Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen des Koordinatensystems.
Mithilfe der Spurpunkte kann eine Gerade im Koordinatensystem gezeichnet werden.
Anzahl der Spurpunkte
SpurpunktGerade ist parallel zu einer Koordinatenachse (und liegt nicht in einer der drei Koordinatenebenen)
Spurpunkte Gerade ist parallel zu einer Koordinatenebene (und liegt nicht in dieser Koordinatenebene)
Spurpunkte Gerade ist nicht parallel zu einer der drei Koordinatenebenen
unendlich viele Spurpunkte Gerade liegt in einer der Koordinatenebenen oder liegt auf einer der Koordinatenachsen
Sonderfälle
Gerade schneidet eine Koordinatenachse Spurpunkte fallen zusammen und haben gleiche Koordinaten
Gerade geht durch den Koordinatenursprungalle 3 Spurpunkte fallen zusammen
Wie werden die Spurpunkte berechnet?
Spurpunkt der Geraden in der -Ebene man setzt
Spurpunkt der Geraden in der -Ebene man setzt
Spurpunkt der Geraden in der -Ebene man setzt
Die jeweils aufgestellte Gleichung wird nach dem Parameter aufgelöst.
Der für berechnete Wert wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.
Beispiel für die Berechnung der Spurpunkte
Gegeben ist die Gerade . Bestimme mögliche Spurpunkte von .
Berechnung des Spurpunktes in der -Ebene
Um den Spurpunkt in der -Ebene zu berechnen, setzt man in der Geradengleichung und berechnet den Parameter :
↓ | Setze . | ||
↓ | Löse nach auf. | ||
wird in die Geradengleichung eingesetzt, um den Spurpunkt in der -Ebene zu berechnen:
↓ | Setze ein. | ||
↓ | Vereinfache. | ||
Der Spurpunkt in der -Ebene hat die Koordinaten .
Berechnung des Spurpunktes in der -Ebene
Für die Berechnung des Spurpunktes in der -Ebene setzt man in der Geradengleichung und berechnet den Parameter .
↓ | Setze . | ||
Die erhaltene Gleichung ist für kein erfüllbar (falsche Aussage).
Somit gibt es keinen Spurpunkt in der -Ebene.
Die Gerade verläuft parallel zur -Ebene.
Graphische Veranschaulichung
Allgemeine Vorgehensweise für die Berechnung der Spurpunkte
Der Spurpunkt in der -Ebene soll berechnet werden. In der -Ebene gilt immer .
1. Man setzt die -Koordinate eines Punktes der Geraden gleich null und berechnet den Wert für den Parameter :
↓ | Setze . | ||
↓ | Löse nach auf. | ||
Achtung: Eine Lösung ergibt sich nur für , andernfalls ist die Gerade parallel zur -Ebene oder die Gerade liegt in der -Ebene.
2. Der berechnete Wert für wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes zu berechnen.
Für die anderen beiden Spurpunkte und geht man analog vor.
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