Aufgaben zu quadratischen Ungleichungen

Mit diesen Aufgaben übst du, quadratische Ungleichungen zu lösen. Du löst Ungleichungen mit quadratischen Termen (zum Beispiel $x^{2}$ ).

Löse folgende Ungleichungen

$-3x^2-4x+5\geq0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung

1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

$- 3 x^{2} - 4 x + 5 = 0$

2. Quadratische Gleichung lösen

Löse die quadratische Gleichung $- 3 x^{2} - 4 x + 5 = 0$ .

Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a = - 3$ , $b = - 4$ und $c = 5$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = - 3$ , $b = - 4$ und $ c = 5$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-4\cdot(-3) \cdot5}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{16+60}}{(-6)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{76}}{(-6)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm2 \cdot\sqrt{19}}{(-6)}$
	↓	Klammere $2$ aus und kürze.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{2\pm \sqrt{19}}{3}$

Du hast als Lösung $x_{1 , 2}=-\dfrac{2\pm \sqrt{19}}{3}$ erhalten.

$x_1=-\dfrac{2+ \sqrt{19}}{3}=\dfrac{-2- \sqrt{19}}{3}\approx-2{,}1$

und $x_2 =-\dfrac{2- \sqrt{19}}{3}=\dfrac{-2+ \sqrt{19}}{3}\approx0{,}8$

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: $f (x) = - 3 x^{2} - 4 x + 5$

Erstelle eine Vorzeichentabelle für $f (x)$ :

Ergebnis: Im mittleren Intervall $I_{2}$ ist $f (x) > 0$ .

In der Ungleichung steht ein " $\geq$ ". In diesem Fall gehören auch die beiden Nullstellen zum Lösungsintervall.

4. Angabe der Lösungsmenge

Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:

\displaystyle \mathbb{L}=\left[\dfrac{-2- \sqrt{19}}{3};\dfrac{-2+ \sqrt{19}}{3}\right]

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$x^2-3x+10\leq0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung

1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

$x^{2} - 3 x + 10 = 0$

2. Quadratische Gleichung lösen

Löse die quadratische Gleichung $x^{2} - 3 x + 10 = 0$ . Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:

$p = - 3$ und $q = 10$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = - 3$ und $q = 10$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-3)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2-10}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-10}$
	↓	Erweitere $10$ mit $4$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-\dfrac{40}{4}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{-\dfrac{31}{4}}$

Der Radikand ist negativ, d.h. die quadratische Gleichung hat keine Lösung.

Der Graph der Funktion $f (x) = x^{2} - 3 x + 10$ hat keine Nullstellen. Für alle $x$ ist $f(x)\neq 0$ .

Es muss nun geprüft werden, ob der Graph komplett oberhalb oder unterhalb der $x$ -Achse verläuft. Setze einen beliebigen x-Wert in die Funktionsgleichung ein, z.B. $x = 0$ :

$f(0)=0^2-3\cdot 0+10=10> 0$

$\Rightarrow\;$ Die Funktion $f$ verläuft also komplett oberhalb der $x$ -Achse.

Es gibt keinen $x$ -Wert, der die Ungleichung $x^2-3x+10\le0$ erfüllt.

Die Lösungsmenge der Ungleichung ist somit die leere Menge:

\displaystyle \mathbb{L}=\{\}

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$2 x^{2} + 98 > 28 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung

1. Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite

$\displaystyle 2x^2+98$	$>$	$\displaystyle 28x$	$\displaystyle -28x$
	↓	Alle Terme auf eine Seite bringen.
$\displaystyle 2x^2-28x+98$	$>$	$\displaystyle 0$

Du hast die quadratische Ungleichung $2 x^{2} - 28 x + 98 > 0$ erhalten.

2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

$2 x^{2} - 28 x + 98 = 0$

3. Quadratische Gleichung lösen

Löse die quadratische Gleichung $2 x^{2} - 28 x + 98 = 0$ .

Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a = 2$ , $b = - 28$ und $c = 98$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 2$ , $b = - 28$ und $c = 98$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-28)\pm \sqrt{(-28)^{2}-4\cdot2 \cdot98}}{2\cdot 2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{28\pm \sqrt{784-784}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{28\pm 0}{4}$
	$=$	$\displaystyle 7$

Du hast als Lösung der quadratischen Gleichung die Doppelnullstelle $x = 7$ erhalten.

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: $f (x) = 2 x^{2} - 28 x + 98$

Erstelle eine Vorzeichentabelle für $f (x)$ :

Ergebnis: In beiden Intervallen ist $f (x)$ jeweils positiv.

Lediglich für $x = 7$ ist $f (7) = 0$ .

Für $x\in \mathbb R\backslash\{7\}$ ist also die Ungleichung erfüllt.

4. Angabe der Lösungsmenge

Die Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge der gefundenen Lösungsintervalle.

Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:

\displaystyle \mathbb{L}=]-\infty;7[\;\cup\; ]7;\infty[

Gleichwertig ist auch die folgende Darstellung der Lösungsmenge:

\displaystyle \mathbb L=\mathbb R\backslash\{7\}

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