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Limes-Schreibweise

7Bestimmung des Grenzwertes

Häufig ist es deine Aufgabe, einen Grenzwert zu bestimmen. Wie du das machst, ist sehr unterschiedlich und hängt beispielsweise davon ab, um was für eine Funktion es sich im Argument handelt und ob deine Grenze ±\pm\infty oder eine Zahl oder gar Variable ist.

Wenn du die Limes-Schreibweise verstanden hast, kann dir bei Funktionen aber manchmal der Taschenrechner einen Eindruck vermitteln, wie der Grenzwert aussehen kann.

BeispielGrenzwert im Unendlichen

Bestimme limx+2x\lim\limits_{x\to +\infty}2^x und limx2x\lim\limits_{x\to -\infty}2^x .

(Du kannst diese Aufgabe mithilfe des Taschenrechners auch lösen, wenn du die Funktionsart Exponentialfunktion noch nicht kennst!)

Setze in den Taschenrechner sehr große positive und negative Zahlen für x in f(x)=2xf(x)=2^x ein und überprüfe, wie sich die Werte entwickeln:

limx+2x\lim\limits_{x\to +\infty}2^x:

f(10)=210=1024f(10)=2^{10}=1024

f(11)=211=2048f(11)=2^{11}=2048

f(100)=21001,21030f(100)=2^{100}\approx1{,}2\cdot 10^{30}

Die Funktionswerte werden immer größer, also limx+2x=+\lim\limits_{x\to +\infty}2^x=+\infty

limx2x\lim\limits_{x\to-\infty}2^x:

f(10)=110240,001f(-10)=\frac 1{1024}\approx 0{,}001

f(11)=120480,0005f(-11)=\frac 1{2048}\approx0{,}0005

f(100)=121000,0000...1f(-100)=\frac 1{2^{100}}\approx 0{,}0000...1

Die Funktionswerte nähern sich immer näher an die 0, also limx2x=0\lim\limits_{x\to-\infty}2^x=0

Ohne weiteres Wissen über Nullstellen oder Extrempunkte könnte der Graph also so aussehen (und tut es auch!):

Bild

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