Aufgaben zu Spurpunkten und Spurgeraden einer Ebene

Wie gut kennst du dich aus? Vertiefe dein Wissen mit diesen Aufgaben zu den Spurpunkten und Spurgeraden von Ebenen.

Gegeben ist die Ebene $E:\; 3x_1-4x_2+x_3=12$

Berechne die Spurpunkte der Ebene $E$ .

Bestimme die Spurgeraden der Ebene $E$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurgeraden einer Ebene

Spurgerade in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene

Für die Spurgerade in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene benötigt man die beiden Spurpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ , die in Aufgabe a) berechnet worden sind.

$S_{1} (4 ∣ 0 ∣ 0)$ und $S_{2} (0 ∣ - 3 ∣ 0)$

Mit den beiden Punkten $S_{1}$ und $S_{2}$ erstellt man die Gleichung der Spurgeraden in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene $\;\Rightarrow\;$ $g_{12}:\;\overrightarrow{X}=\overrightarrow{S_1}+r\cdot\left(\overrightarrow{S_2}-\overrightarrow{S_1}\right)$ .

$\displaystyle g_{12}:\;\overrightarrow{X}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{S_1}+r\cdot\left(\overrightarrow{S_2}-\overrightarrow{S_1}\right)$
	↓	Setze $S_{1}$ und $S_{2}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \left(\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\0 \\ 0 \end{pmatrix}\right)$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$

Die Gleichung der Spurgeraden in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene lautet:

$g_{12}:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$

Spurgerade in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene

Für die Spurgerade in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene benötigt man die beiden Spurpunkte $S_{1}$ und $S_{3}$ , die in Aufgabe a) berechnet worden sind.

$S_{1} (4 ∣ 0 ∣ 0)$ und $S_{3} (0 ∣ 0 ∣ 12)$

Mit den beiden Punkten $S_{1}$ und $S_{3}$ erstellt man die Gleichung der Spurgeraden in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene $\;\Rightarrow\;$ $g_{13}:\;\overrightarrow{X}=\overrightarrow{S_1}+r\cdot\left(\overrightarrow{S_3}-\overrightarrow{S_1}\right)$ .

$\displaystyle g_{13}:\;\overrightarrow{X}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{S_1}+r\cdot\left(\overrightarrow{S_3}-\overrightarrow{S_1}\right)$
	↓	Setze $S_{1}$ und $S_{3}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\0 \\ 0 \end{pmatrix}\right)$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}$

Die Gleichung der Spurgeraden in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene lautet:

$g_{13}:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0\\ 12 \end{pmatrix}$

Spurgerade in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene

Für die Spurgerade in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene benötigt man die beiden Spurpunkte $S_{2}$ und $S_{3}$ , die in Aufgabe a) berechnet worden sind.

$S_{2} (0 ∣ - 3 ∣ 0)$ und $S_{3} (0 ∣ 0 ∣ 12)$

Mit den beiden Punkten $S_{2}$ und $S_{3}$ erstellt man die Gleichung der Spurgeraden in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene $\;\Rightarrow\;$ $g_{23}:\;\overrightarrow{X}=\overrightarrow{S_2}+r\cdot\left(\overrightarrow{S_3}-\overrightarrow{S_2}\right)$ .

$\displaystyle g_{23}:\;\overrightarrow{X}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{S_2}+r\cdot\left(\overrightarrow{S_3}-\overrightarrow{S_2}\right)$
	↓	Setze $S_{2}$ und $S_{3}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\-3 \\ 0 \end{pmatrix}\right)$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}$

Die Gleichung der Spurgeraden in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene lautet:

$g_{23}:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3\\ 12 \end{pmatrix}$

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Zeichne die Spurpunkte und die Spurgeraden in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Ebene
Darstellung der Spurpunkte $S_{1}$ , $S_{2}$ und $S_{3}$ und die entsprechenden Spurgeraden im Koordinatensystem.
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2
Eine Ebene $E$ hat zwei Spurgeraden
$g_{12}: \vec X=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\0 \end{pmatrix}$ und $g_{23}: \vec X=\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0 \\0 \\1 \end{pmatrix}$ .
1. Wie lautet die Gleichung der Ebene $E$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus 2 Geraden
  Für die Parameterform der Ebene wird ein Stützvektor gewählt, entweder der von $g_{12}$ oder $g_{23}$ und beide Richtungsvektoren der Geraden als Spannvektoren.
  Die Ebene ist damit direkt gegeben durch:
  $\displaystyle E: \;\vec X=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\0 \\1 \end{pmatrix}$
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2. Zeige, dass die Ebene $E$ keine Spurgerade in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene besitzt.
  Welche Schlussfolgerung ergibt sich daraus für die Lage dieser Ebene im Koordinatensystem?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurgeraden einer Ebene
  Für die Spurgerade (Schnittgerade) der Ebene $E$ mit der $x_{1} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{2} = 0$ , da die $x_{1} x_{3}$ -Ebene die Gleichung $x_{2} = 0$ hat.
  $\displaystyle x_2$ $=$ $\displaystyle 2+r\cdot 0+s\cdot 0$
  ↓
  Setze $x_{2} = 0$ .
  $\displaystyle 0$ $=$ $\displaystyle 2+r\cdot 0+s\cdot 0$
  Du hast die Gleichung $0 = 2$ erhalten. Das ist eine falsche Aussage. Es gibt somit keine Schnittgerade mit der $x_{1} x_{3}$ -Ebene.
  Die Konsequenz aus dieser Tatsache ist, dass die Ebene $E$ parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene verläuft.
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Eine Ebene $E$ hat die Spurgeraden $g_{12}:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $g_{23}:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}0 \\ 0{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ :

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ und die Gleichung der fehlenden Spurgeraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus 2 Geraden

Ebenengleichung in Parameterform aufstellen

Für die Parameterform der Ebene wird ein Stützvektor gewählt, entweder der von $g_{12}$ oder von $g_{23}$ und beide Richtungsvektoren der Spurgeraden als Spannvektoren.

