordinatensystem
Die Gerade g ist parallel zur x1x2-Ebene.
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h:OX=121+r⋅13−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden
Spurpunkte berechnen
Um den Spurpunkt in der x1x2-Ebene zu berechnen, setzt man x3=0 in der Geradengleichung und berechnet den Parameter r:
x3 = 1−2⋅r ↓ Setze x3=0.
0 = 1−2⋅r +2r ↓ Löse nach r auf.
2⋅r = 1 :2 r = 21 Der Wert r=21 wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der x1x2-Ebene zu berechnen:
XS12 = 121+r⋅13−2 ↓ Setze r=21 ein.
= 121+21⋅13−2 ↓ Vereinfache
= 1+212+231−1 = 1,53,50 Der Spurpunkt in der x1x2-Ebene hat die Koordinaten S12(1,5∣3,5∣0).
Für die Berechnung des Spurpunktes in der x1x3-Ebene setzt man x2=0 in der Geradengleichung und berechnet den Parameter r.
x2 = 2+3⋅r ↓ Setze x2=0.
0 = 2+3⋅r −2 ↓ Löse nach r auf.
−2 = 3⋅r :3 r = −32 Der Wert r=−32 wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der x1x3-Ebene zu berechnen:
XS13 = 121+r⋅13−2 ↓ Setze r=−32 ein.
= 121+(−32)⋅13−2 ↓ Vereinfache
= 1−322−21+34 = 31037 Der Spurpunkt in der x1x3-Ebene hat die Koordinaten S13(31∣0∣37).
Für den Spurpunkt in der x2x3-Ebene setzt man x1=0 in der Geradengleichung und berechnet den Parameter r.
x1 = 1+r ↓ Setze x1=0.
0 = 1+r −1 r = −1 Der Wert r=−1 wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der x2x3-Ebene zu berechnen:
XS23 = 121+r⋅13−2 ↓ Setze r=−1 ein.
= 121+(−1)⋅13−2 ↓ Vereinfache
= 1−12−31+2 = 0−13 Der Spurpunkt in der x2x3-Ebene hat die Koordinaten S23(0∣−1∣3).
Skizze der Geraden
Lage der Geraden im Koordinatensystem
Die Gerade h ist zu keiner Koordinatenebene parallel.
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k:X=r⋅221
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden
Anhand der Geradengleichung kannst du feststellen, dass die Gerade k durch den Koordinatenursprung verläuft. Sie ist außerdem zu keiner Koordinatenebene parallel. Es gibt somit nur einen Spurpunkt S(0∣0∣0).
Skizze der Geraden
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l:X=021+r⋅03−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden
Spurpunkte berechnen
Um den Spurpunkt in der x1x2-Ebene zu berechnen, setzt man x3=0 in der Geradengleichung und berechnet den Parameter r:
x3 = 1−2⋅r ↓ Setze x3=0.
0 = 1−2⋅r +2r 2⋅r = 1 :2 r = 21 Der Wert r=21 wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der x1x2-Ebene zu berechnen:
XS12 = 021+r⋅03−2 ↓ Setze r=21 ein.
= 021+(21)⋅03−2 ↓ Fasse zusammen.
= 0+02+231−1 = 03,50 Der Spurpunkt in der x1x2-Ebene hat die Koordinaten S12(0∣3,5∣0).
Für die Berechnung des Spurpunktes in der x1x3-Ebene setzt man x2=0 in der Geradengleichung und berechnet den Parameter r.
x2 = 2+3⋅r ↓ Setze x2=0.
0 = 2+3⋅r −2 ↓ Löse nach r auf.
−2 = 3⋅r :3 r = −32 Der Wert r=−32 wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der x1x3-Ebene zu berechnen:
XS12 = 021+r⋅03−2 ↓ Setze r=−32 ein.
= 021+(−32)⋅03−2 ↓ Fasse zusammen.
= 0+02−21+34 = 0037 Der Spurpunkt in der x1x3-Ebene hat die Koordinaten S13(0∣0∣37).
Für den Spurpunkt in der x2x3-Ebene setzt man x1=0 in der Geradengleichung und berechnet den Parameter r.
x1 = 0+0⋅r ↓ Setze x1=0.
0 = 0+0⋅r Du hast die Gleichung 0=0+0⋅r erhalten. Diese Gleichung ist für alle r erfüllt ( wahre Aussage). Die Gerade hat somit unendlich viele Schnittpunkte mit der x2x3-Ebene, d.h. die Gerade hat auch unendlich viele Spurpunkte in der x2x3-Ebene.
Skizze der Geraden
Lage der Geraden im Koordinatensystem
Die Gerade l liegt in der x2x3-Ebene.
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Die Gerade g hat nur einen einzigen Spurpunkt S. Welche besondere Lage hat die Gerade g im Koordinatensystem?
S(0∣1∣3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte von Geraden
Wegen x1=0 liegt der einzige Spurpunkt in der x2x3-Ebene. Somit verläuft die Gerade g parallel zur x1-Achse bzw. die Gerade g ist parallel zur x1x2-Ebene und parallel zur x1x3-Ebene.
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S(1∣4∣0)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte von Geraden
Wegen x3=0 liegt der einzige Spurpunkt in der x1x2-Ebene. Somit verläuft die Gerade g parallel zur x3-Achse bzw. die Gerade g ist parallel zur x1x3-Ebene und parallel zur x2x3-Ebene.
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