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Spurpunkte einer Geraden

Spurpunkte Gerade

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden g:  X=A+rug:\;\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+r\cdot\vec{u} mit den Koordinatenebenen des Koordinatensystems.

Mithilfe der Spurpunkte kann eine Gerade im Koordinatensystem gezeichnet werden.

Anzahl der Spurpunkte

  • 11 Spurpunkt    \;\Rightarrow\;Gerade ist parallel zu einer Koordinatenachse (und liegt nicht in einer der drei Koordinatenebenen)

  • 22 Spurpunkte     \;\Rightarrow\;Gerade ist parallel zu einer Koordinatenebene (und liegt nicht in dieser Koordinatenebene)

  • 33 Spurpunkte     \;\Rightarrow\;Gerade ist nicht parallel zu einer der drei Koordinatenebenen

  • unendlich viele Spurpunkte    \;\Rightarrow\; Gerade liegt in einer der Koordinatenebenen oder liegt auf einer der Koordinatenachsen

Sonderfälle

  • Gerade schneidet eine Koordinatenachse    \;\Rightarrow\;22 Spurpunkte fallen zusammen und haben gleiche Koordinaten

  • Gerade geht durch den Koordinatenursprung    \;\Rightarrow\; alle 3 Spurpunkte fallen zusammen

Wie werden die Spurpunkte berechnet?

Spurpunkt der Geraden gg in der x1x2x_1x_2-Ebene S12S_{12}     \;\Rightarrow\; man setzt x3=0x_3=0

Spurpunkt der Geraden gg in der x1x3x_1x_3-Ebene S13S_{13}     \;\Rightarrow\; man setzt x2=0x_2=0

Spurpunkt der Geraden gg in der x2x3x_2x_3-Ebene S23S_{23}     \;\Rightarrow\; man setzt x1=0x_1=0

Die jeweils aufgestellte Gleichung wird nach dem Parameter rr aufgelöst.

Der für rr berechnete Wert wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.

VorsichtEs gibt nicht immer eine eindeutige Lösung der aufgestellten Gleichung!
  • Hat die aufgestellte Gleichung keine Lösung, dann gibt es keinen Spurpunkt in dieser Koordinatenebene.

  • Hat die Gleichung dagegen unendlich viele Lösungen, dann liegen in dieser Koordinatenebene unendlich viele Spurpunkte.

Beispiel für die Berechnung der Spurpunkte

Gegeben ist die Gerade g:X=(256)+r(203)g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\5\\6\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\0 \\3 \end{pmatrix}. Bestimme mögliche Spurpunkte von gg.

Berechnung des Spurpunktes S12S_{12} in der x1x2x_1x_2-Ebene

Um den Spurpunkt in der x1x2x_1x_2-Ebene zu berechnen, setzt man x3=0x_3=0 in der Geradengleichung und berechnet den Parameter rr:

x3\displaystyle x_3==6+3r\displaystyle 6+3\cdot r

Setze x3=0x_3 =0.

0\displaystyle 0==6+3r\displaystyle 6+3\cdot r6\displaystyle -6

Löse nach rr auf.

6\displaystyle -6==3r\displaystyle 3\cdot r:3\displaystyle :3
2\displaystyle -2==r\displaystyle r

r=2r=-2 wird in die Geradengleichung eingesetzt, um den Spurpunkt in der x1x2x_1x_2-Ebene zu berechnen:

XS12\displaystyle \vec{X}_{S_{12}}==(256)+r(203)\displaystyle \begin{pmatrix}2\\5\\6\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\0 \\3 \end{pmatrix}

Setze r=2r=-2 ein.

==(256)+(2)(203)\displaystyle \begin{pmatrix}2\\5\\6\end{pmatrix}+(-2)\cdot\begin{pmatrix} 2 \\0 \\3 \end{pmatrix}
==(245066)\displaystyle \begin{pmatrix}2-4\\5-0\\6-6\end{pmatrix}

Vereinfache.

==(250)\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\5\\0\end{pmatrix}

Der Spurpunkt in der x1x2x_1x_2-Ebene hat die Koordinaten S12(250)S_{12}(-2|5|0) .

Berechnung des Spurpunktes S13S_{13} in der x1x3x_1x_3-Ebene

Für die Berechnung des Spurpunktes in der x1x3x_1x_3-Ebene setzt man x2=0x_2=0 in der Geradengleichung und berechnet den Parameter rr.

x2\displaystyle x_2==5+r0\displaystyle 5+r\cdot 0

Setze x2=0x_2 =0.

0\displaystyle 0==5+r0\displaystyle 5+r\cdot 0

Die erhaltene Gleichung 0=5+r00=5+r\cdot 0 ist für kein rr erfüllbar (falsche Aussage).

Somit gibt es keinen Spurpunkt in der x1x3x_1x_3-Ebene.

Die Gerade gg verläuft parallel zur x1x3x_1x_3-Ebene.

Graphische Veranschaulichung

Spurpunkte einer Geraden

Allgemeine Vorgehensweise für die Berechnung der Spurpunkte

Der Spurpunkt S12S_{12} in der x1x2x_1x_2-Ebene soll berechnet werden. In der x1x2x_1x_2-Ebene gilt immer x3=0x_3=0.

1. Man setzt die x3x_3-Koordinate eines Punktes der Geraden g:X=A+rug:\vec{X}=\vec{A}+r\cdot\vec{u} gleich null und berechnet den Wert für den Parameter rr:

x3\displaystyle x_3==a3+ru3\displaystyle a_3+r\cdot u_3

Setze x3=0x_3=0.

0\displaystyle 0==a3+ru3\displaystyle a_3+r\cdot u_3a3\displaystyle -a_3

Löse nach rr auf.

a3\displaystyle -a_3==ru3\displaystyle r\cdot u_3:u3\displaystyle :u_3
r\displaystyle r==a3u3\displaystyle -\dfrac{a_3}{u_3}

Achtung: Eine Lösung ergibt sich nur für u30u_3\neq 0, andernfalls ist die Gerade gg parallel zur x1x2x_1x_2-Ebene oder die Gerade gg liegt in der x1x2{x_1x_2}-Ebene.

2. Der berechnete Wert für r=a3u3r=-\dfrac{a_3}{u_3} wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes zu berechnen    XS12=Aa3u3u\;\Rightarrow\;\vec X_{S_{12}}=\vec{A}-\dfrac{a_3}{u_3}\cdot\vec{u}.

Für die anderen beiden Spurpunkte S13S_{13} und S23S_{23} geht man analog vor.

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