Aufgaben zu Spurpunkten und Spurgeraden einer Ebene

Eine Ebene $E$ hat zwei Spurgeraden

$g_{12}: \vec X=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\0 \end{pmatrix}$ und $g_{23}: \vec X=\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0 \\0 \\1 \end{pmatrix}$ .

Wie lautet die Gleichung der Ebene $E$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus 2 Geraden
Für die Parameterform der Ebene wird ein Stützvektor gewählt, entweder der von $g_{12}$ oder $g_{23}$ und beide Richtungsvektoren der Geraden als Spannvektoren.
Die Ebene ist damit direkt gegeben durch:
$\displaystyle E: \;\vec X=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\0 \\1 \end{pmatrix}$
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Zeige, dass die Ebene $E$ keine Spurgerade in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene besitzt.
Welche Schlussfolgerung ergibt sich daraus für die Lage dieser Ebene im Koordinatensystem?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurgeraden einer Ebene
Für die Spurgerade (Schnittgerade) der Ebene $E$ mit der $x_{1} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{2} = 0$ , da die $x_{1} x_{3}$ -Ebene die Gleichung $x_{2} = 0$ hat.
$\displaystyle x_2$ $=$ $\displaystyle 2+r\cdot 0+s\cdot 0$
↓
Setze $x_{2} = 0$ .
$\displaystyle 0$ $=$ $\displaystyle 2+r\cdot 0+s\cdot 0$
Du hast die Gleichung $0 = 2$ erhalten. Das ist eine falsche Aussage. Es gibt somit keine Schnittgerade mit der $x_{1} x_{3}$ -Ebene.
Die Konsequenz aus dieser Tatsache ist, dass die Ebene $E$ parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene verläuft.
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$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2+r\cdot 0+s\cdot 0$
	↓	Setze $x_{2} = 0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2+r\cdot 0+s\cdot 0$

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