Spurgeraden einer Ebene

Anzahl der Spurgeraden

• 2 Spurgeraden: Ebene ist parallel zu einer der drei Koordinatenebenen; die beiden Spurgeraden stehen senkrecht aufeinander Ebene liegt in einer Koordinatenebene, die beiden Spurgeraden stehen senkrecht aufeinander und schneiden sich im Ursprung

• 3 Spurgeraden: Ebene ist parallel zu einer Koordinatenachse. Dann sind zwei Spurgeraden parallel zueinander und parallel zu dieser Achse. Die dritte Spurgerade steht senkrecht auf den beiden parallelen Spurgeraden. Ebene ist weder zu einer Koordinatenebene noch zu einer Koordinatenachse parallel

Sonderfall

• 3 Spurgeraden: Ebene verläuft durch den Koordinatenursprung und ist nicht parallel zu einer Koordinatenebene oder Koordinatenachse; die drei Spurgeraden schneiden sich im Ursprung

Wie werden die Spurgeraden berechnet?

Die Ebene $EE$ kann in verschiedenen Formen vorliegen.

Man geht davon aus, dass sie in Koordinatenform vorliegt.

Anmerkung: Liegt die Ebene in Parameterform vor, ist es sinnvoll, diese Ebene in die Koordinatenform umzuwandeln. Möchte man die Parameterform nicht umwandeln, befindet sich die "Vorgehensweise für eine Ebene in Parameterform" zum Ausklappen im Artikel weiter unten.

Spurgerade in der $x_1{x}_{2}x\_1x\_2$-Ebene

Für die Spurgerade in der $x_1{x}_{2}x\_1x\_2$-Ebene benötigt man die beiden Spurpunkte $S_{1}S\_\{1\}$ und $S_{2}S\_2$.

Mit den beiden berechneten Punkten $S_{1}S\_\{1\}$ und $S_{2}S\_\{2\}$ erstellt man die Gleichung der Spurgeraden in der $x_1{x}_{2}x\_1x\_2$-Ebene$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ $g_{12}:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{S_1}+r\cdot (\overrightarrow{S_2}-\overrightarrow{S_1})g\_\{12\}:\backslash ;\backslash overrightarrow\{X\}=\backslash overrightarrow\{S\_1\}+r\backslash cdot\backslash left(\backslash overrightarrow\{S\_2\}-\backslash overrightarrow\{S\_1\}\backslash right)$.

Die Gleichungen der Spurgeraden mit der $x_1{x}_{3}x\_1x\_3$-Ebene und mit der $x_2{x}_{3}x\_2x\_3$-Ebene erhält man analog.

Beispiel für die Bestimmung der Spurgeraden

Gegeben ist eine Ebene in Koordinatenform $E:3x_1+2x_2+4x_3=6E:\backslash ;3x\_1+2x\_2+4x\_3=6$.

Berechne mögliche Spurgeraden.

Spurgerade in der $x_1{x}_{2}x\_1x\_2$-Ebene

Für die Spurgerade (Schnittgerade) der Ebene $EE$ mit der $x_1{x}_{2}x\_1x\_2$-Ebene benötigt man die beiden Spurpunkte $S_{1}S\_\{1\}$ und $S_{2}S\_\{2\}$.

Für den Spurpunkt $S_{1}S\_\{1\}$ (Schnittpunkt mit der $x_{1}x\_1$​-Achse) setzt man$x_2 x\_2$​ und $x_3\text{ }x\_3$gleich null und berechnet $x_1\text{}x\_1$:

Der Spurpunkt $S_{1}S\_\{1\}$ hat die Koordinaten $S_1(2\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)S\_\{1\}(2|0|0)$.

Für den Spurpunkt $S_{2}S\_\{2\}$ (Schnittpunkt mit der $x_{2}x\_2$​-Achse) setzt man$x_1 x\_1$​ und $x_3\text{ }x\_3$gleich null und berechnet $x_{2}x\_2$:

Der Spurpunkt $S_{2}S\_\{2\}$ hat die Koordinaten $S_2(0\mathrm{\mid }3\mathrm{\mid }0)S\_\{2\}(0|3|0)$.

Mit den beiden Punkten $S_{1}S\_\{1\}$ und $S_{2}S\_\{2\}$ erstellt man die Gleichung der Spurgeraden in der $x_1{x}_{2}x\_1x\_2$-Ebene:

Die Gleichung der Spurgeraden in der $x_1{x}_{2}x\_1x\_2$-Ebene lautet:

Die Spurgeraden der Ebene $EE$ mit der $x_1{x}_{3}x\_1x\_3$-Ebene und mit der $x_2{x}_{3}x\_2x\_3$-Ebene erhält man analog.

Graphische Darstellung

Spurdreieck

Das Spurdreieck ist ein Dreieck, das von den drei Spurgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen begrenzt wird. Die Dreiecksecken liegen auf den Koordinatenachsen und sind die Spurpunkte der Ebene.