Aufgaben zu Volumen, Masse und Dichte

Lerne mit diesen gemischten Übungsaufgaben, Volumen, Masse und Dichte von Körpern zu berechnen.

In einem Ölbehälter (Quader) mit den Abmessungen a=500 mm, b=300 mm, c=250 mm ist m=25 kg Öl vorhanden.

Dichte von Öl: $\rho_{Öl}=0{,}9\frac{kg}{dm^3}$

Welche Höhe h in mm hat der Ölspiegel?

Ein quaderförmiges Werkstück it den Maßen a=10 mm, b=60 mm, c=150 mm hat eine Masse von m=657 g.

Welche Dichte hat das Material?

kg/dm³

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Eine Buchse (Rohrstück) aus CuSn 10 mit der Dichte
$\rho_{CuSn}=8{,}6\frac g{cm^3}$ hat die Durchmesser $D=77\mm$ , $d=68\mm$ und die Länge $l=115\mm$ .
Berechnen Sie die Masse in kg und runde auf 3 Dezimalstellen.
kg

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Volumen des äußeren Zylinders
Rechne als Erstes das Volumen des äußeren Zylinders aus. Nutze hierfür die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders
Rechne das Ergebnis mit deinem Taschenrechner aus, rechne es in Kubikzentimeter um und runde es auf zwei Dezimalstellen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}V_{\text{Zylinder aussen}}&=&\left(\frac{77\text{ mm}}{2}\right)^2\cdot\mathrm{\pi}\cdot115\text{ mm}\\&\approx&535511\text{ mm}^3\\&\approx&535{,}51\text{ cm}^3\end{array}$
Volumen des inneren Zylinders
Rechne nun den inneren Zylinder aus, rechne das Ergebnis in Kubikzentimeter um und runde es auf zwei Dezimalstellen.
Volumen des Rohrstücks
Ziehe den inneren Zylinder von dem äußeren Zylinder ab und runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.
Masse des Rohrstücks
Jetzt musst du das Ergebnis nur noch mit der Dichte multiplizieren und in Kilogramm umrechnen. Runde das Ergebnis auf drei Dezimalstellen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}m_{\text{Rohrstück}}&=&117{,}87\text{ cm}^3\cdot8{,}6\frac {\text{ g}}{\text{ cm}^3}\\&\approx&1013{,}68\ \text{g}\\&\approx&1{,}014\ \text{ k}g\end{array}$
Berechne zuerst das Volumen des Rohrstücks. Das Volumen des Rohrstücks kannst du aus der Differenz eines äußeren Zylinders und eines inneren Zylinders berechnen.
Wenn du das Volumen des Rohrstücks bestimmt hast, kannst du durch die Angabe der Dichte die Masse des Rohrstücks ermitteln.
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Ein rotationssymmetrisches Werkstück soll aus Gusseisen der Dichte $7{,}2\frac g{cm^3}$ hergestellt werden.
Das Bild zeigt das Werkstück im Querschnitt. Berechne die Masse des Werkstücks.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung
Gesucht: Masse $m$ des Werkstücks
Die Masse $m$ hängt mit dem Volumen $V$ und der Dichte $\rho$ zusammen.
Die Formel lautet: $\rho=\dfrac{m}{V}$
Stelle diese Formel nach $m$ um.
$m=\rho \cdot V$
$\rho =7{,}2 \frac {\mathrm {g}}{\mathrm{cm}^3}$ ist in der Aufgabe angegeben. Das Volumen musst du noch berechnen.
Berechnung des Volumens
Das Werkstück ist rotationssymmetrisch. Wenn sich die Figur um die eingezeichnete Achse dreht, entsteht
ein Kegel (wegen des Dreiecks),
aus dem eine Halbkugel (wegen des Halbkreises) herausgeschnitten ist.
Ziehe also das Volumen der halben Kugel von dem Volumen des Kegels ab.
