Substitution – Lösen von Exponentialgleichungen

Voraussetzung: Durch Umformung kann die Gleichung auf die Form $k_0\cdot\left(a^{f\left(x\right)}\right)^{r_0}+...+k_n\cdot\left(a^{f\left(x\right)}\right)^{r_n}+k_{n+1}=0$ gebracht werden, wobei $k_i,r_i\in\mathbb{R}\$ .

Diese Form sieht erstmal erschlagend aus. In Worten heißt es aber nichts anderes als: Es gibt nur Potenzen der Form $a^{f\left(x\right)}$ . Diese werden ggf noch weiter potenziert und mit einer weiteren Zahl multipliziert.

Vorgehen

Ersetze $a^{f\left(x\right)}=u$ . Dadurch erhältst du eine ganzrationale Funktion, die du lösen kannst:

$k_0\cdot u^{r_0}+...+k_n\cdot u^{r_n}+k_{n+1}=0$

BeispielRückführung auf quadratische Gleichung

Die Exponentialgleichung $2^{2x}-4\cdot2^x+4=0$ kann mithilfe von Substitution gelöst werden.

$\displaystyle 2^{2x}-4\cdot2^x+4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Arbeite die Struktur noch deutlicher heraus, indem du $a^{xy}=\left(a^x\right)^y$ anwendest
$\displaystyle \left(2^x\right)^2-4\cdot2^x+4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ersetze $u=2^x$
$\displaystyle u^2-4u+4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	2. binomische Formel
$\displaystyle \left(u-2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Satz vom Nullprodukt
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Rücksubstution von $u=2^x$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 2^x$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_22$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

Anstelle der binomischen Formel kann auch eine Mitternachtsformel, Ausklammern oder sogar eine Polynomdivion oder weitere Substitutionen zur Lösung der Polynomgleichung nützlich sein. Diese Fälle sind aber eher selten.

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