Aufgaben zu Volumen, Masse und Dichte

a und b in dm umrechnen

$a=500\text{ mm}=5\text{ dm}a=500\backslash mm=5\backslash dm$

$b=300\text{ mm}=3\text{ dm}b=300\backslash mm=3\backslash dm$

Berechnung des Volumens

Ziehe also das Volumen der halben Kugel von dem Volumen des Kegels ab.

Berechnung der Masse

$m=\rho \cdot V=\mathrm{7,2}\frac{g}{c{m}^3}\cdot 168c{m}^3=\mathrm{1209,6}g\approx \mathrm{1,2}kgm=\backslash rho\backslash cdot\; V=7\{,\}2\backslash frac\{g\}\{cm^3\}\backslash cdot168cm^3=1209\{,\}6g\backslash approx1\{,\}2kg$

Das Stahlteil setzt sich aus einem Quader und einem Zylinder zusammen. Berechne so zunächst die Volumina der beiden Einzelelemente. Nach Ermittlung des Gesamtvolumens wird die Masse über die Dichte bestimmt.

Volumenberechnung

Zur Berechnung des Quadervolumens rechne die Längen in Dezimeter um und multipliziere Länge, Breite und Höhe des Quaders.

--$V_Q=\mathrm{1,5}dm\cdot \mathrm{1,2}dm\cdot \mathrm{2,5}dm=\mathrm{4,5}d{m}^{3}V\_Q=1\{,\}5dm\backslash cdot1\{,\}2dm\backslash cdot2\{,\}5dm=4\{,\}5dm^3$

Rechne die Längen in Dezimeter um und berechne das Volumen des Zylinders mit der bekannten Formel.

$V_Z=\frac{(\mathrm{0,5}dm{)}^2\cdot \pi }{4}\cdot \mathrm{3,0}dm=\mathrm{0,589}d{m}^{3}V\_Z=\backslash frac\{(0\{,\}5dm)^2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\}4\backslash cdot3\{,\}0dm=0\{,\}589dm^3$

Für das Gesamtvolumen gilt nun:

$V_{Ges}=V_Q+V_Z=\mathrm{4,5}d{m}^3+\mathrm{0,589}d{m}^3=\mathrm{5,089}d{m}^{3}V\_\{Ges\}=V\_Q+V\_Z=4\{,\}5dm^3+0\{,\}589dm^3=5\{,\}089dm^3$

Bestimmung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse $mm$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho \backslash rho$ und Volumen $VV$.

$\rho =\frac{m}{V}\iff m=\rho \cdot V\backslash rho=\backslash frac\; mV\backslash ;\backslash Leftrightarrow\; m=\backslash rho\backslash cdot\; V$

$m={\rho }_{Stahl}\cdot V=\mathrm{7,85}\frac{kg}{d{m}^3}\cdot \mathrm{5,089}d{m}^3=\mathrm{39,949}kgm=\backslash rho\_\{Stahl\}\backslash cdot\; V=7\{,\}85\backslash frac\{kg\}\{dm^3\}\backslash cdot5\{,\}089dm^3=39\{,\}949kg$

Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um. Berechne dann die Kreis-, Quadrat- und Lochfläche. Ermittle danach die Gesamtfläche, sowie das Volumen.Über das Volumen erhälst du dann mit der Dichte das Volumen.

ext{Berechnung der Kreisfläche. Mit einem Durchmesser $d=3\text{ dm}d=3\backslash dm$ gilt:

$A_{\text{Kreis}}={\displaystyle \frac{(3\text{ dm}{)}^2\cdot \pi }{4}}=\mathrm{7,069}{\text{ dm}}^{2}A\_\{\backslash text\{Kreis\}\}=\backslash dfrac\{(3\backslash dm)^2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\}4=7\{,\}069\backslash dm^2$

Berechnung der Quadratfläche. Mit einer Seitenlänge $a=\mathrm{1,4}\text{ dm}a=1\{,\}4\backslash dm$ gilt:

