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Spurpunkte einer Ebene

Spurpunkte von Ebenen

Als Spurpunkte einer Ebene EE bezeichnet man die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen des Koordinatensystems.

Mithilfe der Spurpunkte kann eine Ebene im Koordinatensystem gezeichnet werden.

Anzahl der Spurpunkte

  • 11 Spurpunkt  ⇒  \;\Rightarrow\;Ebene ist echt parallel zu einer Koordinatenebene

  • 22 Spurpunkte  ⇒  \;\Rightarrow\;Ebene ist echt parallel zu einer Koordinatenachse und nicht parallel zu einer Koordinatenebene

  • 33 Spurpunkte  ⇒  \;\Rightarrow\;Ebene ist weder zu einer Koordinatenebene noch zu einer Koordinatenachse parallel

SonderfÀlle:

  • Ebene geht durch den Koordinatenursprung und ist nicht parallel zu einer Koordinatenebene  ⇒  \;\Rightarrow\; 1 1 Spurpunkt im Koordinatenursprung

  • Ebene enthĂ€lt eine Koordinatenachse ⇒  \Rightarrow\; unendlich viele Spurpunkte

  • Ebene liegt in einer Koordinatenebene ⇒  \Rightarrow\;unendlich viele Spurpunkte

Wie werden die Spurpunkte berechnet?

Die Ebene EE kann in verschiedenen Formen vorliegen.

Man geht davon aus, dass sie in Koordinatenform vorliegt.

Anmerkung: Liegt die Ebene in Parameterform vor, ist es sinnvoll, diese Ebene in die Koordinatenform umzuwandeln. Möchte man die Parameterform nicht umwandeln, befindet sich die "Vorgehensweise fĂŒr eine Ebene in Parameterform" zum Ausklappen im Artikel weiter unten.

Schnittpunkt mit

Benennung

Berechnung

der x1x_1-Achse

S1S_1

setze x2=x3=0 x_2= x_3=0

berechne x1x_1

der x2x_2-Achse

S2S_2

setze x1=x3=0 x_1= x_3=0

berechne x2x_2

der x3x_3-Achse

S3S_3

setze x1=x2=0 x_1= x_2=0

berechne x3x_3

VorsichtBeachte!

Nicht immer kann die gegebene Gleichung z.B. nach x1x_1 aufgelöst werden. Dann liegt die Ebene EE parallel zur x1x_1-Achse, oder die Ebene E E enthÀlt die x1x_1-Achse.

Beispiel fĂŒr die Berechnung der Spurpunkte

Gegeben ist die Ebene E:  2x1−4x2+3x3=6E:\;2x_1-4x_2+3x_3=6 in Koordinatenform.

Berechne ihre möglichen Spurpunkte (Achsenschnittpunkte).

Berechnung des Spurpunktes S1​ S_{1}​ 

FĂŒr den Spurpunkt S1S_{1} (Schnittpunkt mit der x1x_1-Achse) setzt man x2x_2 und x3x_3 gleich null und berechnet x1x_1:

2x1−4x2+3x3\displaystyle 2x_1-4x_2+3x_3==6\displaystyle 6
↓

Setze x2=x3=0x_2=x_3=0 ein.

2⋅x1−4⋅0+3⋅0\displaystyle 2\cdot x_1-4\cdot 0+3\cdot 0==6\displaystyle 6:2\displaystyle :2
x1\displaystyle x_1==3\displaystyle 3

Der Spurpunkt S1S_{1} hat die Koordinaten S1(3∣0∣0)S_{1}(3|0|0).

Graphische Darstellung

Spurpunkte einer Ebene

Allgemeine Vorgehensweise fĂŒr die Berechnung der Spurpunkte

Gegeben ist die Ebene E:  ax1+bx2+cx3=dE:\;ax_1+bx_2+cx_3=d in Koordinatenform.

Bestimme die möglichen Spurpunkte von EE.

Berechnung des Spurpunktes S1​ S_{1}​ 

FĂŒr den Spurpunkt S1S_{1} (Schnittpunkt mit der x1x_1-Achse) setzt man x2x_2 und x3x_3 gleich null und berechnet x1x_1:

ax1+bx2+cx3\displaystyle ax_1+bx_2+cx_3==d\displaystyle d
↓

Setze x2=x3=0x_2=x_3=0 ein.

a⋅x1\displaystyle a\cdot x_1==d\displaystyle d:a\displaystyle :a
x1\displaystyle x_1==da\displaystyle \dfrac{d}{a}

Eine Lösung ergibt sich nur fĂŒr a≠0a\neq 0, andernfalls ist die Ebene EE parallel zur x1x_1-Achse oder die Ebene E E enthĂ€lt die x1x_1-Achse.

Die Ebene EE schneidet die x1x_1-Achse im Punkt S1(da∣0∣0)S_{1}\left(\frac{d}{a}\big\vert 0\big\vert 0\right)

FĂŒr die anderen beiden Spurpunkte S2S_{2} und S3S_{3} geht man analog vor.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Spurpunkten und Spurgeraden einer Ebene

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