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Spurpunkte einer Ebene

Als Spurpunkte einer Ebene E bezeichnet man die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen des Koordinatensystems.

Mithilfe der Spurpunkte kann eine Ebene im Koordinatensystem gezeichnet werden.

Spurpunkte von Ebenen

Anzahl der Spurpunkte

  • 1 SpurpunktEbene ist echt parallel zu einer Koordinatenebene

  • 2 SpurpunkteEbene ist echt parallel zu einer Koordinatenachse und nicht parallel zu einer Koordinatenebene

  • 3 SpurpunkteEbene ist weder zu einer Koordinatenebene noch zu einer Koordinatenachse parallel

Sonderfälle:

  • Ebene geht durch den Koordinatenursprung und ist nicht parallel zu einer Koordinatenebene 1 Spurpunkt im Koordinatenursprung

  • Ebene enthält eine Koordinatenachse unendlich viele Spurpunkte

  • Ebene liegt in einer Koordinatenebene unendlich viele Spurpunkte

Wie werden die Spurpunkte berechnet?

Die Ebene E kann in verschiedenen Formen vorliegen.

Man geht davon aus, dass sie in Koordinatenform vorliegt.

Anmerkung: Liegt die Ebene in Parameterform vor, ist es sinnvoll, diese Ebene in die Koordinatenform umzuwandeln. Möchte man die Parameterform nicht umwandeln, befindet sich die "Vorgehensweise für eine Ebene in Parameterform" zum Ausklappen im Artikel weiter unten.

Schnittpunkt mit

Benennung

Berechnung

der x1-Achse

S1

setze x2=x3=0

berechne x1

der x2-Achse

S2

setze x1=x3=0

berechne x2

der x3-Achse

S3

setze x1=x2=0

berechne x3

VorsichtBeachte!

Nicht immer kann die gegebene Gleichung z.B. nach x1 aufgelöst werden. Dann liegt die Ebene E parallel zur x1-Achse, oder die Ebene E enthält die x1-Achse.

Beispiel für die Berechnung der Spurpunkte

Gegeben ist die Ebene E:2x14x2+3x3=6 in Koordinatenform.

Berechne ihre möglichen Spurpunkte (Achsenschnittpunkte).

Berechnung des Spurpunktes S1

Für den Spurpunkt S1 (Schnittpunkt mit der x1-Achse) setzt man x2 und x3 gleich null und berechnet x1:

2x14x2+3x3=6

Setze x2=x3=0 ein.

2x140+30=6:2
x1=3

Der Spurpunkt S1 hat die Koordinaten S1(3|0|0).

Graphische Darstellung

Spurpunkte einer Ebene

Allgemeine Vorgehensweise für die Berechnung der Spurpunkte

Gegeben ist die Ebene E:ax1+bx2+cx3=d in Koordinatenform.

Bestimme die möglichen Spurpunkte von E.

Berechnung des Spurpunktes S1

Für den Spurpunkt S1 (Schnittpunkt mit der x1-Achse) setzt man x2 und x3 gleich null und berechnet x1:

ax1+bx2+cx3=d

Setze x2=x3=0 ein.

ax1=d:a
x1=da

Eine Lösung ergibt sich nur für a0, andernfalls ist die Ebene E parallel zur x1-Achse oder die Ebene E enthält die x1-Achse.

Die Ebene E schneidet die x1-Achse im Punkt S1(da|0|0)

Für die anderen beiden Spurpunkte S2 und S3 geht man analog vor.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Spurpunkten und Spurgeraden einer Ebene

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