Aufgaben zu Volumen, Masse und Dichte

Herr Krösus hat für den Weihnachtsbaum einen Stern aus Gold gekauft.

Der Stern ist $9\;\text{mm}$ dick. Gold hat eine Dichte von $\rho=19{,}3 \;\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ .

Ein Gramm Gold kostet etwa $55\; \text{€}$ .

Die Maße des Weihnachtssterns kannst du der Zeichnung entnehmen.

Wie teuer war der Weihnachtsstern?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen

Für die Volumenberechnung benötigst du die Grundfläche und die Höhe des Körpers. Die Höhe ist gegeben. Berechne nun die Grundfläche.

Die Grundfläche des Weihnachtssterns

Die Grundfläche des Weihnachtssterns setzt sich aus fünf gleichschenkligen Dreiecken und einem regelmäßigen Fünfeck zusammen.

Berechne die Fläche der 5 $\textcolor{006400}{\mathbf{ \text{Dreiecke}}}$

Entnimm die Maße der Zeichnung:

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle 5\cdot\dfrac{g\cdot h}{2}$
	↓	Setze $g=2{,}82$ und $h=2{,}82$ ein.
	$=$	$\displaystyle 5\cdot\dfrac{2{,}82\cdot 2{,}82}{2}$
	$≈$	$\displaystyle 19{,}88$

Die gesamte Fläche der $5$ $\textcolor{006400}{\mathbf{ \text{Dreiecke}}}$ beträgt etwa $19{,}88\;\text{cm}^2$ .

Berechne die Fläche des Fünfecks

Das Fünfeck setzt sich aus 5 gleichschenkligen Dreiecken zusammen.

Die Basis des Dreiecks ist $2{,}82 \;\text{cm}$ lang. Die beiden Schenkel sind $2{,}4 \;\text{cm}$ lang. Die Höhe des Dreiecks kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

$2{,}4^2=\left(\dfrac{g}{2}\right)^2+h^2$

Mit $g=2{,}82$ folgt dann:

$2{,}4^2=\left(\frac{2{,}82}{2}\right)^2+h^2=1{,}41^2+h^2$ $\;\Rightarrow\;$

$h=\sqrt{2{,}4^2-1{,}41^2}\approx1{,}94\;\text{cm}$

Für das Fünfeck (bestehend aus 5 Dreiecken) folgt dann:

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle 5\cdot\dfrac{g\cdot h}{2}$
	↓	Setze $g=2{,}82$ und $h=1{,}94$ ein.
	$=$	$\displaystyle 5\cdot\dfrac{2{,}82\cdot 1{,}94}{2}$
	$≈$	$\displaystyle 13{,}68$

Das Fünfeck hat eine Fläche von $13{,}68 \;\text{cm}^2$ .

Die gesamte Grundfläche des Weihnachtssterns beträgt dann:

$A_{ges}=19{,}88\; \text{cm}^2+13{,}68\; \text{cm}^2 =33{,}56 \; \text{cm}^2$

Berechne das Volumen

Das Volumen berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe.

Dabei ist die Grundfläche $A=33{,}56 \; \text{cm}^2$ .

Die Höhe beträgt $h=9\;\text{mm}= 0{,}9 \;\text{cm}$ .

$V=A\cdot h=33{,}56\; \text{cm}^2 \cdot 0{,}9\;\text{ cm}\approx30{,}2\; \text{cm}^3$

Der Weihnachtsstern hat ein Volumen von etwa $30{,}2\;\text{cm}^3$ .

Berechne die Masse des Goldes

Gegeben ist die Dichte $\rho$ des Goldes.

Die Masse berechnest du dann nach der Formel:

\displaystyle m=\rho\cdot V

$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \rho\cdot V$
	↓	Setze $\rho=19{,}3 \;\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ und $V=30{,}2\;\text{cm}^3$ ein.
	$=$	$\displaystyle 19{,}3 \;\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot 30{,}2 \;\text{cm}^3$
	↓	Kürze $\text{cm}^3$ .
	$≈$	$\displaystyle 582{,}9\;\text{g}$

Der Weihnachtsstern hat eine Masse von etwa $582{,}9\; \text{g}$ .

Berechne den Preis für den Weihnachtsstern

$1\;\text{g}$ Gold kostet $55\;\text{€}$ .

Dann muss Herr Krösus $582{,}9\cdot 55\;\text{€}=32059{,}50\;\text{€}$ für den Weihnachtsstern bezahlen.

Antwort: Der Weihnachtsstern kostet $32059{,}50\;\text{€}$ .

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