$A_{\text{Quadrat}}=\mathrm{1,4}\text{ dm}\cdot \mathrm{1,4}\text{ dm}=\mathrm{1,96}{\text{ dm}}^{2}A\_\backslash text\{\{Quadrat\}\}=1\{,\}4\backslash dm\backslash cdot1\{,\}4\backslash dm=1\{,\}96\backslash dm^2$

Berechnung der Lochfläche. Die Löcher sind kleiner Kreise mit einem Durchmesser $d=\mathrm{0,4}\text{ dm}d=0\{,\}4\backslash dm$.

$A_{\text{Loch}}={\displaystyle \frac{(\mathrm{0,4}\text{ dm}{)}^2\cdot \pi }{4}}=\mathrm{0,126}{\text{ dm}}^{2}A\_\backslash text\{\{Loch\}\}=\backslash dfrac\{(0\{,\}4\backslash dm)^2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\}4=0\{,\}126\backslash dm^2$

Berechnung der Gesamtfläche

Aus der Skizze lässt sich entnehmen, dass der Aufriss gerade ein großer Kreis ohne ein mittleres Quadrat und vier kleinere kreisförmige Löcher ist. So gilt für die Fläche des Aufrisses $A_{\text{Ges}}A\_\backslash text\{\{Ges\}\}$:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{s}}={\mathrm{A}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}-{\mathrm{A}}_{\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}-4\cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{h}}=\mathrm{7,069}{\text{ dm}}^2-\mathrm{1,96}{\text{ dm}}^2-4\cdot \mathrm{0,126}{\text{ dm}}^2\backslash mathrm\{A\_\{Ges\}=A\_\{Kreis\}-A\_\{Quadrat\}-4\backslash cdot\; A\_\{Loch\}=7\{,\}069\backslash dm^2-1\{,\}96\backslash dm^2-4\backslash cdot0\{,\}126\backslash dm^2\}$

$=\mathrm{4,605}{\text{ dm}}^2=4\{,\}605\backslash dm^2$

Berechnung des Volumens

Das Volumen des Kupferstücks bestimmt sich als Produkt der Aufrissfläche und der Dicke. Somit gilt mit Dicke $\mathrm{0,12}\text{ dm}0\{,\}12\backslash dm$:

--

$\mathrm{V}={\mathrm{A}}_{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{s}}\cdot \mathrm{0,12}\text{ dm}=\mathrm{4,605}{\text{ dm}}^2\cdot \mathrm{0,12}\text{ dm}=\mathrm{0,553}{\text{ dm}}^3\backslash mathrm\{V=A\_\{Ges\}\backslash cdot0\{,\}12\backslash dm=4\{,\}605\backslash dm^2\backslash cdot0\{,\}12\backslash dm=0\{,\}553\backslash dm^3\}$

Berechnung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse $mm$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho \backslash rho$ und Volumen $VV$.

$\rho ={\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{V}}}\iff \mathrm{m}=\rho \cdot \mathrm{V}\backslash mathrm\{\backslash rho=\backslash dfrac\; mV\backslash ;\backslash Leftrightarrow\; m=\backslash rho\backslash cdot\; V\}$

$\mathrm{m}={\rho }_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}}\cdot \mathrm{V}=\mathrm{8,96}{\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{g}}{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}}\cdot \mathrm{0,553}{\text{ dm}}^3=\mathrm{4,955}\mathrm{k}\mathrm{g}\backslash mathrm\{m=\backslash rho\_\{Kupfer\}\backslash cdot\; V=8\{,\}96\backslash dfrac\{kg\}\{dm^3\}\backslash cdot0\{,\}553\backslash dm^3=4\{,\}955\backslash \; kg\}$

Volumenberechnung

Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um. Berechne dann das Volumen des Stahlrohrs als Produkt vom Aufriss und der Länge. Der Aufriss ist ein Kreisring, dessen Flächeninhalt als Differenz der Flächeninhalte des größeren und des kleineren Kreises ermittelt wird

