Aufgaben zu Spurpunkten und Spurgeraden einer Ebene

Wie gut kennst du dich aus? Vertiefe dein Wissen mit diesen Aufgaben zu den Spurpunkten und Spurgeraden von Ebenen.

1
Gegeben ist die Ebene $E : 3 x_{1} - 4 x_{2} + x_{3} = 12$
1. Berechne die Spurpunkte der Ebene $E$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Ebene
  Berechnung des Spurpunktes $S_{1} $
  Für den Spurpunkt $S_{1}$ (Schnittpunkt mit der $x_{1}$ -Achse) setzt man $x_{2}$ und $x_{3}$ gleich null und berechnet $x_{1}$ :
  $3 x_{1} - 4 x_{2} + x_{3}$ $=$ $12$
  ↓
  Setze $x_{2} = x_{3} = 0$ ein.
  $3 \cdot x_{1} - 4 \cdot 0 + 0$ $=$ $12$ $: 3$
  $x_{1}$ $=$ $4$
  Der Spurpunkt $S_{1}$ hat die Koordinaten $S_{1} (4 | 0 | 0)$ .
  Berechnung des Spurpunktes $S_{2} $
  Für den Spurpunkt $S_{2}$ (Schnittpunkt mit der $x_{2}$ -Achse) setzt man $x_{1}$ und $x_{3}$ gleich null und berechnet $x_{2}$ :
  $3 x_{1} - 4 x_{2} + x_{3}$ $=$ $12$
  ↓
  Setze $x_{1} = x_{3} = 0$ ein.
  $3 \cdot 0 - 4 \cdot x_{2} + 0$ $=$ $12$ $: (- 4)$
  $x_{2}$ $=$ $- 3$
  Der Spurpunkt $S_{2}$ hat die Koordinaten $S_{2} (0 | - 3 | 0)$ .
  Berechnung des Spurpunktes $S_{3} $
  Für den Spurpunkt $S_{3}$ (Schnittpunkt mit der $x_{3}$ -Achse) setzt man $x_{1}$ und $x_{2}$ gleich null und berechnet $x_{3}$ :
  $3 x_{1} - 4 x_{2} + x_{3}$ $=$ $12$
  ↓
  Setze $x_{1} = x_{2} = 0$ ein.
  $3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + x_{3}$ $=$ $12$
  $x_{3}$ $=$ $12$
  Der Spurpunkt $S_{3}$ hat die Koordinaten $S_{3} (0 | 0 | 12)$ .
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2. Bestimme die Spurgeraden der Ebene $E$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurgeraden einer Ebene
  Spurgerade in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene
  Für die Spurgerade in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene benötigt man die beiden Spurpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ , die in Aufgabe a) berechnet worden sind.
  $S_{1} (4 | 0 | 0)$ und $S_{2} (0 | - 3 | 0)$
  Mit den beiden Punkten $S_{1}$ und $S_{2}$ erstellt man die Gleichung der Spurgeraden in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene $\Rightarrow$ $g_{12} : \vec{X} = \vec{S_{1}} + r \cdot (\vec{S_{2}} - \vec{S_{1}})$ .
  $g_{12} : \vec{X}$ $=$ $\vec{S_{1}} + r \cdot (\vec{S_{2}} - \vec{S_{1}})$
  ↓
  Setze $S_{1}$ und $S_{2}$ ein.
  $=$ $(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}))$
  $=$ $(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$
  Die Gleichung der Spurgeraden in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene lautet:
  $g_{12} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$
  Spurgerade in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene
  Für die Spurgerade in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene benötigt man die beiden Spurpunkte $S_{1}$ und $S_{3}$ , die in Aufgabe a) berechnet worden sind.
  $S_{1} (4 | 0 | 0)$ und $S_{3} (0 | 0 | 12)$
  Mit den beiden Punkten $S_{1}$ und $S_{3}$ erstellt man die Gleichung der Spurgeraden in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene $\Rightarrow$ $g_{13} : \vec{X} = \vec{S_{1}} + r \cdot (\vec{S_{3}} - \vec{S_{1}})$ .
  $g_{13} : \vec{X}$ $=$ $\vec{S_{1}} + r \cdot (\vec{S_{3}} - \vec{S_{1}})$
  ↓
  Setze $S_{1}$ und $S_{3}$ ein.
  $=$ $(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}))$
  $=$ $(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 12 \end{array})$
  Die Gleichung der Spurgeraden in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene lautet:
  $g_{13} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 12 \end{array})$
  Spurgerade in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene
  Für die Spurgerade in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene benötigt man die beiden Spurpunkte $S_{2}$ und $S_{3}$ , die in Aufgabe a) berechnet worden sind.
  $S_{2} (0 | - 3 | 0)$ und $S_{3} (0 | 0 | 12)$
  Mit den beiden Punkten $S_{2}$ und $S_{3}$ erstellt man die Gleichung der Spurgeraden in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene $\Rightarrow$ $g_{23} : \vec{X} = \vec{S_{2}} + r \cdot (\vec{S_{3}} - \vec{S_{2}})$ .
  $g_{23} : \vec{X}$ $=$ $\vec{S_{2}} + r \cdot (\vec{S_{3}} - \vec{S_{2}})$
  ↓
  Setze $S_{2}$ und $S_{3}$ ein.
  $=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 0 \end{array}))$
  $=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 12 \end{array})$
  Die Gleichung der Spurgeraden in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene lautet:
  $g_{23} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 12 \end{array})$
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3. Zeichne die Spurpunkte und die Spurgeraden in ein Koordinatensystem.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Ebene
