7Bestimmung des Grenzwertes

Bestimme $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{2}^x\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash to\; +\backslash infty\}2^x$ und $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{2}^x\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash to\; -\backslash infty\}2^x$ .

(Du kannst diese Aufgabe mithilfe des Taschenrechners auch lösen, wenn du die Funktionsart Exponentialfunktion noch nicht kennst!)

Setze in den Taschenrechner sehr große positive und negative Zahlen für x in $f(x)=2^{x}f(x)=2^x$ ein und überprüfe, wie sich die Werte entwickeln:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{2}^x\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash to\; +\backslash infty\}2^x$:

$f(10)=2^{10}=1024f(10)=2^\{10\}=1024$

$f(11)=2^{11}=2048f(11)=2^\{11\}=2048$

$f(100)=2^{100}\approx \mathrm{1,2}\cdot {10}^{30}f(100)=2^\{100\}\backslash approx1\{,\}2\backslash cdot\; 10^\{30\}$

Die Funktionswerte werden immer größer, also $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{2}^x=+\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash to\; +\backslash infty\}2^x=+\backslash infty$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{2}^x\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash to-\backslash infty\}2^x$:

$f(-10)=\frac{1}{1024}\approx \mathrm{0,001}f(-10)=\backslash frac\; 1\{1024\}\backslash approx\; 0\{,\}001$

$f(-11)=\frac{1}{2048}\approx \mathrm{0,0005}f(-11)=\backslash frac\; 1\{2048\}\backslash approx0\{,\}0005$

$f(-100)=\frac{1}{2^{100}}\approx \mathrm{0,0000...1}f(-100)=\backslash frac\; 1\{2^\{100\}\}\backslash approx\; 0\{,\}0000...1$

Die Funktionswerte nähern sich immer näher an die 0, also $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{2}^x=0\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash to-\backslash infty\}2^x=0$

Ohne weiteres Wissen über Nullstellen oder Extrempunkte könnte der Graph also so aussehen (und tut es auch!):