Der Neupreis des Autos beträgt $\ 37450\ €.$

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{35mm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N(t)\ =\ 25000\quad N_0=37450\quad p\ =\ \dfrac{12{,}7\%}{100\%}=0{,}127\ \$setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{35mm}25000=37450\cdot(1-0{,}127)^{t}$

$\hspace{35mm}\dfrac{25000}{37450}=0{,}873^{t}$

$\hspace{35mm}0{,}873^{t}=\dfrac{25000}{37450}$

Berechne $\text{t}$ mit Hilfe des Logarithmus.

$\hspace{30mm}t=\log_{0{,}873}\left(\dfrac{25000}{37450}\right)$

$\hspace{30mm}t\ =\ \dfrac{lg\ 25000-lg\ 37450}{lg\ 0{,}873}\ \Rightarrow\ t\ \approx\ \dfrac{-0{,}176}{-0{,}059}\ \Rightarrow\ t\ \approx\ 3\ \text{Jahre}$

Nach ungefähr $\ 3\$ Jahren verringert sich der Wert des Autos von $\ 37500\ €\$ auf $\ 25000\ €$.

Wert des Neuwagens nach $\ 8\$ Jahren: $\ 9000\ €$

Die Formel fur das exponentielle Wachstum lautet:

$\hspace{4cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N(t)\ =\ 9000\qquad N_0=37450\qquad t\ =\ 8\ \text{Jahre}\qquad$setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4cm}9000=37450\cdot(1-p)^{8}$

$\hspace{4cm}\dfrac{9000}{37450}=(1-p)^{8}$

$\hspace{4cm}(1-p)^{8}=\dfrac{9000}{37450}$

$\hspace{4cm}(1-p)=\sqrt[\scriptsize{8}]{\dfrac{9000}{37450}}$

$\hspace{3cm}1-p=0{,}837\quad\Rightarrow\quad -p=0{,}837-1$

$\hspace{50mm}p\approx0{,}163$

Der Wertverlust pro Jahr beträgt ungefähr$\ \boxed{16{,}3\%}$

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{4cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N_0\ =\ 37450\quad p_{1}\ =\ 25\%\ \ t_{1}\ =\ 1\ \text{Jahre}\quad \\\hspace{22mm}p_{2}\ =\ 18\%\ \ t_{2}\ =\ 1\ \text{Jahre}\quad \\\hspace{22mm}p_{3}\ =\ \ \ 9\%\ \ t_{3}\ =\ 4\ \text{Jahre}$

Berechne den Wert des Autos nach 6 Jahren.

$\ N\left(6\right)=37450\cdot(1-0{,}25)^1\cdot(1-0{,}18)^1 \cdot(1-0{,}09)^4$

$\ N\left(6\right)=37450\cdot0{,}75^1\cdot0{,}82^1\cdot0{,}91^4$

$\ N\left(6\right)=37450\cdot0{,}421736\\\ N\left(6\right)\approx15794\ €$

Nach $6$ Jahren beträgt der Wert des Autos noch ungefähr $15794$ Euro.