  Darstellung der Spurpunkte $S_{1}$ , $S_{2}$ und $S_{3}$ und die entsprechenden Spurgeraden im Koordinatensystem.
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2
Eine Ebene $E$ hat zwei Spurgeraden
$g_{12} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und $g_{23} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
1. Wie lautet die Gleichung der Ebene $E$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus 2 Geraden
  Für die Parameterform der Ebene wird ein Stützvektor gewählt, entweder der von $g_{12}$ oder $g_{23}$ und beide Richtungsvektoren der Geraden als Spannvektoren.
  Die Ebene ist damit direkt gegeben durch:
  $E : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
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2. Zeige, dass die Ebene $E$ keine Spurgerade in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene besitzt.
  Welche Schlussfolgerung ergibt sich daraus für die Lage dieser Ebene im Koordinatensystem?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurgeraden einer Ebene
  Für die Spurgerade (Schnittgerade) der Ebene $E$ mit der $x_{1} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{2} = 0$ , da die $x_{1} x_{3}$ -Ebene die Gleichung $x_{2} = 0$ hat.
  $x_{2}$ $=$ $2 + r \cdot 0 + s \cdot 0$
  ↓
  Setze $x_{2} = 0$ .
  $0$ $=$ $2 + r \cdot 0 + s \cdot 0$
  Du hast die Gleichung $0 = 2$ erhalten. Das ist eine falsche Aussage. Es gibt somit keine Schnittgerade mit der $x_{1} x_{3}$ -Ebene.
  Die Konsequenz aus dieser Tatsache ist, dass die Ebene $E$ parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene verläuft.
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3
Eine Ebene $E$ hat die Spurgeraden $g_{12} : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ und $g_{23} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0,5 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$ :
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ und die Gleichung der fehlenden Spurgeraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus 2 Geraden
Ebenengleichung in Parameterform aufstellen
Für die Parameterform der Ebene wird ein Stützvektor gewählt, entweder der von $g_{12}$ oder von $g_{23}$ und beide Richtungsvektoren der Spurgeraden als Spannvektoren.
Die Ebene ist damit direkt gegeben durch:
$E : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$
Umwandlung der Parameterform in die Normalenform
Berechne den Normalenvektor $\vec{n}$ als Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ - 6 \end{array}) = 2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array})$
Für die Ebene in Normalenform $E : (\vec{X} - \vec{A}) \circ \vec{n} = 0$ wird noch ein Punkt der Ebene benötigt. Setze $\vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und den "gekürzten" Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array})$ in die Normalenform ein.
$E : (\vec{X} - (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) = 0$
Umwandlung der Normalenform in die Koordinatenform
Berechne das Skalarprodukt:
$E : ((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array})$ $=$ $0$
↓
Berechne das Skalarprodukt.
$1 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} - ((- 1) \cdot 1 + 0 \cdot (- 2) + 0 \cdot (- 3)$ $=$ $0$
$1 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} + 1$ $=$ $0$
Die Ebenengleichung $E$ in Koordinatenform lautet: $1 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = - 1$
Berechnung der fehlenden Spurgeraden
Die fehlende Spurgerade ist die Gerade $g_{13}$ . Diese Gerade liegt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene, die die Gleichung $x_{2} = 0$ hat.
Setze $x_{2} = 0$ in der Parameterform der Ebene $E$ und löse die erhaltene Gleichung z.B. nach dem Parameter $r$ auf.
$E : (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array})$ $=$ $(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$
$x_{2}$ $=$ $0 + r - 3 s$
↓
Setze $x_{2} = 0$ .
$0$ $=$ $r - 3 s$ $+ 3 s$
↓
Löse nach r auf.
$3 s$ $=$ $r$
Setze $r = 3 s$ in die Ebenengleichung ein, um die Gleichung der Spurgeraden $g_{13}$ zu erhalten.
$E : \vec{X}$ $=$ $(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$
↓
Setze $r = 3 s$ ein.
$g_{13} : \vec{X}$ $=$ $(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + 3 s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 6 + 0 \\ 3 - 3 \\ 0 + 2 \end{array})$
↓
Vereinfache.
$=$ $(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
Die fehlende Spurgerade hat die Gleichung $g_{13} : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 2 \end{array})$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$3 x_{1} - 4 x_{2} + x_{3}$	$=$	$12$
	↓	Setze $x_{2} = x_{3} = 0$ ein.
$3 \cdot x_{1} - 4 \cdot 0 + 0$	$=$	$12$	$: 3$
$x_{1}$	$=$	$4$

