Nachtermin Teil A

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A1
Die Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers mit der Rotationsachse $NM$ . Der Punkt $F$ ist der Schnittpunkt der Geraden $AI$ und $BC$ .
Es gilt: $\overline{AB}=8\;\text{cm}$ ; $\overline{FK}= 1{,}7\;\text{cm}$ ; $\overline{CD}=3\;\text{cm}$ ;
$\overline{DE}=0{,}5\;\text{cm}$ ; $r=\overline{ME}=\overline{MG}=2\;\text{cm}$ ; $IH\Vert NM \Vert CD$
Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers.
Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (5 P)
$[$ Zwischenergebnis: $\overline{FN}=2{,}72\;\text{cm}]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen zusammengesetzter Körper
$\underline{\text{Volumen des Kegelstumpfes:}}$
$\ V_{\text{Kegelstumpf}}=\dfrac{1}{3}\cdot\overline{\text{AN}}^2\cdot\pi\cdot\overline{\text{FN}}-\dfrac{1}{3}\cdot\overline{\text{IK}}^2\cdot\pi\cdot\overline{\text{FK}}$
Es gilt:
$\overline{FK}= 1{,}7\;\text{cm}$
$\overline{IK}=r+\overline{DE}=(2+0{,}5)\;\text{cm}=2{,}5\;\text{cm}$
$\overline{AN}=0{,}5\cdot\overline{AB}=0{,}5\cdot 8 \;\text{cm}=4 \;\text{cm}$
Berechne $\ \overline{\text{FN}}\$ mithilfe des $2$ . Strahlensatzes.
$2.$ Strahlensatz angewandt auf die obige Vorlage:
$\ \dfrac{\overline{\text{FK}}}{\overline{\text{IK}}}=\dfrac{\overline{\text{FN}}}{\overline{\text{AN}}}\Rightarrow\overline{\text{FN}}=\dfrac{\overline{\text{FK}}\cdot\overline{\text{AN}}}{\overline{\text{IK}}}$
Setze die Werte ein:
$\ \overline{\text{FN}}=\dfrac{1{,}7\ \text{cm}\cdot4\ \text{cm}}{2{,}5\ \text{cm}}=\boxed{2{,}72\ \text{cm}}$
$\underline{\text{Volumen des Zylinders:}}$
$\ V_{\text{Zylinder}}=\overline{\text{IK}}^2\cdot\pi\cdot\overline{\text{CD}}$
$\underline{\text{Volumen der Halbkugel:}}$
$\ V_{\text{Halbkugel:}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot{\text{r}}^3\cdot\pi$
$\underline{\text{Volumen des Rotationskörpers:}}$
$\ V_{\text{Rotationsk.}}=\dfrac{1}{3}\cdot\overline{\text{AN}}^2\cdot\pi\cdot\overline{\text{FN}}-\dfrac{1}{3}\cdot\overline{\text{IK}}^2\cdot\pi\cdot\overline{\text{FK}}+\overline{\text{IK}}^2\cdot\pi\cdot\overline{\text{CD}}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot \overline{\text{r}}^3\cdot\pi$
$\ V_{\text{Rotationsk.}}=\left(\dfrac{1}{3}\cdot\text{4}^2\cdot\pi\cdot{2{,}72}-\dfrac{1}{3}\cdot{2{,}5}^2\cdot\pi\cdot{1{,}7}+{2{,}5}^2\cdot\pi\cdot{3}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot {2}^3\cdot\pi\right)\text{cm}^3$
$\ V_{\text{Rotationsk.}}=76{,}60\ \text{cm}^3$
Wir haben für $\pi\$ mit dem Wert gerechnet, den der Rechner liefert.
Wenn du mit $\ \pi=3{,}14\$ rechnest, erhältst du ein geringfügig abweichendes Ergebnis.
Addiere das Volumen des Kegelstumpfes und das Volumen des Zylinders und ziehe davon das Volumen der Halbkugel ab.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A2
Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit den Seitenlängen $\overline{AB}=4\;\text{cm}$ , $\overline{BC}=10\;\text{cm}$ und $\overline{AC}=12\;\text{cm}$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Berechnen Sie das Maß des Winkels $BAC$ . (2 P)
  $[$ Ergebnis: $\sphericalangle BAC=51{,}32°]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
  Der Kosinussatz angewandt auf die Vorlage lautet:
