Lösen von Exponentialgleichungen

1 Überblick

Auf den nächsten Seiten lernst du verschiedene Verfahren zur Lösung von Exponentialgleichungen kennen.

2 Exponentenvergleich

Voraussetzung: Die Gleichung kann in der Form $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}$ dargestellt werden $(a\in\mathbb{R}^+\ \backslash\left\{1\right\})$ .

Das heißt die Basis $a$ auf beiden Seiten ist gleich und die Exponenten $f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$ sind zwei beliebige Funktionen.

VorgehenExponentenvergleich

Vergleiche lediglich die Exponenten:

$\displaystyle a^{f\left(x\right)}$	$=$	$\displaystyle a^{g\left(x\right)}$
	↓	Exponentenvergleich
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$

Löse diese neue Gleichung

Beispiel

$\displaystyle 2^{x+1}$	$=$	$\displaystyle 2^{5x}$
	↓	Exponentenvergleich
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle 5x$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle \frac{1}{4}$	$=$	$\displaystyle x$

3 Logarithmieren

Voraussetzung: Die Exponentialgleichung kann auf die Form $a^{f\left(x\right)}=c$ gebracht werden, wobei $a, c \in \mathbb R$ mit $a > 0$ und $a\neq 1$ . Der Exponent $f (x)$ ist eine beliebige Funktion

VorgehenLogarithmieren

Verwende den Logarithmus zur Basis a, um die Variable aus dem Exponenten zu bekommen. Bereche den Logarithmus z.B. mit dem Taschenrechner.

$\displaystyle a^{f\left(x\right)}$	$=$	$\displaystyle c$
	↓	Logarithmus zur Basis a
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \log_ac$

Beispiel

$\displaystyle 4^{2x-1}$	$=$	$\displaystyle 64$
	↓	Logarithmieren zur Basis $4$
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle \log_464$
	↓	Logarithmus rechts berechnen (Taschenrechner oder $4^{3} = 64$ benutzen)
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

Vorsicht

Der Logarithmus sollte erst angewendet werden, wenn diese Struktur vorliegt. Gegebenenfalls muss durch Umformungen zunächst die Form $a^{f\left(x\right)}=c$ hergestellt werden:

$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot5^{2x}-\frac{5}{4}$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle +\frac{5}{4}$
$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot5^{2x}$	$=$	$\displaystyle 6{,}25$	$\displaystyle :\left(\frac{1}{4}\right)$
	↓	Nun hast du die gewünschte Form!
$\displaystyle 5^{2x}$	$=$	$\displaystyle 25$
	↓	Logarithmieren.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \log_5\left(25\right)$
	↓	Berechne.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

4 Potenzen zusammenfassen mit Potenzgesetzen

Ausgangssituation: Du hast in deiner Exponentialgleichung Potenzen mit unterschiedlicher Basis.

In vielen Fällen können die Potenzgesetze helfen.

VorgehenExponenten vereinfachen

Verwende die Potenzgesetze $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$ bzw $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$ und $a^{xy}=\left(a^x\right)^y$ , um die Exponenten zu vereinfachen, z.B.:

$3^{x+2}=3^x\cdot3^2$ und

$3^{2x}=\left(3^2\right)^x$

Ebenso kannst du mit diesen Rechengesetzen mehrere Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen:

$3^{2x}:\ 3^x=3^{2x-x}=3^x$

VorgehenPotenzen bei unterschiedlicher Basis zusammenfassen

Verwende $a^x\cdot b^x=\left(ab\right)^x$ und $\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x$ um Potenzen mit unterschiedlicher Basis zusammenzufassen und eine neue Potenz mit gemeinsamer Basis zu erhalten:

$2^{2x}\cdot5^{2x}=\left(2\cdot5\right)^{2x}=10^{2x}$ oder

$\displaystyle\frac{4^{x+1}}{6^{x+1}}=\left(\frac{4}{6}\right)^{x+1}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}$

Beispiel

Im folgenden Beispiel hast du zwei Potenzen, die sich sowohl in Basis als auch Exponent unterscheiden. Dein erstes Ziel ist es, bei beiden den gleichen Exponenten herzustellen. Anschließend kannst du die Potenzen durch geeignete Umformungen verrechnen

$\displaystyle 2^{x+1}$	$=$	$\displaystyle 4\cdot0{,}5^x$
	↓	Wende links $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$
$\displaystyle 2^x\cdot2$	$=$	$\displaystyle 4\cdot0{,}5^x$	$\displaystyle :2$
	↓	Bringe alles ohne x auf eine Seite
$\displaystyle 2^x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot0{,}5^x$	$\displaystyle :0{,}5^x$
	↓	Bringe alle x auf eine Seite
$\displaystyle \frac{2^x}{0{,}5^x}$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Verwende $\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x$
$\displaystyle \left(\frac{2}{0{,}5}\right)^x$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle 4^x$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Logarithmiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_42$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

5 Substitution

Voraussetzung: Durch Umformung kann die Gleichung auf die Form $k_0\cdot\left(a^{f\left(x\right)}\right)^{r_0}+...+k_n\cdot\left(a^{f\left(x\right)}\right)^{r_n}+k_{n+1}=0$ gebracht werden, wobei $k_i,r_i\in\mathbb{R}\$ .

Diese Form sieht erstmal erschlagend aus. In Worten heißt es aber nichts anderes als: Es gibt nur Potenzen der Form $a^{f\left(x\right)}$ . Diese werden ggf noch weiter potenziert und mit einer weiteren Zahl multipliziert.

Vorgehen

Ersetze $a^{f\left(x\right)}=u$ . Dadurch erhältst du eine ganzrationale Funktion, die du lösen kannst:

$k_0\cdot u^{r_0}+...+k_n\cdot u^{r_n}+k_{n+1}=0$

BeispielRückführung auf quadratische Gleichung

Die Exponentialgleichung $2^{2x}-4\cdot2^x+4=0$ kann mithilfe von Substitution gelöst werden.

$\displaystyle 2^{2x}-4\cdot2^x+4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Arbeite die Struktur noch deutlicher heraus, indem du $a^{xy}=\left(a^x\right)^y$ anwendest
$\displaystyle \left(2^x\right)^2-4\cdot2^x+4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ersetze $u = 2^{x}$
$\displaystyle u^2-4u+4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	2. binomische Formel
$\displaystyle \left(u-2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Satz vom Nullprodukt
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Rücksubstution von $u = 2^{x}$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 2^x$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_22$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

Anstelle der binomischen Formel kann auch eine Mitternachtsformel, Ausklammern oder sogar eine Polynomdivion oder weitere Substitutionen zur Lösung der Polynomgleichung nützlich sein. Diese Fälle sind aber eher selten.

1 Überblick

2 Exponentenvergleich

3 Logarithmieren

4 Potenzen zusammenfassen mit Potenzgesetzen

5 Substitution

6 Übungen