$V=\frac13\cdot\left(6{,}0cm\right)^2\mathrm\pi\cdot8{,}0\mathrm{cm}-\frac12\cdot\frac43\cdot\left(4{,}0\mathrm{cm}\right)^3\mathrm\pi\\=(\frac{160}3\cdot\pi)\mathrm{cm}^3\\\approx168\mathrm{cm}^3$
Berechnung der Masse
$m=\rho\cdot V=7{,}2\frac{g}{cm^3}\cdot168cm^3=1209{,}6g\approx1{,}2kg$
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Berechne Volumen und Masse des Stahlteils. Alle Längen sind in Millimeter angegeben.
Dichte: $\rho_{Stahl}=7{,}85\frac{kg}{dm^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Körper und Volumen
Das Stahlteil setzt sich aus einem Quader und einem Zylinder zusammen. Berechne so zunächst die Volumina der beiden Einzelelemente. Nach Ermittlung des Gesamtvolumens wird die Masse über die Dichte bestimmt.
Volumenberechnung
Zur Berechnung des Quadervolumens rechne die Längen in Dezimeter um und multipliziere Länge, Breite und Höhe des Quaders.
-- $V_Q=1{,}5dm\cdot1{,}2dm\cdot2{,}5dm=4{,}5dm^3$
Rechne die Längen in Dezimeter um und berechne das Volumen des Zylinders mit der bekannten Formel.
$V_Z=\frac{(0{,}5dm)^2\cdot\mathrm\pi}4\cdot3{,}0dm=0{,}589dm^3$
Für das Gesamtvolumen gilt nun:
$V_{Ges}=V_Q+V_Z=4{,}5dm^3+0{,}589dm^3=5{,}089dm^3$
Bestimmung der Masse
Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho$ und Volumen $V$ .
$\rho=\frac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V$
$m=\rho_{Stahl}\cdot V=7{,}85\frac{kg}{dm^3}\cdot5{,}089dm^3=39{,}949kg$
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Berechne Volumen und Masse des Kupferteils. Das Material ist 12 mm dick.
Dichte: $\mathrm{\rho_{Kupfer}=8{,}96\frac{\ kg}{\dm^3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung
Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um. Berechne dann die Kreis-, Quadrat- und Lochfläche. Ermittle danach die Gesamtfläche, sowie das Volumen.Über das Volumen erhälst du dann mit der Dichte das Volumen.
ext{Berechnung der Kreisfläche. Mit einem Durchmesser $d=3\dm$ gilt:
$A_{\text{Kreis}}=\dfrac{(3\dm)^2\cdot\mathrm\pi}4=7{,}069\dm^2$
Berechnung der Quadratfläche. Mit einer Seitenlänge $a=1{,}4\dm$ gilt:
$A_\text{{Quadrat}}=1{,}4\dm\cdot1{,}4\dm=1{,}96\dm^2$
Berechnung der Lochfläche. Die Löcher sind kleiner Kreise mit einem Durchmesser $d=0{,}4\dm$ .
$A_\text{{Loch}}=\dfrac{(0{,}4\dm)^2\cdot\mathrm\pi}4=0{,}126\dm^2$
Berechnung der Gesamtfläche
Aus der Skizze lässt sich entnehmen, dass der Aufriss gerade ein großer Kreis ohne ein mittleres Quadrat und vier kleinere kreisförmige Löcher ist. So gilt für die Fläche des Aufrisses $A_\text{{Ges}}$ :
$\mathrm{A_{Ges}=A_{Kreis}-A_{Quadrat}-4\cdot A_{Loch}=7{,}069\dm^2-1{,}96\dm^2-4\cdot0{,}126\dm^2}$
$=4{,}605\dm^2$
Berechnung des Volumens
Das Volumen des Kupferstücks bestimmt sich als Produkt der Aufrissfläche und der Dicke. Somit gilt mit Dicke $0{,}12\dm$ :
--
$\mathrm{V=A_{Ges}\cdot0{,}12\dm=4{,}605\dm^2\cdot0{,}12\dm=0{,}553\dm^3}$
Berechnung der Masse
Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho$ und Volumen $V$ .
$\mathrm{\rho=\dfrac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V}$
$\mathrm{m=\rho_{Kupfer}\cdot V=8{,}96\dfrac{kg}{dm^3}\cdot0{,}553\dm^3=4{,}955\ kg}$
