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5Substitution

Voraussetzung: Durch Umformung kann die Gleichung auf die Form k0(af(x))r0+...+kn(af(x))rn+kn+1=0k_0\cdot\left(a^{f\left(x\right)}\right)^{r_0}+...+k_n\cdot\left(a^{f\left(x\right)}\right)^{r_n}+k_{n+1}=0 gebracht werden, wobei ki,riR k_i,r_i\in\mathbb{R}\ .

Diese Form sieht erstmal erschlagend aus. In Worten heißt es aber nichts anderes als: Es gibt nur Potenzen der Form af(x)a^{f\left(x\right)}. Diese werden ggf noch weiter potenziert und mit einer weiteren Zahl multipliziert.

Vorgehen

Ersetze af(x)=ua^{f\left(x\right)}=u. Dadurch erhältst du eine ganzrationale Funktion, die du lösen kannst:

k0ur0+...+knurn+kn+1=0k_0\cdot u^{r_0}+...+k_n\cdot u^{r_n}+k_{n+1}=0

BeispielRückführung auf quadratische Gleichung

Die Exponentialgleichung 22x42x+4=02^{2x}-4\cdot2^x+4=0 kann mithilfe von Substitution gelöst werden.

22x42x+4\displaystyle 2^{2x}-4\cdot2^x+4==0\displaystyle 0

Arbeite die Struktur noch deutlicher heraus, indem du axy=(ax)ya^{xy}=\left(a^x\right)^y anwendest

(2x)242x+4\displaystyle \left(2^x\right)^2-4\cdot2^x+4==0\displaystyle 0

Ersetze u=2xu=2^x

u24u+4\displaystyle u^2-4u+4==0\displaystyle 0

2. binomische Formel

(u2)2\displaystyle \left(u-2\right)^2==0\displaystyle 0

Satz vom Nullprodukt

u\displaystyle u==2\displaystyle 2

Rücksubstution von u=2xu=2^x

2\displaystyle 2==2x\displaystyle 2^x

Logarithmieren

x\displaystyle x==log22\displaystyle \log_22
x\displaystyle x==1\displaystyle 1

Anstelle der binomischen Formel kann auch eine Mitternachtsformel, Ausklammern oder sogar eine Polynomdivion oder weitere Substitutionen zur Lösung der Polynomgleichung nützlich sein. Diese Fälle sind aber eher selten.


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