Aufgaben zu Spurpunkten einer Geraden

Berechne die möglichen Spurpunkte der gegebenen Geraden.

Skizziere jeweils die Geraden und gib an, welche Lage die Geraden im Koordinatensystem haben.

$g:\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden

Spurpunkte berechnen

Um den Spurpunkt in der $x_1x_2$ -Ebene zu berechnen, setzt man $x_3=0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ :

$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 3+r\cdot 0$
	↓	Setze $x_3=0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3+r\cdot 0$

Die erhaltene Gleichung $0=3+r\cdot 0$ ist für kein $r$ erfüllbar (falsche Aussage).

Somit gibt es keinen Spurpunkt in der $x_1x_2$ -Ebene.

Für die Berechnung des Spurpunktes in der $x_1x_3$ -Ebene setzt man $x_2=0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .

$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2+2\cdot r$
	↓	Setze $x_2=0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2+2\cdot r$	$\displaystyle -2$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle 2\cdot r$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle -1$

Der Wert $r=-1$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_1x_3$ -Ebene zu berechnen:

$\displaystyle \vec{X}_{S_{13}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r=-1$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1+1 \\ 2-2 \\ 3-0 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

Der Spurpunkt in der $x_1x_3$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{13}(2|0|3)$ .

Für den Spurpunkt in der $x_2x_3$ -Ebene setzt man $x_1=0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .

$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 1-r$
	↓	Setze $x_1 =0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1-r$	$\displaystyle +r$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 1$

Der Wert $r=1$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_2x_3$ -Ebene zu berechnen:

$\displaystyle \vec{X}_{S_{23}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r=1$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1-1 \\ 2+2 \\ 3+0 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

Der Spurpunkt in der $x_2x_3$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{23}(0|4|3)$ .

Skizze der Geraden

Lage der Geraden im Koordinatensystem

Die Gerade $g$ ist parallel zur $x_1x_2$ -Ebene.

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$h:\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden

Spurpunkte berechnen

Um den Spurpunkt in der $x_1x_2$ -Ebene zu berechnen, setzt man $x_3=0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ :

$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 1-2\cdot r$
	↓	Setze $x_3=0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1-2\cdot r$	$\displaystyle +2r$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle 2\cdot r$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Der Wert $r=\dfrac{1}{2}$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_1x_2$ -Ebene zu berechnen:

$\displaystyle \vec{X}_{S_{12}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r=\dfrac{1}{2}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1+\frac{1}{2} \\[1ex] 2+\frac{3}{2} \\ 1-1 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1{,}5 \\ 3{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}$

Der Spurpunkt in der $x_1x_2$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{12}(1{,}5|3{,}5|0)$ .

Für die Berechnung des Spurpunktes in der $x_1x_3$ -Ebene setzt man $x_2=0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .

$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2+3\cdot r$
	↓	Setze $x_2=0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2+3\cdot r$	$\displaystyle -2$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle 3\cdot r$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{2}{3}$

Der Wert $r=-\dfrac{2}{3}$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_1x_3$ -Ebene zu berechnen:

$\displaystyle \vec{X}_{S_{13}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r=-\frac{2}{3}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+(-\frac{2}{3})\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1-\frac{2}{3} \\ 2-2 \\ 1+\frac{4}{3} \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac{1}{3} \\ 0 \\ \frac{7}{3} \end{pmatrix}$

Der Spurpunkt in der $x_1x_3$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{13}(\frac{1}{3}|0|\frac{7}{3})$ .

Für den Spurpunkt in der $x_2x_3$ -Ebene setzt man $x_1=0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .

$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 1+r$
	↓	Setze $x_1=0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1+r$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle -1$

Der Wert $r=-1$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_2x_3$ -Ebene zu berechnen:

$\displaystyle \vec{X}_{S_{23}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r=-1$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1-1 \\ 2-3 \\ 1+2 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

Der Spurpunkt in der $x_2x_3$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{23}(0|-1|3)$ .

Skizze der Geraden

Lage der Geraden im Koordinatensystem

Die Gerade $h$ ist zu keiner Koordinatenebene parallel.

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$k:\overrightarrow{X}=r\cdot \begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden
Anhand der Geradengleichung kannst du feststellen, dass die Gerade $k$ durch den Koordinatenursprung verläuft. Sie ist außerdem zu keiner Koordinatenebene parallel. Es gibt somit nur einen Spurpunkt $S(0|0|0)$ .
Skizze der Geraden
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$l:\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte einer Geraden

Spurpunkte berechnen

Um den Spurpunkt in der $x_1x_2$ -Ebene zu berechnen, setzt man $x_3=0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ :

$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 1-2\cdot r$
	↓	Setze $x_3=0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1-2\cdot r$	$\displaystyle +2r$
$\displaystyle 2\cdot r$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Der Wert $r=\dfrac{1}{2}$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_1x_2$ -Ebene zu berechnen:

$\displaystyle \vec{X}_{S_{12}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r=\frac{1}{2}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+(\frac{1}{2})\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 +0\\ 2 +\frac{3}{2}\\ 1-1 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\3{,}5\\ 0\end{pmatrix}$

Der Spurpunkt in der $x_1x_2$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{12}(0|3{,}5|0)$ .

Für die Berechnung des Spurpunktes in der $x_1x_3$ -Ebene setzt man $x_2=0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .

$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2+3\cdot r$
	↓	Setze $x_2=0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2+3\cdot r$	$\displaystyle -2$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle 3\cdot r$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{2}{3}$

Der Wert $r=-\dfrac{2}{3}$ wird in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes in der $x_1x_3$ -Ebene zu berechnen:

$\displaystyle \vec{X}_{S_{12}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r=-\frac{2}{3}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+(-\frac{2}{3})\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 +0\\ 2 -2\\ 1+\frac{4}{3} \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0 \\0\\ \frac{7}{3}\end{pmatrix}$

Der Spurpunkt in der $x_1x_3$ -Ebene hat die Koordinaten $S_{13}\left(0|0|\frac{7}{3}\right)$ .

Für den Spurpunkt in der $x_2x_3$ -Ebene setzt man $x_1=0$ in der Geradengleichung und berechnet den Parameter $r$ .

$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0+0\cdot r$
	↓	Setze $x_1=0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0+0\cdot r$

Du hast die Gleichung $0=0+0\cdot r$ erhalten. Diese Gleichung ist für alle $r$ erfüllt ( wahre Aussage). Die Gerade hat somit unendlich viele Schnittpunkte mit der $x_2x_3$ -Ebene, d.h. die Gerade hat auch unendlich viele Spurpunkte in der $x_2x_3$ -Ebene.

Skizze der Geraden

Lage der Geraden im Koordinatensystem

Die Gerade $l$ liegt in der $x_2x_3$ -Ebene.

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