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Ein Stahlrohr ist 10 m lang ( $L = 10\,m$ ), hat einen Außendurchmesser von $D = 20\,cm$ und einen Innendurchmesser von $d = 160\,mm$ .
Berechnen Sie das Volumen, die Masse und die Wandstärke des Rohres.
$\rho_{Stahl}=7{,}85\frac{kg}{dm^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen- und Massenberechnung
Volumenberechnung
Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um. Berechne dann das Volumen des Stahlrohrs als Produkt vom Aufriss und der Länge. Der Aufriss ist ein Kreisring, dessen Flächeninhalt als Differenz der Flächeninhalte des größeren und des kleineren Kreises ermittelt wird
$V=\left[\left(\dfrac D2\right)^2\cdot\mathrm\pi-\left(\dfrac d2\right)^2\cdot\mathrm\pi\right]\cdot L=\dfrac{(D^2-d^2)\cdot\mathrm\pi}4\cdot L$
$V=\dfrac{(2\dm)^2-(1{,}6\dm)^2}4\cdot\pi\cdot100\dm=113{,}097\dm^3$
Berechnung der Masse
Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho$ und Volumen $V$ .
$\rho=\dfrac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V$
$m=\rho_{Stahl}\cdot V=7{,}85\dfrac{\text{ kg}}{\dm^3}\cdot113{,}097\dm^3=887{,}811\text{ kg}$
Berechnung der Wandstärke
Ermittle die Wandstärke als halbe Differenz von Außendurchmesser und Innendurchmesser des Rohrs.
$\dfrac{D-d}2=\dfrac{2\dm-1{,}6\dm}2=0{,}2\dm=20\mm$
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Berechne Volumen und Masse des Aluminiumteils. Die Seitenlängen sind in Millimetern angegeben.
Dichte: $\rho_{Alu}=2{,}7\dfrac{\text{kg}}{\text{dm}^3}$
Die Längen in der Zeichnung sind in Millimeter angegeben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung zusammengesetzter Körper
Berechnung der Frontfläche $A_{Ges}=A_1+A_2$
Rechne zunächst die Längen in die Einheit Dezimeter um und berechne dann die beiden Flächen $A_1$ und $A_2$ , um über diese leicht an das Volumen des Aluminiumstücks zu gelangen.
--Die Fläche $A_1$ ist Inhalt eines rechtwinkligen Dreieck, dessen Fläche sich als halbes Produkt der Katheten ermitteln lässt. Die Fläche $A_2$ ist Inhalt eines Rechtecks; sie lässt sich also bestimmen als Produkt der beiden verschiedenen Seitenlängen.
--
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{l}A_1=\dfrac{1{,}5\ \text{dm}\cdot1{,}5\ \text{dm}}2=1{,}125\ \text{dm}^2\\A_2=5{,}5\ \text{dm}\cdot2{,}0\ \text{dm}=11{,}00\ \text{dm}^2\end{array}$
Für die Frontfläche $A_{Ges}$ gilt also:
$A_{Ges}=A_1+A_2=1{,}125\ \text{dm}^2+11{,}00\ \text{dm}^2=12{,}125\ \text{dm}^2$
Berechnung des Volumens
Aus der Skizze lässt sich erkennen, dass das Aluminiumstück aus einem Quader und einem Prisma besteht. Das Volumen des Aluminiumstücks lässt sich aufgrund dieser Beschaffenheit als Produkt von Frontfläche und Tiefe bestimmen.
Dabei gilt:
$V=A_{Ges}\cdot Tiefe=A_{Ges}\cdot3\ \text{dm}=12{,}125\ \text{dm}^2\cdot3\ \text{dm}=36{,}375\ \text{dm}^3$
Berechnung der Masse
Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um.
Es gilt: $\rho=\dfrac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V$
Mit der Dichte $\rho=2{,}7\dfrac{\text{kg}}{\ \text{dm}^3}$ und dem vorher bestimmten Volumen $V=36{,}375\ \text{dm}^3$ ergibt sich:
$m=\rho\cdot V=2{,}7\dfrac{\text{kg}}{\text{dm}^3}\cdot36{,}375\ \text{dm}^3=98{,}213\ \text{kg}$

Eine Drahtrolle aus d=0,5mm dickem Stahldaht

$\rho_{Stahl}=7{,}85\frac{kg}{dm^3}$

hat eine Masse von m=3,6kg.

Wie viel Meter sind auf der Rolle?

Berechnen Sie die Masse von 20 Lagerzapfen aus S235J2 (St 37 -3) für Garagentore.

Stahl hat eine Dichte von $\rho_{Stahl}=7{,}85\frac{kg}{\dm^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen

Bestimmung des Volumens

Zur Berechnung des Quadervolumens rechne die Längen in Dezimeter um und multipliziere Länge, Breite und Höhe des Quaders. Hinweis: Die Grundfläche des Quaders ist ein Quadrat.

$100\;\text{mm}=1\;\text{dm}$

$V_Q=0{,}3\;\text{dm}\cdot 0{,}3 \;\text{dm}\cdot 0{,}4\;\text{dm}=0{,}036\;\text{dm}^3$

Rechne die Längen in Dezimeter um und berechne das Volumen des Zylinders mit der bekannten Formel.

Es ist: $d=18\;\text{mm}=0{,}18\;\text{dm}$ und $h=35\;\text{mm}=0{,}35\;\text{dm}$

$\displaystyle V_Z$	$=$	$\displaystyle \dfrac{d^2}{4}\cdot\pi\cdot h$
	↓	Setze die Werte für $d$ und $h$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}18^2\;\text{dm}^2}{4}\cdot\pi\cdot 0{,}35\;\text{dm}$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}009\;\text{dm}^3$

$V_{Ges}=V_Q+V_Z=0{,}036\;\text{dm}^3+0{,}009\;\text{dm}^3=0{,}045\;\text{dm}^3$

Bestimmung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho$ und Volumen $V$ .

$\rho=\dfrac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V$

$m=\rho_{Stahl}\cdot V_{Ges}=7{,}85\frac{\;\text{kg}}{\;\text{dm}^3}\cdot 0{,}045\;\text{dm}^3\approx0{,}353\;\text{kg}$

Da es sich um $20$ Teile handelt, muss die berechnete Masse für einen Lagerzapfen noch mit $20$ multipliziert werden.

$m_{Ges}=20\cdot 0{,}353\;\text{kg}=7{,}06\;\text{kg}$

Die Masse aller Lagerzapfen beträgt $7{,}06\;\text{kg}$ .