$3 x_{1} - 4 x_{2} + x_{3}$	$=$	$12$
	↓	Setze $x_{1} = x_{3} = 0$ ein.
$3 \cdot 0 - 4 \cdot x_{2} + 0$	$=$	$12$	$: (- 4)$
$x_{2}$	$=$	$- 3$

$3 x_{1} - 4 x_{2} + x_{3}$	$=$	$12$
	↓	Setze $x_{1} = x_{2} = 0$ ein.
$3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + x_{3}$	$=$	$12$
$x_{3}$	$=$	$12$

$g_{12} : \vec{X}$	$=$	$\vec{S_{1}} + r \cdot (\vec{S_{2}} - \vec{S_{1}})$
	↓	Setze $S_{1}$ und $S_{2}$ ein.
	$=$	$(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}))$
	$=$	$(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$

$g_{13} : \vec{X}$	$=$	$\vec{S_{1}} + r \cdot (\vec{S_{3}} - \vec{S_{1}})$
	↓	Setze $S_{1}$ und $S_{3}$ ein.
	$=$	$(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}))$
	$=$	$(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 12 \end{array})$

$g_{23} : \vec{X}$	$=$	$\vec{S_{2}} + r \cdot (\vec{S_{3}} - \vec{S_{2}})$
	↓	Setze $S_{2}$ und $S_{3}$ ein.
	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 0 \end{array}))$
	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 12 \end{array})$

$x_{2}$	$=$	$2 + r \cdot 0 + s \cdot 0$
	↓	Setze $x_{2} = 0$ .
$0$	$=$	$2 + r \cdot 0 + s \cdot 0$

$E : ((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$1 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} - ((- 1) \cdot 1 + 0 \cdot (- 2) + 0 \cdot (- 3)$	$=$	$0$
$1 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} + 1$	$=$	$0$

$E : (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$
$x_{2}$	$=$	$0 + r - 3 s$
	↓	Setze $x_{2} = 0$ .
$0$	$=$	$r - 3 s$	$+ 3 s$
	↓	Löse nach r auf.
$3 s$	$=$	$r$

$E : \vec{X}$	$=$	$(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$
	↓	Setze $r = 3 s$ ein.
$g_{13} : \vec{X}$	$=$	$(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + 3 s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 6 + 0 \\ 3 - 3 \\ 0 + 2 \end{array})$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 2 \end{array})$

Aufgaben zu Spurpunkten und Spurgeraden einer Ebene

Berechnung des Spurpunktes S1​

Berechnung des Spurpunktes S2​

Berechnung des Spurpunktes S3​

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Spurgerade in der x1x2-Ebene

Spurgerade in der x1x3-Ebene

Spurgerade in der x2x3-Ebene

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Ebenengleichung in Parameterform aufstellen

Umwandlung der Parameterform in die Normalenform

Umwandlung der Normalenform in die Koordinatenform

Berechnung der fehlenden Spurgeraden

Berechnung des Spurpunktes $S_{1} $

Berechnung des Spurpunktes $S_{2} $

Berechnung des Spurpunktes $S_{3} $

Spurgerade in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene

Spurgerade in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene

Spurgerade in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene