Aufgaben zu Spurpunkten und Spurgeraden einer Ebene

Eine Ebene $E$ hat zwei Spurgeraden

$g_{12} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und $g_{23} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .

Wie lautet die Gleichung der Ebene $E$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus 2 Geraden
Für die Parameterform der Ebene wird ein Stützvektor gewählt, entweder der von $g_{12}$ oder $g_{23}$ und beide Richtungsvektoren der Geraden als Spannvektoren.
Die Ebene ist damit direkt gegeben durch:
$E : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
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Zeige, dass die Ebene $E$ keine Spurgerade in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene besitzt.
Welche Schlussfolgerung ergibt sich daraus für die Lage dieser Ebene im Koordinatensystem?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurgeraden einer Ebene
Für die Spurgerade (Schnittgerade) der Ebene $E$ mit der $x_{1} x_{3}$ -Ebene setzt man $x_{2} = 0$ , da die $x_{1} x_{3}$ -Ebene die Gleichung $x_{2} = 0$ hat.
$x_{2}$ $=$ $2 + r \cdot 0 + s \cdot 0$
↓
Setze $x_{2} = 0$ .
$0$ $=$ $2 + r \cdot 0 + s \cdot 0$
Du hast die Gleichung $0 = 2$ erhalten. Das ist eine falsche Aussage. Es gibt somit keine Schnittgerade mit der $x_{1} x_{3}$ -Ebene.
Die Konsequenz aus dieser Tatsache ist, dass die Ebene $E$ parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene verläuft.
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x_{2}$	$=$	$2 + r \cdot 0 + s \cdot 0$
	↓	Setze $x_{2} = 0$ .
$0$	$=$	$2 + r \cdot 0 + s \cdot 0$

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