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zu berechnen ist die Masse der Bronze-Lagerbuchse (CuSn8). Auf welchen Bruchteil in % verringert sie sich, wenn man sie aus Kunststoff herstellt?
$\rho_{Bronze}=8{,}6\frac{kg}{dm^3};\;\rho_{Kunststoff}=2{,}2\frac{kg}{dm^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen
Um das Gewicht des Objekts zu erhalten, berechnest du zunächst das Volumen und dann ergibt der Term "Volumen $\cdot$ Dichte" das Gewicht. Da die Dichte in kg/dm³ angegeben ist, verwendest du am besten schon in allen Zwischenschritten die Längeneinheit dm statt m.
Bei der Buchse handelt es sich nun um einen Rotationskörper, den du aus Zylindern zusammensetzen kannst.
Die Volumenformel für Zylinder lautet $V=\pi r^2h$ .
Du beginnst am besten von außen, d.h. ganz rechts an der breitesten Stelle.
Die Höhe des Zylinders (hier von waagrecht eingezeichnet) berechnest du als $65mm - 57mm = 8mm = 0{,}08dm$ .
Der Durchmesser ist die höchste Stelle der Buchse und damit $60mm$ . Der Radius $r$ ist die Hälfte davon und also $30mm$ bzw $0{,}3 dm$ .
Damit ergibt sich mit der Volumenformel: $V = \pi\cdot(0{,}3dm)^2\cdot0{,}08dm = 0{,}0226dm^3$
Als nächstes berechnest du das Volumen der Röhre. Als Höhe dieses Rotationszylinders hast du die vollen $65mm$ also $6{,}5dm$ gegeben und der Durchmesser (hier wieder senkrecht) ist $34mm-24mm = 10mm = 0{,}1dm$ und damit der Radius $r = 0{,}05dm$ .
Es ergibt sich $V = \pi\cdot(0{,}05dm)^2\cdot 6{,}5dm = 0{,}0511dm^3$ .
Als bisherige Summe ergibt sich also $0{,}0737 dm^3$ .
Da du nun einen Teil der Fläche doppelt gezählt hast, ziehst du diesen wieder ab. Dazu musst du natürlich bestimmen, welches Volumen dieser Teil hat. Berechnet wird dieses ebenso wie zuvor schon zwei mal:
Höhe des Rotationszylinders ist $65mm-75mm = 8mm = 0{,}08dm$
Radius des Zylinders ist $r = \frac1 2$ Durchmesser $= \frac1 2\cdot 34mm = 17mm = 0{,}17dm$
Damit ergibt sich das Volumen als $V = \pi\cdot(0{,}08dm^2\cdot0{,}17dm = 0{,}0034dm^3$
Ziehst du dies von der bisherigen Summe ab, erhältst du als neues Zwischenergebnis $0{,}0703dm^3$ .
Jetzt musst du nur noch den Teil des Volumens der Röhre abziehen, den du noch nicht abgezogen hast.
Die Höhe dieses Zylinders (wieder waagrecht) ist $57mm = 0{,}57dm$
Der Durchmesser ist $24mm = 0{,}24dm$ und damit der Radius $0{,}12dm$ .
Das Volumen ist also $V = \pi\cdotπ⋅(0{,}12dm)²\cdot⋅0{,}57dm = 0{,}0258dm³$
$V = \pi\cdot(0{,}12dm)^2\cdot0{,}57dm = 0{,}0258dm^3$ Zieht man das von der bisherigen Zwischensumme ab, erhält man
$V = 0{,}0703dm^3 - 0{,}0258dm^3 = 0{,}0445dm^3$
Damit erhält man das Ergebnis: Das Gewicht in Bronze ist $G = 8{,}6 \cdot⋅ 0{,}0445 kg = 0{,}3827 kg$
und das Gewicht in Kunststoff ist $2{,}2 \cdot 0{,}0445 kg = 0{,}0979 kg$
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Berechne Volumen und Masse des Gussteils.
Dichte: $\rho_{Guss\;}=7{,}25\frac{kg}{dm^3}$
Die Längen in der Zeichnung sind in $\mathrm {mm}$ angegeben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung zusammengesetzter Körper
Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um und berechne dann die beiden Flächen $A_1$ und $A_2$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}A_1=1{,}5\ \text{dm}\cdot1{,}5\ \text{dm}=2{,}25\ \text{dm}^2\\A_2=6{,}0\ \text{dm}\cdot2{,}5\ \text{dm}=15{,}00\ \text{dm}^2\end{array}$
Berechne nun die Gesamtfläche:
$A_{Ges}=A_1+A_2=2{,}25\ \text{dm}^2+15{,}00\ \text{dm}^2=17{,}25\ \text{dm}^2$
Als nächstes berechnest du das Volumen:
$V=A_{Ges}\cdot3\ \text{dm}=17{,}25\ \text{dm}^2\cdot3\ \text{dm}=51{,}75\ \text{dm}^3$
Zum Schluss stellst du die Dichteformel nach m um und setzt den gerade berechneten Wert $V$ ein:
$\rho=\dfrac mV$
$m=\rho\cdot V=7{,}25\dfrac{\text{kg}}{\ \text{dm}^3}\cdot51{,}75\ \text{dm}^3=375{,}188\ \text{kg}$

Herr Krösus hat für den Weihnachtsbaum einen Stern aus Gold gekauft.