$V=[{\left({\displaystyle \frac{D}{2}}\right)}^2\cdot \pi -{\left({\displaystyle \frac{d}{2}}\right)}^2\cdot \pi ]\cdot L={\displaystyle \frac{(D^2-d^2)\cdot \pi }{4}}\cdot LV=\backslash left[\backslash left(\backslash dfrac\; D2\backslash right)^2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi-\backslash left(\backslash dfrac\; d2\backslash right)^2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\backslash right]\backslash cdot\; L=\backslash dfrac\{(D^2-d^2)\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\}4\backslash cdot\; L$

$V={\displaystyle \frac{(2\text{ dm}{)}^2-(\mathrm{1,6}\text{ dm}{)}^2}{4}}\cdot \pi \cdot 100\text{ dm}=\mathrm{113,097}{\text{ dm}}^{3}V=\backslash dfrac\{(2\backslash dm)^2-(1\{,\}6\backslash dm)^2\}4\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot100\backslash dm=113\{,\}097\backslash dm^3$

Berechnung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse $mm$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho \backslash rho$ und Volumen $VV$.

$\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}\iff m=\rho \cdot V\backslash rho=\backslash dfrac\; mV\backslash ;\backslash Leftrightarrow\; m=\backslash rho\backslash cdot\; V$

$m={\rho }_{Stahl}\cdot V=\mathrm{7,85}{\displaystyle \frac{\text{ kg}}{{\text{ dm}}^3}}\cdot \mathrm{113,097}{\text{ dm}}^3=\mathrm{887,811}\text{ kg}m=\backslash rho\_\{Stahl\}\backslash cdot\; V=7\{,\}85\backslash dfrac\{\backslash text\{\; kg\}\}\{\backslash dm^3\}\backslash cdot113\{,\}097\backslash dm^3=887\{,\}811\backslash text\{\; kg\}$

Berechnung der Wandstärke

Ermittle die Wandstärke als halbe Differenz von Außendurchmesser und Innendurchmesser des Rohrs.

${\displaystyle \frac{D-d}{2}}={\displaystyle \frac{2\text{ dm}-\mathrm{1,6}\text{ dm}}{2}}=\mathrm{0,2}\text{ dm}=20\text{ mm}\backslash dfrac\{D-d\}2=\backslash dfrac\{2\backslash dm-1\{,\}6\backslash dm\}2=0\{,\}2\backslash dm=20\backslash mm$

Berechnung der Frontfläche $A_{Ges}=A_1+A_{2}A\_\{Ges\}=A\_1+A\_2$

Rechne zunächst die Längen in die Einheit Dezimeter um und berechne dann die beiden Flächen $A_{1}A\_1$ und $A_{2}A\_2$, um über diese leicht an das Volumen des Aluminiumstücks zu gelangen.

--Die Fläche $A_{1}A\_1$ ist Inhalt eines rechtwinkligen Dreieck, dessen Fläche sich als halbes Produkt der Katheten ermitteln lässt. Die Fläche $A_{2}A\_2$ ist Inhalt eines Rechtecks; sie lässt sich also bestimmen als Produkt der beiden verschiedenen Seitenlängen.

--

$\begin{array}{c}{A}_1={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}\text{ dm}\cdot \mathrm{1,5}\text{ dm}}{2}}=\mathrm{1,125}{\text{dm}}^2\\ A_2=\mathrm{5,5}\text{ dm}\cdot \mathrm{2,0}\text{ dm}=\mathrm{11,00}{\text{dm}}^2\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{2\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}A\_1=\backslash dfrac\{1\{,\}5\backslash \; \backslash text\{dm\}\backslash cdot1\{,\}5\backslash \; \backslash text\{dm\}\}2=1\{,\}125\backslash \; \backslash text\{dm\}^2\backslash \backslash A\_2=5\{,\}5\backslash \; \backslash text\{dm\}\backslash cdot2\{,\}0\backslash \; \backslash text\{dm\}=11\{,\}00\backslash \; \backslash text\{dm\}^2\backslash end\{array\}$

Für die Frontfläche $A_{Ges}A\_\{Ges\}$ gilt also:

$A_{Ges}=A_1+A_2=\mathrm{1,125}{\text{dm}}^2+\mathrm{11,00}{\text{dm}}^2=\mathrm{12,125}{\text{dm}}^{2}A\_\{Ges\}=A\_1+A\_2=1\{,\}125\backslash \; \backslash text\{dm\}^2+11\{,\}00\backslash \; \backslash text\{dm\}^2=12\{,\}125\backslash \; \backslash text\{dm\}^2$

Berechnung des Volumens

Aus der Skizze lässt sich erkennen, dass das Aluminiumstück aus einem Quader und einem Prisma besteht. Das Volumen des Aluminiumstücks lässt sich aufgrund dieser Beschaffenheit als Produkt von Frontfläche und Tiefe bestimmen.

Dabei gilt:

$V=A_{Ges}\cdot Tiefe=A_{Ges}\cdot 3\text{ dm}=\mathrm{12,125}{\text{dm}}^2\cdot 3\text{ dm}=\mathrm{36,375}{\text{dm}}^{3}V=A\_\{Ges\}\backslash cdot\; Tiefe=A\_\{Ges\}\backslash cdot3\backslash \; \backslash text\{dm\}=12\{,\}125\backslash \; \backslash text\{dm\}^2\backslash cdot3\backslash \; \backslash text\{dm\}=36\{,\}375\backslash \; \backslash text\{dm\}^3$

Berechnung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse $mm$ um.

Es gilt: $\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}\iff m=\rho \cdot V\backslash rho=\backslash dfrac\; mV\backslash ;\backslash Leftrightarrow\; m=\backslash rho\backslash cdot\; V$

Mit der Dichte $\rho =\mathrm{2,7}{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{dm}}^3}}\backslash rho=2\{,\}7\backslash dfrac\{\backslash text\{kg\}\}\{\backslash \; \backslash text\{dm\}^3\}$ und dem vorher bestimmten Volumen $V=\mathrm{36,375}{\text{dm}}^{3}V=36\{,\}375\backslash \; \backslash text\{dm\}^3$ ergibt sich:

$m=\rho \cdot V=\mathrm{2,7}{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{dm}}^3}}\cdot \mathrm{36,375}{\text{dm}}^3=\mathrm{98,213}\text{ kg}m=\backslash rho\backslash cdot\; V=2\{,\}7\backslash dfrac\{\backslash text\{kg\}\}\{\backslash text\{dm\}^3\}\backslash cdot36\{,\}375\backslash \; \backslash text\{dm\}^3=98\{,\}213\backslash \; \backslash text\{kg\}$

Rechne das Volumen in${\text{mm}}^3\backslash ;\backslash text\{mm\}^3$ um. Der Umrechnungsfaktor ist $10000001000000$.

$V=\mathrm{0,459}{\text{dm}}^3=459000{\text{mm}}^{3}V=0\{,\}459\backslash ;\backslash text\{dm\}^3=459000\backslash ;\backslash text\{mm\}^3$

Der abgewickelte Draht stellt einen Zylinder dar.

Das Volumen des Zylinders berechnest du mit der Formel $V_Z=\pi \cdot r^2\cdot h\mathrm{.}V\_Z=\backslash pi\backslash cdot\; r^2\backslash cdot\; h.$

Dabei ist $r={\displaystyle \frac{d}{2}}=\mathrm{0,25}\text{mm}r=\backslash dfrac\{d\}\{2\}=0\{,\}25\backslash ;\backslash text\{mm\}$.

Die Formel $V_{Z}V\_Z$ muss nach $hh$ umgestellt werden:

Der Draht hat eine Länge von rund $2337668\text{mm}2337668\backslash ;\backslash text\{mm\}$ bzw. rund $2340\text{m}2340\; \backslash ;\backslash text\{m\}$.

Bestimmung des Volumens

Zur Berechnung des Quadervolumens rechne die Längen in Dezimeter um und multipliziere Länge, Breite und Höhe des Quaders. Hinweis: Die Grundfläche des Quaders ist ein Quadrat.

$100\text{mm}=1\text{dm}100\backslash ;\backslash text\{mm\}=1\backslash ;\backslash text\{dm\}$

$V_Q=\mathrm{0,3}\text{dm}\cdot \mathrm{0,3}\text{dm}\cdot \mathrm{0,4}\text{dm}=\mathrm{0,036}{\text{dm}}^{3}V\_Q=0\{,\}3\backslash ;\backslash text\{dm\}\backslash cdot\; 0\{,\}3\; \backslash ;\backslash text\{dm\}\backslash cdot\; 0\{,\}4\backslash ;\backslash text\{dm\}=0\{,\}036\backslash ;\backslash text\{dm\}^3$

Rechne die Längen in Dezimeter um und berechne das Volumen des Zylinders mit der bekannten Formel.

Es ist: $d=18\text{mm}=\mathrm{0,18}\text{dm}d=18\backslash ;\backslash text\{mm\}=0\{,\}18\backslash ;\backslash text\{dm\}$ und $h=35\text{mm}=\mathrm{0,35}\text{dm}h=35\backslash ;\backslash text\{mm\}=0\{,\}35\backslash ;\backslash text\{dm\}$

$V_{Ges}=V_Q+V_Z=\mathrm{0,036}{\text{dm}}^3+\mathrm{0,009}{\text{dm}}^3=\mathrm{0,045}{\text{dm}}^{3}V\_\{Ges\}=V\_Q+V\_Z=0\{,\}036\backslash ;\backslash text\{dm\}^3+0\{,\}009\backslash ;\backslash text\{dm\}^3=0\{,\}045\backslash ;\backslash text\{dm\}^3$

Bestimmung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse $mm$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho \backslash rho$ und Volumen $VV$.

$\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}\iff m=\rho \cdot V\backslash rho=\backslash dfrac\; mV\backslash ;\backslash Leftrightarrow\; m=\backslash rho\backslash cdot\; V$

$m={\rho }_{Stahl}\cdot V_{Ges}=\mathrm{7,85}\frac{\text{kg}}{{\text{dm}}^3}\cdot \mathrm{0,045}{\text{dm}}^3\approx \mathrm{0,353}\text{kg}m=\backslash rho\_\{Stahl\}\backslash cdot\; V\_\{Ges\}=7\{,\}85\backslash frac\{\backslash ;\backslash text\{kg\}\}\{\backslash ;\backslash text\{dm\}^3\}\backslash cdot\; 0\{,\}045\backslash ;\backslash text\{dm\}^3\backslash approx0\{,\}353\backslash ;\backslash text\{kg\}$

Da es sich um $2020$ Teile handelt, muss die berechnete Masse für einen Lagerzapfen noch mit $2020$ multipliziert werden.

$m_{Ges}=20\cdot \mathrm{0,353}\text{kg}=\mathrm{7,06}\text{kg}m\_\{Ges\}=20\backslash cdot\; 0\{,\}353\backslash ;\backslash text\{kg\}=7\{,\}06\backslash ;\backslash text\{kg\}$

Die Masse aller Lagerzapfen beträgt $\mathrm{7,06}\text{kg}7\{,\}06\backslash ;\backslash text\{kg\}$.

Um das Gewicht des Objekts zu erhalten, berechnest du zunächst das Volumen und dann ergibt der Term "Volumen$\cdot \backslash cdot$Dichte" das Gewicht. Da die Dichte in kg/dm³ angegeben ist, verwendest du am besten schon in allen Zwischenschritten die Längeneinheit dm statt m.