Die Ebene ist damit direkt gegeben durch:

\displaystyle E:\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}

Umwandlung der Parameterform in die Normalenform

Berechne den Normalenvektor $\vec{n}$ als Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene.

$\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0\\ -3 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\-4\\ -6 \end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix} 1 \\-2\\ -3 \end{pmatrix}$

Für die Ebene in Normalenform $E: \;\left(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A}\right)\circ\vec n =0$ wird noch ein Punkt der Ebene benötigt. Setze $\vec A =\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$ und den "gekürzten" Normalenvektor $\vec n =\begin{pmatrix} 1 \\-2\\ -3 \end{pmatrix}$ in die Normalenform ein.

$E: \;\left(\overrightarrow{X}-\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix} 1 \\-2\\ -3 \end{pmatrix}=0$

Umwandlung der Normalenform in die Koordinatenform

Berechne das Skalarprodukt:

$\displaystyle E: \;\left(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix} 1 \\-2\\ -3 \end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 1\cdot x_1-2\cdot x_2-3\cdot x_3-((-1)\cdot 1 +0\cdot(-2)+0\cdot(-3)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 1\cdot x_1-2\cdot x_2-3\cdot x_3+1$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Ebenengleichung $E$ in Koordinatenform lautet: $1\cdot x_1-2\cdot x_2-3\cdot x_3=-1$

Berechnung der fehlenden Spurgeraden

Die fehlende Spurgerade ist die Gerade $g_{13}$ . Diese Gerade liegt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene, die die Gleichung $x_{2} = 0$ hat.

Setze $x_{2} = 0$ in der Parameterform der Ebene $E$ und löse die erhaltene Gleichung z.B. nach dem Parameter $r$ auf.

$\displaystyle E:\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 0+r-3s$
	↓	Setze $x_{2} = 0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle r-3s$	$\displaystyle +3s$
	↓	Löse nach r auf.
$\displaystyle 3s$	$=$	$\displaystyle r$

Setze $r = 3 s$ in die Ebenengleichung ein, um die Gleichung der Spurgeraden $g_{13}$ zu erhalten.

$\displaystyle E:\overrightarrow{X}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r = 3 s$ ein.
$\displaystyle g_{13}:\;\overrightarrow{X}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+3s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6+0 \\ 3-3 \\ 0 +2\end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6 \\0 \\2\end{pmatrix}$

Die fehlende Spurgerade hat die Gleichung $g_{13}:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6 \\0 \\2\end{pmatrix}$

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$\displaystyle 3x_1-4x_2+x_3$	$=$	$\displaystyle 12$
	↓	Setze $x_{2} = x_{3} = 0$ ein.
$\displaystyle 3\cdot x_1-4\cdot 0+0$	$=$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle 3x_1-4x_2+x_3$	$=$	$\displaystyle 12$
	↓	Setze $x_{1} = x_{3} = 0$ ein.
$\displaystyle 3\cdot 0-4\cdot x_2+0$	$=$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle :(-4)$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -3$

$\displaystyle 3x_1-4x_2+x_3$	$=$	$\displaystyle 12$
	↓	Setze $x_{1} = x_{2} = 0$ ein.
$\displaystyle 3\cdot 0-4\cdot 0+x_3$	$=$	$\displaystyle 12$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 12$

Aufgaben zu Spurpunkten und Spurgeraden einer Ebene

Berechnung des Spurpunktes $S_{1} $

Berechnung des Spurpunktes $S_{2} $

Berechnung des Spurpunktes $S_{3} $

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Spurgerade in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene

Spurgerade in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene

Spurgerade in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene

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Ebenengleichung in Parameterform aufstellen

Umwandlung der Parameterform in die Normalenform

Umwandlung der Normalenform in die Koordinatenform

Berechnung der fehlenden Spurgeraden

$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2+r\cdot 0+s\cdot 0$
	↓	Setze $x_{2} = 0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2+r\cdot 0+s\cdot 0$

Aufgaben zu Spurpunkten und Spurgeraden einer Ebene

Berechnung des Spurpunktes S1​ S_{1}​ S1​​

Berechnung des Spurpunktes S2​ S_{2}​ S2​​

Berechnung des Spurpunktes S3​ S_{3}​ S3​​

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Spurgerade in der x1x2x_1x_2x1​x2​-Ebene

Spurgerade in der x1x3x_1x_3x1​x3​-Ebene

Spurgerade in der x2x3x_2x_3x2​x3​-Ebene

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Ebenengleichung in Parameterform aufstellen

Umwandlung der Parameterform in die Normalenform

Umwandlung der Normalenform in die Koordinatenform

Berechnung der fehlenden Spurgeraden

Berechnung des Spurpunktes $S_{1} $

Berechnung des Spurpunktes $S_{2} $

Berechnung des Spurpunktes $S_{3} $

Spurgerade in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene

Spurgerade in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene

Spurgerade in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene