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Spurgeraden einer Ebene

Als Spurgeraden einer Ebene E bezeichnet man die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen.

Spurgeraden

Anzahl der Spurgeraden

  • 2 Spurgeraden: Ebene ist parallel zu einer der drei Koordinatenebenen; die beiden Spurgeraden stehen senkrecht aufeinander Ebene liegt in einer Koordinatenebene, die beiden Spurgeraden stehen senkrecht aufeinander und schneiden sich im Ursprung

  • 3 Spurgeraden: Ebene ist parallel zu einer Koordinatenachse. Dann sind zwei Spurgeraden parallel zueinander und parallel zu dieser Achse. Die dritte Spurgerade steht senkrecht auf den beiden parallelen Spurgeraden. Ebene ist weder zu einer Koordinatenebene noch zu einer Koordinatenachse parallel

Sonderfall

  • 3 Spurgeraden: Ebene verläuft durch den Koordinatenursprung und ist nicht parallel zu einer Koordinatenebene oder Koordinatenachse; die drei Spurgeraden schneiden sich im Ursprung

Wie werden die Spurgeraden berechnet?

Die Ebene E kann in verschiedenen Formen vorliegen.

Man geht davon aus, dass sie in Koordinatenform vorliegt.

Anmerkung: Liegt die Ebene in Parameterform vor, ist es sinnvoll, diese Ebene in die Koordinatenform umzuwandeln. Möchte man die Parameterform nicht umwandeln, befindet sich die "Vorgehensweise für eine Ebene in Parameterform" zum Ausklappen im Artikel weiter unten.

Spurgerade in der x1x2-Ebene

Für die Spurgerade in der x1x2-Ebene benötigt man die beiden Spurpunkte S1 und S2.

Schnittpunkt mit

Benennung

Berechnung

der x1-Achse

S1

setze x2=x3=0

berechne x1

der x2-Achse

S2

setze x1=x3=0

berechne x2

Mit den beiden berechneten Punkten S1 und S2 erstellt man die Gleichung der Spurgeraden in der x1x2-Ebene g12:X=S1+r(S2S1).

Die Gleichungen der Spurgeraden mit der x1x3-Ebene und mit der x2x3-Ebene erhält man analog.

Beispiel für die Bestimmung der Spurgeraden

Gegeben ist eine Ebene in Koordinatenform E:3x1+2x2+4x3=6.

Berechne mögliche Spurgeraden.

Spurgerade in der x1x2-Ebene

Für die Spurgerade (Schnittgerade) der Ebene E mit der x1x2-Ebene benötigt man die beiden Spurpunkte S1 und S2.

Für den Spurpunkt S1 (Schnittpunkt mit der x1​-Achse) setzt manx2​ und x3gleich null und berechnet x1:

E:3x1+2x2+4x3=6

Setze x2=x3=0 in E ein.

3x1+20+40=6
3x1=6:3
x1=2

Der Spurpunkt S1 hat die Koordinaten S1(2|0|0).

Für den Spurpunkt S2 (Schnittpunkt mit der x2​-Achse) setzt manx1​ und x3gleich null und berechnet x2:

E:3x1+2x2+4x3=6

Setze x1=x3=0 in E ein.

30+2x2+40=6
2x2=6:2
x2=3

Der Spurpunkt S2 hat die Koordinaten S2(0|3|0).

Mit den beiden Punkten S1 und S2 erstellt man die Gleichung der Spurgeraden in der x1x2-Ebene:

g12:X=S1+r(S2S1)

Setze S1 und S2 ein.

=(200)+r((030)(200))
=(200)+r(230)

Die Gleichung der Spurgeraden in der x1x2-Ebene lautet:

g12:X=(200)+r(230)

Die Spurgeraden der Ebene E mit der x1x3-Ebene und mit der x2x3-Ebene erhält man analog.

Graphische Darstellung

drei Spurgeraden

drei Spurgeraden

Spurdreieck

Das Spurdreieck ist ein Dreieck, das von den drei Spurgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen begrenzt wird. Die Dreiecksecken liegen auf den Koordinatenachsen und sind die Spurpunkte der Ebene.

Spurdreieck

Spurdreieck (in rot)

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Spurpunkten und Spurgeraden einer Ebene

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