4Potenzen zusammenfassen mit Potenzgesetzen

Ausgangssituation: Du hast in deiner Exponentialgleichung Potenzen mit unterschiedlicher Basis.

In vielen Fällen können die Potenzgesetze helfen.

Verwende die Potenzgesetze $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$ bzw $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$ und $a^{xy}=\left(a^x\right)^y$ , um die Exponenten zu vereinfachen, z.B.:

$3^{x+2}=3^x\cdot3^2$ und

$3^{2x}=\left(3^2\right)^x$

Ebenso kannst du mit diesen Rechengesetzen mehrere Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen:

$3^{2x}:\ 3^x=3^{2x-x}=3^x$

VorgehenPotenzen bei unterschiedlicher Basis zusammenfassen

Verwende $a^x\cdot b^x=\left(ab\right)^x$ und $\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x$ um Potenzen mit unterschiedlicher Basis zusammenzufassen und eine neue Potenz mit gemeinsamer Basis zu erhalten:

$2^{2x}\cdot5^{2x}=\left(2\cdot5\right)^{2x}=10^{2x}$ oder

$\displaystyle\frac{4^{x+1}}{6^{x+1}}=\left(\frac{4}{6}\right)^{x+1}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}$

Beispiel

Im folgenden Beispiel hast du zwei Potenzen, die sich sowohl in Basis als auch Exponent unterscheiden. Dein erstes Ziel ist es, bei beiden den gleichen Exponenten herzustellen. Anschließend kannst du die Potenzen durch geeignete Umformungen verrechnen

$\displaystyle 2^{x+1}$	$=$	$\displaystyle 4\cdot0{,}5^x$
	↓	Wende links $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$
$\displaystyle 2^x\cdot2$	$=$	$\displaystyle 4\cdot0{,}5^x$	$\displaystyle :2$
	↓	Bringe alles ohne x auf eine Seite
$\displaystyle 2^x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot0{,}5^x$	$\displaystyle :0{,}5^x$
	↓	Bringe alle x auf eine Seite
$\displaystyle \frac{2^x}{0{,}5^x}$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Verwende $\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x$
$\displaystyle \left(\frac{2}{0{,}5}\right)^x$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle 4^x$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Logarithmiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_42$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

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