Der Stern ist $9\;\text{mm}$ dick. Gold hat eine Dichte von $\rho=19{,}3 \;\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ .

Ein Gramm Gold kostet etwa $55\; \text{€}$ .

Die Maße des Weihnachtssterns kannst du der Zeichnung entnehmen.

Wie teuer war der Weihnachtsstern?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen

Für die Volumenberechnung benötigst du die Grundfläche und die Höhe des Körpers. Die Höhe ist gegeben. Berechne nun die Grundfläche.

Die Grundfläche des Weihnachtssterns

Die Grundfläche des Weihnachtssterns setzt sich aus fünf gleichschenkligen Dreiecken und einem regelmäßigen Fünfeck zusammen.

Berechne die Fläche der 5 $\textcolor{006400}{\mathbf{ \text{Dreiecke}}}$

Entnimm die Maße der Zeichnung:

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle 5\cdot\dfrac{g\cdot h}{2}$
	↓	Setze $g=2{,}82$ und $h=2{,}82$ ein.
	$=$	$\displaystyle 5\cdot\dfrac{2{,}82\cdot 2{,}82}{2}$
	$≈$	$\displaystyle 19{,}88$

Die gesamte Fläche der $5$ $\textcolor{006400}{\mathbf{ \text{Dreiecke}}}$ beträgt etwa $19{,}88\;\text{cm}^2$ .

Berechne die Fläche des Fünfecks

Das Fünfeck setzt sich aus 5 gleichschenkligen Dreiecken zusammen.

Die Basis des Dreiecks ist $2{,}82 \;\text{cm}$ lang. Die beiden Schenkel sind $2{,}4 \;\text{cm}$ lang. Die Höhe des Dreiecks kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

$2{,}4^2=\left(\dfrac{g}{2}\right)^2+h^2$

Mit $g=2{,}82$ folgt dann:

$2{,}4^2=\left(\frac{2{,}82}{2}\right)^2+h^2=1{,}41^2+h^2$ $\;\Rightarrow\;$

$h=\sqrt{2{,}4^2-1{,}41^2}\approx1{,}94\;\text{cm}$

Für das Fünfeck (bestehend aus 5 Dreiecken) folgt dann:

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle 5\cdot\dfrac{g\cdot h}{2}$
	↓	Setze $g=2{,}82$ und $h=1{,}94$ ein.
	$=$	$\displaystyle 5\cdot\dfrac{2{,}82\cdot 1{,}94}{2}$
	$≈$	$\displaystyle 13{,}68$

Das Fünfeck hat eine Fläche von $13{,}68 \;\text{cm}^2$ .

Die gesamte Grundfläche des Weihnachtssterns beträgt dann:

$A_{ges}=19{,}88\; \text{cm}^2+13{,}68\; \text{cm}^2 =33{,}56 \; \text{cm}^2$

Berechne das Volumen

Das Volumen berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe.

Dabei ist die Grundfläche $A=33{,}56 \; \text{cm}^2$ .

Die Höhe beträgt $h=9\;\text{mm}= 0{,}9 \;\text{cm}$ .

$V=A\cdot h=33{,}56\; \text{cm}^2 \cdot 0{,}9\;\text{ cm}\approx30{,}2\; \text{cm}^3$

Der Weihnachtsstern hat ein Volumen von etwa $30{,}2\;\text{cm}^3$ .

Berechne die Masse des Goldes

Gegeben ist die Dichte $\rho$ des Goldes.

