Der Kosinussatz angewandt auf die Vorlage lautet:

${\left(\overline{BC}\right)}^2={\left(\overline{AB}\right)}^2+{\left(\overline{AC}\right)}^2-2\cdot {\left(\overline{AB}\right)}^2\cdot {\left(\overline{AC}\right)}^2\cdot \cos \sphericalangle \text{BAC}$

$\cos \sphericalangle \text{BAC}={\displaystyle \frac{{\left(\overline{AB}\right)}^2+{\left(\overline{AC}\right)}^2-{\left(\overline{BC}\right)}^2}{2\cdot \overline{AB}\cdot \overline{AC}}}$

$\cos \sphericalangle \text{BAC}={\displaystyle \frac{(16+144-100){\text{cm}}^2}{(2\cdot 4\cdot 12){\text{cm}}^2}}$

$\cos \sphericalangle \text{BAC}=\mathrm{0,625}\Rightarrow \sphericalangle \text{BAC}={\mathrm{51,32}}^{\circ }$

Der Winkel$\sphericalangle \text{BAC}$beträgt:${\mathrm{51,32}}^{\circ }$

Der Punkt$\text{D}$liegt auf dem Thaleskreis über$\overline{\text{AC}}$, deshalb ist$\sphericalangle \text{ADC}={90}^{\circ }.$

Da im Dreieck $\text{AMD}$ gilt:$\overline{\text{AM}}=\overline{\text{DM}}=\overline{\text{AD}}=6\text{cm},$ist das Dreieck gleichseitig.

Somit ist $\sphericalangle \text{DMA}={60}^{\circ }.$

$A_{\text{Figur}}=A_{\text{Sektor}}+A_{△\text{ABC}}+A_{△\text{CDM}}$

$A_{\text{Sektor}}={\displaystyle \frac{\sphericalangle \text{AMD}}{{360}^{\circ }}}\cdot {\overline{\text{AM}}}^2\cdot \pi$

$A_{\text{Sektor}}={\displaystyle \frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\cdot 36\cdot \pi \cdot {\text{cm}}^2\Rightarrow A_{\text{Sektor}}=\underline{\mathrm{18,85}{\text{cm}}^2}$

$A_{△\text{ABC}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{\text{AB}}\cdot \overline{\text{AC}}\cdot \sin \sphericalangle \text{BAC}$

$A_{△\text{ABC}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4\cdot 12\cdot \sin {\mathrm{51,32}}^{\circ }{\text{cm}}^2\Rightarrow A_{△\text{ABC}}=\underline{\mathrm{18,74}{\text{cm}}^2}$

$A_{△\text{CDM}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{\text{DM}}\cdot \overline{\text{MC}}\cdot \sin \sphericalangle \text{DMC}$

$A_{△\text{CDM}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 6\cdot 6\cdot \sin ({180}^{\circ }-{60}^{\circ }){\text{cm}}^2\Rightarrow A_{△\text{CDM}}=\underline{\mathrm{15,59}{\text{cm}}^2}$

$A_{\text{Figur}}=(\mathrm{18,85}+\mathrm{18,74}+\mathrm{15,59}){\text{cm}}^2$

$A_{\text{Figur}}=\mathrm{53,18}{\text{cm}}^2$

Der Flächeninhalt der Figur beträgt:$\mathrm{53,18}{\text{cm}}^2$