Bei der Buchse handelt es sich nun um einen Rotationskörper, den du aus Zylindern zusammensetzen kannst.

Die Volumenformel für Zylinder lautet $V=\pi r^{2}hV=\backslash pi\; r^2h$ .

Du beginnst am besten von außen, d.h. ganz rechts an der breitesten Stelle.

Damit erhält man das Ergebnis: Das Gewicht in Bronze ist $G=\mathrm{8,6}\text{}\cdot \cdot \mathrm{0,0445}kg=\mathrm{0,3827}kgG\; =\; 8\{,\}6\; \backslash cdot\cdot \; 0\{,\}0445\; kg\; =\; 0\{,\}3827\; kg$

und das Gewicht in Kunststoff ist $\mathrm{2,2}\text{}\cdot \mathrm{0,0445}kg=\mathrm{0,0979}kg2\{,\}2\; \backslash cdot\; 0\{,\}0445\; kg\; =\; 0\{,\}0979\; kg$

Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um und berechne dann die beiden Flächen $A_{1}A\_1$ und $A_{2}A\_2$:

$\begin{array}{c}{A}_1=\mathrm{1,5}\text{ dm}\cdot \mathrm{1,5}\text{ dm}=\mathrm{2,25}{\text{dm}}^2\\ A_2=\mathrm{6,0}\text{ dm}\cdot \mathrm{2,5}\text{ dm}=\mathrm{15,00}{\text{dm}}^2\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}A\_1=1\{,\}5\backslash \; \backslash text\{dm\}\backslash cdot1\{,\}5\backslash \; \backslash text\{dm\}=2\{,\}25\backslash \; \backslash text\{dm\}^2\backslash \backslash A\_2=6\{,\}0\backslash \; \backslash text\{dm\}\backslash cdot2\{,\}5\backslash \; \backslash text\{dm\}=15\{,\}00\backslash \; \backslash text\{dm\}^2\backslash end\{array\}$

Berechne nun die Gesamtfläche:

$A_{Ges}=A_1+A_2=\mathrm{2,25}{\text{dm}}^2+\mathrm{15,00}{\text{dm}}^2=\mathrm{17,25}{\text{dm}}^{2}A\_\{Ges\}=A\_1+A\_2=2\{,\}25\backslash \; \backslash text\{dm\}^2+15\{,\}00\backslash \; \backslash text\{dm\}^2=17\{,\}25\backslash \; \backslash text\{dm\}^2$

Als nächstes berechnest du das Volumen:

$V=A_{Ges}\cdot 3\text{ dm}=\mathrm{17,25}{\text{dm}}^2\cdot 3\text{ dm}=\mathrm{51,75}{\text{dm}}^{3}V=A\_\{Ges\}\backslash cdot3\backslash \; \backslash text\{dm\}=17\{,\}25\backslash \; \backslash text\{dm\}^2\backslash cdot3\backslash \; \backslash text\{dm\}=51\{,\}75\backslash \; \backslash text\{dm\}^3$

Zum Schluss stellst du die Dichteformel nach m um und setzt den gerade berechneten Wert $VV$ ein:

$\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}\backslash rho=\backslash dfrac\; mV$

$m=\rho \cdot V=\mathrm{7,25}{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{dm}}^3}}\cdot \mathrm{51,75}{\text{dm}}^3=\mathrm{375,188}\text{ kg}m=\backslash rho\backslash cdot\; V=7\{,\}25\backslash dfrac\{\backslash text\{kg\}\}\{\backslash \; \backslash text\{dm\}^3\}\backslash cdot51\{,\}75\backslash \; \backslash text\{dm\}^3=375\{,\}188\backslash \; \backslash text\{kg\}$

Für die Volumenberechnung benötigst du die Grundfläche und die Höhe des Körpers. Die Höhe ist gegeben. Berechne nun die Grundfläche.

