Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Aufgabe A3

An zwei Türmen sind auf einer Höhe von jeweils $15\;\text{m}$ über dem Boden Plattformen angebracht. Zwischen den beiden $30\;\text{m}$ voneinander entfernten Plattformen ist eine Brücke gespannt. Der Verlauf der Brücke zwischen den Punkten $A(0|15)$ und $B(30|15)$ kann näherungsweise durch eine Parabel $p$ beschrieben werden. Diese hat eine Gleichung der Form

$y=ax^2+bx+c$ , $(\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+\times \mathbb{R}_0^+$ ; $a, b, c\in \mathbb{R};a \neq0)$

und den Scheitelpunkt $S( 15|12{,}75)$ . Dabei entspricht $x\;\text{m}$ der horizontal gemessenen Entfernung vom Punkt $A$ und $y\;\text{m}$ der Höhe über dem Boden.

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt:

$y=0{,}01x^2-0{,}3x+15$ , $(\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+\times\mathbb{R}_0^+)$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion

Setze nacheinander die Koordinaten der drei gegebenen Punkte in die Parabelgleichung ein.

$A$ :

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle ax^2+bx+c$
	↓	Setze $A(0\|15)$ ein.
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle a \cdot0^2+b\cdot 0+c$
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle c$

Die Parabelgleichung lautet nun: $y=ax^2+bx+15$

$B$ :

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle ax^2+bx+15$
	↓	Setze $B(30\|15)$ ein.
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle a \cdot30^2+b\cdot 30+15$	$\displaystyle -15$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 900a+30b$

$S$ :

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle ax^2+bx+15$
	↓	Setze $S( 15\|12{,}75)$ ein.
$\displaystyle 12{,}75$	$=$	$\displaystyle a \cdot15^2+b\cdot 15+15$	$\displaystyle -15$
$\displaystyle -2{,}25$	$=$	$\displaystyle 225a+15b$

Du hast nun zwei Gleichungen erhalten:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccc}\mathrm{I} & 900a & + & 30b & & = & 0 \\\mathrm{II} & 225a & +& 15b & & = & -2{,}25 \end{array}$

Löse das Gleichungssystem z.B. mit dem Additionsverfahren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccc}\mathrm{I} & 900a & + & 30b & & = & 0 \\(-4)\cdot \mathrm{II} & 225a & +& 15b & & = & -2{,}25 \end{array}\\\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\;30b\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;9}$

Löse die erhaltene Gleichung nach $b$ auf:

$\displaystyle -30b$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle :(-30)$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle -0{,}3$

Setze $b=-0{,}3$ z.B. in Gleichung $\mathrm{I}$ ein:

$\displaystyle 900a + 30b$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $b=-0{,}3$ ein.
$\displaystyle 900a+30\cdot(-0{,}3)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 900a-9$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +9$
$\displaystyle 900a$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle :900$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 0{,}01$

Damit lautet die Gleichung der Parabel $p: y=0{,}01x^2-0{,}3x+15$

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Eine Person überquert die Brücke von $A$ nach $B$ . Sie geht bereits wieder aufwärts. Bei einer Höhe von $13$ Metern über dem Boden bleibt sie stehen. Diese Position entspricht dem Punkt $D$ auf der Parabel $p$ .

Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $D.$ (2 P)

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-30$ und $q=200$ ein.
	$=$	$\displaystyle =-\dfrac{(-30)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-30}{2}\right)^2-200}$
	$=$	$\displaystyle 15\pm\sqrt{225-200}$
	$=$	$\displaystyle 15\pm\sqrt{25}$
	$=$	$\displaystyle 15\pm5$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 0{,}01x^2-0{,}3x+15$
	↓	Setze für $y$ den Wert $13$ ein.
$\displaystyle 13$	$=$	$\displaystyle 0{,}01x^2-0{,}3x+15$	$\displaystyle -13$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0{,}01x^2-0{,}3x+2$	$\displaystyle \cdot 100$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-30x+200$