Die Masse berechnest du dann nach der Formel:

\displaystyle m=\rho\cdot V

$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \rho\cdot V$
	↓	Setze $\rho=19{,}3 \;\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ und $V=30{,}2\;\text{cm}^3$ ein.
	$=$	$\displaystyle 19{,}3 \;\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot 30{,}2 \;\text{cm}^3$
	↓	Kürze $\text{cm}^3$ .
	$≈$	$\displaystyle 582{,}9\;\text{g}$

Der Weihnachtsstern hat eine Masse von etwa $582{,}9\; \text{g}$ .

Berechne den Preis für den Weihnachtsstern

$1\;\text{g}$ Gold kostet $55\;\text{€}$ .

Dann muss Herr Krösus $582{,}9\cdot 55\;\text{€}=32059{,}50\;\text{€}$ für den Weihnachtsstern bezahlen.

Antwort: Der Weihnachtsstern kostet $32059{,}50\;\text{€}$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \rho$	$=$	$\displaystyle \frac{m}{V}$
	↓	Formel für die Dichte nach V umstellen
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \frac{m}{\rho}$
	↓	m und $\rho$ einsetzen.
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\frac{25\ kg}{0{,}9\dfrac{kg}{dm^3}}}$
	↓	Division
$\displaystyle V$	$≈$	$\displaystyle \mathrm{27{,}8d\ m^3}$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle a\cdot b\cdot h$	$\displaystyle :(a\cdot b)$
	↓	Volumenformel nach h auflösen
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac V{a\cdot b}$
	↓	V, a und b einsetzen
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\frac{27{,}8\ dm^3}{5\ dm\cdot3\ dm}}$
	↓	Multiplikation im Nenner
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\frac{27{,}8\ dm^3}{15\ dm^2}}$
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 1{,}85\dm$
	↓	in mm umrechnen
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 185\mm$

$\displaystyle V_{Quader}$	$=$	$\displaystyle a\cdot b\cdot c$
	↓	Längenmaße einsetzen
$\displaystyle V_{Quader}$	$=$	$\displaystyle 10\mm\cdot60\mm\cdot150\mm$
	↓	Multiplikation
$\displaystyle V_{Quader}$	$=$	$\displaystyle 90\;000\mm^3$

$\displaystyle \rho$	$=$	$\displaystyle \frac mV$
	↓	Werte einsetzen
$\displaystyle \rho$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\frac{0{,}657\ kg}{0{,}09\ dm^3}}$
	↓	Dividieren
$\displaystyle \rho$	$=$	$\displaystyle \mathrm{7{,}3\frac{\ kg}{\ dm^3}}$

$\displaystyle \rho$	$=$	$\displaystyle \frac{m}{V}$
	↓	Formel nach V umstellen.
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \frac{m}{\rho}$
	↓	$m$ und $\rho$ einsetzen.
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}6\;\text{kg}}{7{,}85\displaystyle\frac{\;\text{kg}}{\;\text{dm}^3}}$
	↓	Division.
$\displaystyle V$	$≈$	$\displaystyle 0{,}459\;\text{dm}^3$

$\displaystyle V_Z$	$=$	$\displaystyle \pi\cdot r^2\cdot h$	$\displaystyle :(\pi\cdot r^2)$
	↓	Formel nach $h$ umstellen.
$\displaystyle \dfrac{V_Z}{\pi\cdot r^2}$	$=$	$\displaystyle h$
	↓	Setze $V_z$ und $r$ ein.
$\displaystyle \dfrac{459000\;\text{mm}^3}{\pi\cdot (0{,}25\;\text{mm})^2}$	$=$	$\displaystyle h$
$\displaystyle 2337668\;\text{mm}$	$≈$	$\displaystyle h$

Aufgaben zu Volumen, Masse und Dichte

Volumen des äußeren Zylinders

Volumen des inneren Zylinders

Volumen des Rohrstücks

Masse des Rohrstücks

Berechnung des Volumens