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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Aufgabe A1

    Die Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers mit der Rotationsachse NMNM. Der Punkt FF ist der Schnittpunkt der Geraden AIAI und BCBC.

    Es gilt: AB=8  cm\overline{AB}=8\;\text{cm}; FK=1,7  cm\overline{FK}= 1{,}7\;\text{cm}; CD=3  cm\overline{CD}=3\;\text{cm};

    DE=0,5  cm\overline{DE}=0{,}5\;\text{cm}; r=ME=MG=2  cmr=\overline{ME}=\overline{MG}=2\;\text{cm}; IHNMCDIH\Vert NM \Vert CD

    Bild

    Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers.

    Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (5 P)

    [[Zwischenergebnis: FN=2,72  cm]\overline{FN}=2{,}72\;\text{cm}]

  2. 2

    Aufgabe A2

    Gegeben ist das Dreieck ABCABC mit den Seitenlängen AB=4  cm\overline{AB}=4\;\text{cm}, BC=10  cm\overline{BC}=10\;\text{cm} und AC=12  cm\overline{AC}=12\;\text{cm}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Berechnen Sie das Maß des Winkels BACBAC. (2 P)

      [[Ergebnis: BAC=51,32°]\sphericalangle BAC=51{,}32°]

    2. Der Punkt MM ist der Mittelpunkt der Strecke [[AC]AC]. Auf dem Kreisbogen CA\overset\frown{CA} mit dem Mittelpunkt MM liegt der Punkt DD mit AD=6  cm\overline{AD}=6\;\text{cm}.

      Zeichnen Sie den Kreisbogen CA\overset\frown{CA}, das Dreieck ACDACD und die Strecke [DM][DM] in die Zeichnung zu 2) ein. (2 P)

    3. Begründen Sie, weshalb der Winkel ADCADC das Maß 90°90° und der Winkel DMADMA das Maß 60°60° hat. (2 P)

    4. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Figur, die durch den Kreisbogen DA\overset\frown{DA} sowie die Strecken [AB][AB], [BC][BC] und [CD][CD] begrenzt wird. (3 P)

  3. 3

    Aufgabe A3

    An zwei Türmen sind auf einer Höhe von jeweils 15  m15\;\text{m} über dem Boden Plattformen angebracht. Zwischen den beiden 30  m30\;\text{m} voneinander entfernten Plattformen ist eine Brücke gespannt. Der Verlauf der Brücke zwischen den Punkten A(015)A(0|15) und B(3015)B(30|15) kann näherungsweise durch eine Parabel pp beschrieben werden. Diese hat eine Gleichung der Form

    y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c, (G=R0+×R0+(\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+\times \mathbb{R}_0^+ ; a,b,cR;a0)a, b, c\in \mathbb{R};a \neq0)

    und den Scheitelpunkt S(1512,75)S( 15|12{,}75). Dabei entspricht x  mx\;\text{m} der horizontal gemessenen Entfernung vom Punkt AA und y  my\;\text{m} der Höhe über dem Boden.

    Bild
    1. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Gleichung der Parabel pp gilt:

      y=0,01x20,3x+15y=0{,}01x^2-0{,}3x+15, (G=R0+×R0+)(\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+\times\mathbb{R}_0^+). (3 P)

    2. Eine Person überquert die Brücke von AA nach BB. Sie geht bereits wieder aufwärts. Bei einer Höhe von 1313 Metern über dem Boden bleibt sie stehen. Diese Position entspricht dem Punkt DD auf der Parabel pp.

      Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes D.D. (2 P)


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