Lerne hier das kartesische Produkt von Mengen anzuwenden und zu bestimmen.
Gib das kartesische Produkt der Mengen A={1,â â2,â â3}A=\left\{1,\;2,\;3\right\}A={1,2,3} und B={3,â â4,â â5,â â6}B=\left\{3,\;4,\;5,\;6\right\}B={3,4,5,6} an.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kartesisches Produkt
Das kartesische Produkt AĂBA\times BAĂB ist definiert als:
Das heiĂt: Um das kartesische Produkt zu ermitteln, musst du jede mögliche Kombination bilden, die ein Element aus AAA enthĂ€lt und eines aus BBB.
Die möglichen Kombinationen schreibst du als Tupel auf: (a,b)(a, b)(a,b). Dabei stehen im linken Eintrag nur Elemente aus AAA und im rechten nur Elemente aus BBB.
Also ist das kartesische Produkt der beiden Mengen:
AĂB={(1;3),â â(1;4),â â(1;5),â â(1;6),â â(2;3),â â(2;4),â â(2;5),â â(2;6),â â(3;3),â â(3;4),â â(3;5),â â(3;6)}A\times B = \left\{\left(1;3\right),\;\left(1;4\right),\;\left(1;5\right),\;\left(1;6\right),\;\left(2;3\right),\;\left(2;4\right),\;\left(2;5\right),\;\left(2;6\right),\;\left(3;3\right),\;\left(3;4\right),\;\left(3;5\right),\;\left(3;6\right)\right\}AĂB={(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),(3;3),(3;4),(3;5),(3;6)}
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Sei C={1,â â2},â âD={3,â â4},â âE={5,â â6}C=\left\{1,\;2\right\},\;D=\left\{3,\;4\right\},\;E=\left\{5,\;6\right\}C={1,2},D={3,4},E={5,6}. Gib das kartesische Produkt CĂ(DĂE)C\times \left(D\times E\right)CĂ(DĂE) an.
Das kartesische Produkt AĂBA\times BAĂB ist definiert als AĂB={(a;b)âŁaâA,bâB}A\times B = \{ (a;b) \mid a\in A, b\in B \}AĂB={(a;b)âŁaâA,bâB}. Also folgt:
CĂ(DĂE)={(1;(3;5)),â â(1;(3;6)),â â(1;(4;5)),â â(1;(4;6)),â â(2;(3;5)),â â(2;(3;6)),â â(2;(4;5)),â â(2;(4;6))}C\times\left(D\times E\right)=\left\{\left(1;\left(3;5\right)\right),\;\left(1;\left(3;6\right)\right),\;\left(1;\left(4;5\right)\right),\;\left(1;\left(4;6\right)\right),\;\left(2;\left(3;5\right)\right),\;\left(2;\left(3;6\right)\right),\;\left(2;\left(4;5\right)\right),\;\left(2;\left(4;6\right)\right)\right\}CĂ(DĂE)={(1;(3;5)),(1;(3;6)),(1;(4;5)),(1;(4;6)),(2;(3;5)),(2;(3;6)),(2;(4;5)),(2;(4;6))}
Gegeben seien die Mengen A={2,3},B={4,5},C={6,7}A= \{ 2{,}3 \}, B = \{4{,}5\},C = \{6{,}7\}A={2,3},B={4,5},C={6,7}.
Gib die folgenden Mengen an:
AĂ(BâȘC)A\times (B\cup C)AĂ(BâȘC)
Berechne zuerst die Menge BâȘC\sf B \cup CBâȘC
BâȘC={4,5,6,7}\displaystyle \sf B \cup C = \{4{,}5{,}6{,}7\}BâȘC={4,5,6,7}
Berechne nun das kartesische Produkt, indem alle Möglichkeiten Kombinationen aufgelistet werden.
AĂ(BâȘC)={(2,4);(2,5);(2,6);(2,7);(3,4);(3,5);(3,6);(3,7)}\displaystyle \sf A \times ( B \cup C ) = \{ (2{,}4);(2{,}5);(2{,}6);(2{,}7);(3{,}4);(3{,}5);(3{,}6);(3{,}7) \}AĂ(BâȘC)={(2,4);(2,5);(2,6);(2,7);(3,4);(3,5);(3,6);(3,7)}
Kommentiere hier đ
AĂ(AâȘB)A\times (A\cup B)AĂ(AâȘB)
Berechne zuerst die Menge AâȘBA \cup BAâȘB
AâȘB={2,3,4,5}A \cup B = \{2{,}3,4{,}5 \}AâȘB={2,3,4,5}
Berechne nun das kartesische Produkt, indem alle Kombinationsmöglichkeiten aufgelistet werden.
AĂ(AâȘB)={(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(3,2);(3,3);(3,4);(3,5)}A \times ( A \cup B)= \{ (2{,}2);(2{,}3);(2{,}4);(2{,}5);(3{,}2);(3{,}3);(3{,}4);(3{,}5) \}AĂ(AâȘB)={(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(3,2);(3,3);(3,4);(3,5)}
(AĂB)âȘ(BĂC)(A\times B)\cup (B\times C)(AĂB)âȘ(BĂC)
Berechne zuerst die Mengen AĂBA \times BAĂB und BĂCB \times CBĂC
AĂB={(2,5);(3,5);(2,4);(3,4)}A \times B= \{ (2{,}5);(3{,}5);(2{,}4);(3{,}4)\}AĂB={(2,5);(3,5);(2,4);(3,4)}
BĂC={(4,6);(4,7);(5,6);(5,7)}B \times C = \{(4{,}6);(4{,}7);(5{,}6);(5{,}7)\}BĂC={(4,6);(4,7);(5,6);(5,7)}
Gib nun die Vereinigungsmenge an
(AĂB)âȘ(BĂC)={(2,5);(3,5);(2,4);(3,4);(4,6);(4,7);(5,6);(5,7)}(A \times B) \cup (B \times C) = \{(2{,}5);(3{,}5);(2{,}4);(3{,}4);(4{,}6);(4{,}7);(5{,}6);(5{,}7) \}(AĂB)âȘ(BĂC)={(2,5);(3,5);(2,4);(3,4);(4,6);(4,7);(5,6);(5,7)}
Gegeben sind die drei Mengen: A={2,(2,4)}A= \{ 2,(2{,}4)\}A={2,(2,4)}, B={6,7}B=\{6{,}7 \}B={6,7}, C={5,(6,7)}C=\{5,(6{,}7)\}C={5,(6,7)}
Gib das kartesische Produkt AĂBA \times BAĂB an.
Das kartesische Produkt enthÀlt alle geordneten Paare der Elemente aus AAA und BBB:
AĂB={(2,6),(2,7),((2,4),6),((2,4),7)}A \times B= \{(2{,}6),(2{,}7),\big((2{,}4),6\big),\big((2{,}4),7 \big)\}AĂB={(2,6),(2,7),((2,4),6),((2,4),7)}
Gib das kartesische Produkt AĂCA \times CAĂC an.
AĂC={(2,5),(2,(6,7)),((2,4),5),((2,4),(6,7))}A \times C = \{ (2{,}5),\big(2,(6{,}7)\big),\big((2{,}4),5\big),\big((2{,}4),(6{,}7)\big)\}AĂC={(2,5),(2,(6,7)),((2,4),5),((2,4),(6,7))}