Die Grundfläche des Weihnachtssterns

Berechne die Fläche der 5 $\text{Dreiecke}\backslash textcolor\{006400\}\{\backslash mathbf\{\; \backslash text\{Dreiecke\}\}\}$

Entnimm die Maße der Zeichnung:

Die gesamte Fläche der $55$ $\text{Dreiecke}\backslash textcolor\{006400\}\{\backslash mathbf\{\; \backslash text\{Dreiecke\}\}\}$ beträgt etwa $\mathrm{19,88}{\text{cm}}^{2}19\{,\}88\backslash ;\backslash text\{cm\}^2$.

Berechne die Fläche des Fünfecks

Das Fünfeck setzt sich aus 5 gleichschenkligen Dreiecken zusammen.

Die Basis des Dreiecks ist $\mathrm{2,82}\text{cm}2\{,\}82\; \backslash ;\backslash text\{cm\}$ lang. Die beiden Schenkel sind $\mathrm{2,4}\text{cm}2\{,\}4\; \backslash ;\backslash text\{cm\}$ lang. Die Höhe des Dreiecks kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Für das Fünfeck (bestehend aus 5 Dreiecken) folgt dann:

Das Fünfeck hat eine Fläche von $\mathrm{13,68}{\text{cm}}^{2}13\{,\}68\; \backslash ;\backslash text\{cm\}^2$.

Die gesamte Grundfläche des Weihnachtssterns beträgt dann:

$A_{ges}=\mathrm{19,88}{\text{cm}}^2+\mathrm{13,68}{\text{cm}}^2=\mathrm{33,56}{\text{cm}}^{2}A\_\{ges\}=19\{,\}88\backslash ;\; \backslash text\{cm\}^2+13\{,\}68\backslash ;\; \backslash text\{cm\}^2\; =33\{,\}56\; \backslash ;\; \backslash text\{cm\}^2$

Berechne das Volumen

Das Volumen berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe.

Dabei ist die Grundfläche $A=\mathrm{33,56}{\text{cm}}^{2}A=33\{,\}56\; \backslash ;\; \backslash text\{cm\}^2$.

Die Höhe beträgt $h=9\text{mm}=\mathrm{0,9}\text{cm}h=9\backslash ;\backslash text\{mm\}=\; 0\{,\}9\; \backslash ;\backslash text\{cm\}$.

$V=A\cdot h=\mathrm{33,56}{\text{cm}}^2\cdot \mathrm{0,9}\text{ cm}\approx \mathrm{30,2}{\text{cm}}^{3}V=A\backslash cdot\; h=33\{,\}56\backslash ;\; \backslash text\{cm\}^2\; \backslash cdot\; 0\{,\}9\backslash ;\backslash text\{\; cm\}\backslash approx30\{,\}2\backslash ;\; \backslash text\{cm\}^3$

Der Weihnachtsstern hat ein Volumen von etwa $\mathrm{30,2}{\text{cm}}^{3}30\{,\}2\backslash ;\backslash text\{cm\}^3$.

Berechne die Masse des Goldes

Gegeben ist die Dichte $\rho \backslash rho$ des Goldes.

Die Masse berechnest du dann nach der Formel:

Der Weihnachtsstern hat eine Masse von etwa $\mathrm{582,9}\text{g}582\{,\}9\backslash ;\; \backslash text\{g\}$.

Berechne den Preis für den Weihnachtsstern

$1\text{g}1\backslash ;\backslash text\{g\}$ Gold kostet $55\text{€}55\backslash ;\backslash text\{€\}$.

Dann muss Herr Krösus $\mathrm{582,9}\cdot 55\text{€}=\mathrm{32059,50}\text{€}582\{,\}9\backslash cdot\; 55\backslash ;\backslash text\{€\}=32059\{,\}50\backslash ;\backslash text\{€\}$ für den Weihnachtsstern bezahlen.

Antwort: Der Weihnachtsstern kostet $\mathrm{32059,50}\text{€}32059\{,\}50\backslash ;\backslash text\{€\}$.