  $\ \left(\overline{BC}\right)^2=\left(\overline{AB}\right)^2+\left(\overline{AC}\right)^2-2\cdot\left(\overline{AB}\right)^2\cdot\left(\overline{AC}\right)^2\cdot\cos\sphericalangle \text{BAC}$
  $\ \cos\sphericalangle \text{BAC}=\dfrac{\left(\overline{AB}\right)^2+\left(\overline{AC}\right)^2-\left(\overline{BC}\right)^2}{2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}}$
  $\ \cos\sphericalangle \text{BAC}=\dfrac{(16+144-100)\;\text{cm}^2 \ }{(2\cdot4\cdot12)\;\text{cm}^2}$
  $\ \cos\sphericalangle \text{BAC}=0{,}625\ \Rightarrow\ \sphericalangle \text{BAC}=51{,}32^{\circ}$
  Der Winkel $\ \sphericalangle{\text{BAC}}\$ beträgt: $\ \boxed{51{,}32^{\circ}}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Berechne den Winkel mithilfe des Kosinussatzes.
2. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[$ $AC]$ . Auf dem Kreisbogen $\overset\frown{CA}$ mit dem Mittelpunkt $M$ liegt der Punkt $D$ mit $\overline{AD}=6\;\text{cm}$ .
  Zeichnen Sie den Kreisbogen $\overset\frown{CA}$ , das Dreieck $ACD$ und die Strecke $[DM]$ in die Zeichnung zu 2) ein. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Begründen Sie, weshalb der Winkel $ADC$ das Maß $90°$ und der Winkel $DMA$ das Maß $60°$ hat. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Thaleskreis
  Der Punkt $\ \text{D}\$ liegt auf dem Thaleskreis über $\ \overline{\text{AC}}$ , deshalb ist $\ \sphericalangle{\text{ADC}}=90^\circ.$
  Da im Dreieck $\ \text{AMD}\$ gilt: $\ \overline{\text{AM}}=\overline{\text{DM}}=\overline{\text{AD}}=6\ \text{cm},\$ ist das Dreieck gleichseitig.
  Somit ist $\sphericalangle{\text{DMA}}=60^\circ.$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Figur, die durch den Kreisbogen $\overset\frown{DA}$ sowie die Strecken $[AB]$ , $[BC]$ und $[CD]$ begrenzt wird. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt allgemeines Dreieck mit dem Sinus
  $\ \boxed{A_{\text{Figur}}=A_{\text{Sektor}}+A_{\triangle\text{ABC}}+A_{\triangle\text{CDM}}}$
  $A_{\text{Sektor}}=\dfrac{\sphericalangle{\text{AMD}}}{360^\circ}\cdot\overline{\text{AM}}^2\cdot\pi$
  $A_{\text{Sektor}}=\dfrac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 36\cdot\pi\cdot\ \text{cm}^2\Rightarrow A_{\text{Sektor}}=\underline{18{,}85\ \text{cm}^2}$
  $\rule{10cm}{o.5mm}$
  $\ A_{\triangle\text{ABC}}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{\text{AB}}\cdot\overline{\text{AC}}\cdot\sin\sphericalangle{\text{BAC}}$
  $\ A_{\triangle\text{ABC}}=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot12\cdot\sin51{,}32^\circ\ \text{cm}^2\ \Rightarrow\ A_{\triangle\text{ABC}}=\underline{18{,}74\ \text{cm}^2}$
  $\rule{10cm}{o.5mm}$
  $\ A_{\triangle\text{CDM}}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{\text{DM}}\cdot\overline{\text{MC}}\cdot\sin\sphericalangle{\text{DMC}}$
  $\ A_{\triangle\text{CDM}}=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\sin(180^\circ-60^\circ)\ \text{cm}^2\ \Rightarrow\ A_{\triangle\text{CDM}}=\underline{15{,}59\ \text{cm}^2}$
  $\rule{10cm}{o.5mm}$
  $\ A_{\text{Figur}}=(18{,}85+18{,}74+15{,}59)\ \text{cm}^2$
  $\ A_{\text{Figur}}=53{,}18\text{cm}^2$
  Der Flächeninhalt der Figur beträgt: $\ \boxed{53{,}18\text{cm}^2}\$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Die Figur setzt sich zusammen aus 2 Dreiecken und einem Kreissektor. Berechne die einzelnen Flächeninhalte und addiere sie.

