3Logarithmieren

Voraussetzung: Die Exponentialgleichung kann auf die Form $a^{f\left(x\right)}=c$ gebracht werden, wobei $a, c \in \mathbb R$ mit $a>0$ und $a\neq 1$ . Der Exponent $f(x)$ ist eine beliebige Funktion

VorgehenLogarithmieren

Verwende den Logarithmus zur Basis a, um die Variable aus dem Exponenten zu bekommen. Bereche den Logarithmus z.B. mit dem Taschenrechner.

$\displaystyle a^{f\left(x\right)}$	$=$	$\displaystyle c$
	↓	Logarithmus zur Basis a
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \log_ac$

Beispiel

$\displaystyle 4^{2x-1}$	$=$	$\displaystyle 64$
	↓	Logarithmieren zur Basis $4$
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle \log_464$
	↓	Logarithmus rechts berechnen (Taschenrechner oder $4^3=64$ benutzen)
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

Vorsicht

Der Logarithmus sollte erst angewendet werden, wenn diese Struktur vorliegt. Gegebenenfalls muss durch Umformungen zunächst die Form $a^{f\left(x\right)}=c$ hergestellt werden:

$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot5^{2x}-\frac{5}{4}$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle +\frac{5}{4}$
$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot5^{2x}$	$=$	$\displaystyle 6{,}25$	$\displaystyle :\left(\frac{1}{4}\right)$
	↓	Nun hast du die gewünschte Form!
$\displaystyle 5^{2x}$	$=$	$\displaystyle 25$
	↓	Logarithmieren.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \log_5\left(25\right)$
	↓	Berechne.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

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