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3Logarithmieren

Voraussetzung: Die Exponentialgleichung kann auf die Form af(x)=ca^{f\left(x\right)}=c gebracht werden, wobei a,c∈Ra, c \in \mathbb R mit a>0a>0 und a≠1a\neq 1. Der Exponent f(x)f(x) ist eine beliebige Funktion

VorgehenLogarithmieren

Verwende den Logarithmus zur Basis a, um die Variable aus dem Exponenten zu bekommen. Bereche den Logarithmus z.B. mit dem Taschenrechner.

af(x)\displaystyle a^{f\left(x\right)}==c\displaystyle c
↓

Logarithmus zur Basis a

f(x)\displaystyle f\left(x\right)==log⁥ac\displaystyle \log_ac
Beispiel
42x−1\displaystyle 4^{2x-1}==64\displaystyle 64
↓

Logarithmieren zur Basis 44

2x−1\displaystyle 2x-1==log⁡464\displaystyle \log_464
↓

Logarithmus rechts berechnen (Taschenrechner oder 43=644^3=64 benutzen)

2x−1\displaystyle 2x-1==3\displaystyle 3+1\displaystyle +1
2x\displaystyle 2x==4\displaystyle 4:2\displaystyle :2
x\displaystyle x==2\displaystyle 2
Vorsicht

Der Logarithmus sollte erst angewendet werden, wenn diese Struktur vorliegt. Gegebenenfalls muss durch Umformungen zunÀchst die Form af(x)=ca^{f\left(x\right)}=c hergestellt werden:

14⋅52x−54\displaystyle \frac{1}{4}\cdot5^{2x}-\frac{5}{4}==5\displaystyle 5+54\displaystyle +\frac{5}{4}
14⋅52x\displaystyle \frac{1}{4}\cdot5^{2x}==6,25\displaystyle 6{,}25:(14)\displaystyle :\left(\frac{1}{4}\right)
↓

Nun hast du die gewĂŒnschte Form!

52x\displaystyle 5^{2x}==25\displaystyle 25
↓

Logarithmieren.

2x\displaystyle 2x==log⁥5(25)\displaystyle \log_5\left(25\right)
↓

Berechne.

2x\displaystyle 2x==2\displaystyle 2:2\displaystyle :2
x\displaystyle x==1\displaystyle 1

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