Spurpunkte einer Geraden

Anzahl der Spurpunkte

• $1$ Spurpunkt$\Rightarrow$Gerade ist parallel zu einer Koordinatenachse (und liegt nicht in einer der drei Koordinatenebenen)

• $2$ Spurpunkte $\Rightarrow$Gerade ist parallel zu einer Koordinatenebene (und liegt nicht in dieser Koordinatenebene)

• $3$ Spurpunkte $\Rightarrow$Gerade ist nicht parallel zu einer der drei Koordinatenebenen

• unendlich viele Spurpunkte$\Rightarrow$ Gerade liegt in einer der Koordinatenebenen oder liegt auf einer der Koordinatenachsen

Sonderfälle

• Gerade schneidet eine Koordinatenachse$\Rightarrow$$2$ Spurpunkte fallen zusammen und haben gleiche Koordinaten

• Gerade geht durch den Koordinatenursprung$\Rightarrow$alle 3 Spurpunkte fallen zusammen

Wie werden die Spurpunkte berechnet?

Spurpunkt der Geraden $g$ in der $x_1{x}_2$-Ebene $S_{12}$ $\Rightarrow$ man setzt $x_3=0$

Spurpunkt der Geraden $g$ in der $x_1{x}_3$-Ebene $S_{13}$ $\Rightarrow$ man setzt $x_2=0$

Spurpunkt der Geraden $g$ in der $x_2{x}_3$-Ebene $S_{23}$ $\Rightarrow$ man setzt $x_1=0$

Die jeweils aufgestellte Gleichung wird nach dem Parameter $r$ aufgelöst.

Der für $r$ berechnete Wert wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.

Beispiel für die Berechnung der Spurpunkte

Gegeben ist die Gerade $g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$. Bestimme mögliche Spurpunkte von $g$.

Berechnung des Spurpunktes $S_{12}$ in der $x_1{x}_2$-Ebene

Um den Spurpunkt in der $x_1{x}_2$-Ebene zu berechnen, setzt man $x_3=0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$:

$r=-2$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um den Spurpunkt in der $x_1{x}_2$-Ebene zu berechnen:

Der Spurpunkt in der $x_1{x}_2$-Ebene hat die Koordinaten $S_{12}(-2|5|0)$.

Berechnung des Spurpunktes $S_{13}$ in der $x_1{x}_3$-Ebene

Für die Berechnung des Spurpunktes in der $x_1{x}_3$-Ebene setzt man $x_2=0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$.

Die erhaltene Gleichung $0=5+r\cdot 0$ ist für kein $r$ erfüllbar (falsche Aussage).

Somit gibt es keinen Spurpunkt in der $x_1{x}_3$-Ebene.

Die Gerade $g$ verläuft parallel zur $x_1{x}_3$-Ebene.

Graphische Veranschaulichung

Allgemeine Vorgehensweise für die Berechnung der Spurpunkte

Der Spurpunkt $S_{12}$ in der $x_1{x}_2$-Ebene soll berechnet werden. In der $x_1{x}_2$-Ebene gilt immer $x_3=0$.

1. Man setzt die $x_3$-Koordinate eines Punktes der Geraden $g:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+r\cdot \overrightarrow{u}$ gleich null und berechnet den Wert für den Parameter $r$:

Achtung: Eine Lösung ergibt sich nur für $u_3\ne 0$, andernfalls ist die Gerade $g$ parallel zur $x_1{x}_2$-Ebene oder die Gerade $g$ liegt in der $x_1{x}_2$-Ebene.

2. Der berechnete Wert für $r=-{\displaystyle \frac{a_3}{u_3}}$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes zu berechnen$\Rightarrow {\overrightarrow{X}}_{S_{12}}=\overrightarrow{A}-{\displaystyle \frac{a_3}{u_3}}\cdot \overrightarrow{u}$.

Für die anderen beiden Spurpunkte $S_{13}$ und $S_{23}$ geht man analog vor.