Aufgabe A3

An zwei Türmen sind auf einer Höhe von jeweils $15\;\text{m}$ über dem Boden Plattformen angebracht. Zwischen den beiden $30\;\text{m}$ voneinander entfernten Plattformen ist eine Brücke gespannt. Der Verlauf der Brücke zwischen den Punkten $A(0|15)$ und $B(30|15)$ kann näherungsweise durch eine Parabel $p$ beschrieben werden. Diese hat eine Gleichung der Form

$y=ax^2+bx+c$ , $(\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+\times \mathbb{R}_0^+$ ; $a, b, c\in \mathbb{R};a \neq0)$

und den Scheitelpunkt $S( 15|12{,}75)$ . Dabei entspricht $x\;\text{m}$ der horizontal gemessenen Entfernung vom Punkt $A$ und $y\;\text{m}$ der Höhe über dem Boden.

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt:

$y=0{,}01x^2-0{,}3x+15$ , $(\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+\times\mathbb{R}_0^+)$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion

Setze nacheinander die Koordinaten der drei gegebenen Punkte in die Parabelgleichung ein.

$A$ :

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle ax^2+bx+c$
	↓	Setze $A(0\|15)$ ein.
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle a \cdot0^2+b\cdot 0+c$
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle c$

Die Parabelgleichung lautet nun: $y=ax^2+bx+15$

$B$ :

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle ax^2+bx+15$
	↓	Setze $B(30\|15)$ ein.
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle a \cdot30^2+b\cdot 30+15$	$\displaystyle -15$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 900a+30b$

$S$ :

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle ax^2+bx+15$
	↓	Setze $S( 15\|12{,}75)$ ein.
$\displaystyle 12{,}75$	$=$	$\displaystyle a \cdot15^2+b\cdot 15+15$	$\displaystyle -15$
$\displaystyle -2{,}25$	$=$	$\displaystyle 225a+15b$

Du hast nun zwei Gleichungen erhalten:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccc}\mathrm{I} & 900a & + & 30b & & = & 0 \\\mathrm{II} & 225a & +& 15b & & = & -2{,}25 \end{array}$

Löse das Gleichungssystem z.B. mit dem Additionsverfahren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccc}\mathrm{I} & 900a & + & 30b & & = & 0 \\(-4)\cdot \mathrm{II} & 225a & +& 15b & & = & -2{,}25 \end{array}\\\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\;30b\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;9}$

Löse die erhaltene Gleichung nach $b$ auf:

$\displaystyle -30b$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle :(-30)$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle -0{,}3$

Setze $b=-0{,}3$ z.B. in Gleichung $\mathrm{I}$ ein:

$\displaystyle 900a + 30b$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $b=-0{,}3$ ein.
$\displaystyle 900a+30\cdot(-0{,}3)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 900a-9$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +9$
$\displaystyle 900a$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle :900$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 0{,}01$

Damit lautet die Gleichung der Parabel $p: y=0{,}01x^2-0{,}3x+15$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Eine Person überquert die Brücke von $A$ nach $B$ . Sie geht bereits wieder aufwärts. Bei einer Höhe von $13$ Metern über dem Boden bleibt sie stehen. Diese Position entspricht dem Punkt $D$ auf der Parabel $p$ .

Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $D.$ (2 P)

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-30$ und $q=200$ ein.
	$=$	$\displaystyle =-\dfrac{(-30)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-30}{2}\right)^2-200}$
	$=$	$\displaystyle 15\pm\sqrt{225-200}$
	$=$	$\displaystyle 15\pm\sqrt{25}$
	$=$	$\displaystyle 15\pm5$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 0{,}01x^2-0{,}3x+15$
	↓	Setze für $y$ den Wert $13$ ein.
$\displaystyle 13$	$=$	$\displaystyle 0{,}01x^2-0{,}3x+15$	$\displaystyle -13$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0{,}01x^2-0{,}3x+2$	$\displaystyle \cdot 100$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-30x+200$

Nachtermin Teil A

Aufgabe A1

Aufgabe A2

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Aufgabe A3

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?