Der Kosinussatz angewandt auf die Vorlage lautet:

$\ \left(\overline{BC}\right)^2=\left(\overline{AB}\right)^2+\left(\overline{AC}\right)^2-2\cdot\left(\overline{AB}\right)^2\cdot\left(\overline{AC}\right)^2\cdot\cos\sphericalangle \text{BAC}$

$\ \cos\sphericalangle \text{BAC}=\dfrac{\left(\overline{AB}\right)^2+\left(\overline{AC}\right)^2-\left(\overline{BC}\right)^2}{2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}}$

$\ \cos\sphericalangle \text{BAC}=\dfrac{(16+144-100)\;\text{cm}^2 \ }{(2\cdot4\cdot12)\;\text{cm}^2}$

$\ \cos\sphericalangle \text{BAC}=0{,}625\ \Rightarrow\ \sphericalangle \text{BAC}=51{,}32^{\circ}$

Der Winkel$\ \sphericalangle{\text{BAC}}\$beträgt:$\ \boxed{51{,}32^{\circ}}$

Der Punkt$\ \text{D}\$liegt auf dem Thaleskreis über$\ \overline{\text{AC}}$, deshalb ist$\ \sphericalangle{\text{ADC}}=90^\circ.$

Da im Dreieck $\ \text{AMD}\$ gilt:$\ \overline{\text{AM}}=\overline{\text{DM}}=\overline{\text{AD}}=6\ \text{cm},\$ist das Dreieck gleichseitig.

Somit ist $\sphericalangle{\text{DMA}}=60^\circ.$

$\ \boxed{A_{\text{Figur}}=A_{\text{Sektor}}+A_{\triangle\text{ABC}}+A_{\triangle\text{CDM}}}$

$A_{\text{Sektor}}=\dfrac{\sphericalangle{\text{AMD}}}{360^\circ}\cdot\overline{\text{AM}}^2\cdot\pi$

$A_{\text{Sektor}}=\dfrac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 36\cdot\pi\cdot\ \text{cm}^2\Rightarrow A_{\text{Sektor}}=\underline{18{,}85\ \text{cm}^2}$

$\rule{10cm}{o.5mm}$

$\ A_{\triangle\text{ABC}}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{\text{AB}}\cdot\overline{\text{AC}}\cdot\sin\sphericalangle{\text{BAC}}$

$\ A_{\triangle\text{ABC}}=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot12\cdot\sin51{,}32^\circ\ \text{cm}^2\ \Rightarrow\ A_{\triangle\text{ABC}}=\underline{18{,}74\ \text{cm}^2}$

$\rule{10cm}{o.5mm}$

$\ A_{\triangle\text{CDM}}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{\text{DM}}\cdot\overline{\text{MC}}\cdot\sin\sphericalangle{\text{DMC}}$

$\ A_{\triangle\text{CDM}}=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\sin(180^\circ-60^\circ)\ \text{cm}^2\ \Rightarrow\ A_{\triangle\text{CDM}}=\underline{15{,}59\ \text{cm}^2}$

$\rule{10cm}{o.5mm}$

$\ A_{\text{Figur}}=(18{,}85+18{,}74+15{,}59)\ \text{cm}^2$

$\ A_{\text{Figur}}=53{,}18\text{cm}^2$

Der Flächeninhalt der Figur beträgt:$\ \boxed{53{,}18\text{cm}^2}\$