1. Definitionsmenge

Die Definitionsmenge (Definitionsbereich) einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

$\textcolor{660099}{\sqrt{8-\sqrt{x+2}}}$: Prüfe, wann der Radikand $8-\sqrt{x+2}$ größer oder gleich null ist.

$\textcolor{006400}{\sqrt{x+2}}$: Prüfe nun, wann der Radikand ${x+2}$ größer oder gleich null ist.

Hier gilt: $x\geq-2$

Der gemeinsame Definitionsbereich für beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen ($\textcolor{660099}{\text{lila}}$ und $\textcolor{006400}{\text{grün}}$) überschneiden, ist der Definitionsbereich ($\textcolor{ff6600}{\text{orange}}$) für die Wurzelfunktion.

Für $0\le x\le62$ überschneiden sich die beiden Definitionsbereiche für die Wurzeln.

Der Definitionsbereich für die Wurzelfunktion $\textcolor{ff6600}{g(x)=}\textcolor{ff6600}{\underbrace{\sqrt{8-\sqrt{x+2}}}_{-2\le x\le62}}$ ist dann:

2. Wertemenge

Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Setzt du in den Radikanden $8-\sqrt{x+2}$ die linke Grenze des Definitionsbereichs $x=-2$ ein, so nimmt der Radikand seinen maximalen Wert $8$ an.

$\;\Rightarrow\;g(x)_{max}=\sqrt{8}$

Setzt du in den Radikanden $8-\sqrt{x+2}$ die rechte Grenze des Definitionsbereichs $x=62$ ein, so nimmt der Radikand seinen minimalen Wert $0$ an.

$\;\Rightarrow\;g(x)_{min}=0$

Für alle anderen $x$-Werte aus $]-2;62[$ gilt: $0<g(x) <\sqrt{8}$.

Dann folgt für den Wertebereich:

Graphische Veranschaulichung der Definitions- und Wertemenge