Der Spieler spielt viermal. Dabei darf viermal keine "0" vorkommen.

$P(\text{keine "0"})=1-P("0")=1-0{,}1=0{,}9$

$\Rightarrow\;P(\text{Auszahlung})=0{,}9^4=0{,}6561$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine Auszahlung erhält, beträgt rund $65{,}6\;\%$.

Die Werte der Zufallsgröße $X$ sind die Auszahlungsbeträge in $€$.

Die Summe der erzielten Zahlen beträgt $60$.

Er spielt noch einmal und erzielt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1$ eine "0". Dann beträgt die Auszahlung $0\;€$ (erste Spalte).

Er spielt noch einmal und erzielt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1$ eine "1". Dann beträgt die Auszahlung $60+1=61\;€$ (zweite Spalte).

$.......$

Er spielt noch einmal und erzielt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1$ eine "9". Dann beträgt die Auszahlung $60+9=69\;€$ (letzte Spalte).

Für den Erwartungswert gilt dann:

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{c c l}\text E (\text X) & = & x_1\cdot\text P (\text X =x_1) +x_2\cdot\text P (\text X =x_2) +\cdots+x_n\cdot\text P (\text X =x_n) \\ & = & \sum\limits_{i=1}^{n}x_i\cdot\text P (\text X = x_i)\end{array}$

$E(X)=(0+61+62+63+64+65+66+67+68+69)\cdot 0{,}1=58{,}5\;€$

Da bei einem weiteren Spiel der Erwartungswert mit $58{,}5\;€$ kleiner als der bereits erspielte Gewinn von $60 \;€$ ist, sollte Spieler $2$ sofort aufhören.

Der Erwartungswert für die Auszahlung ist $E(X)=5n\cdot 0{,}9^n$.

Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von $n$, für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen.

Zwei aufeinanderfolgende Werte für $n$ sind $n$ und $n+1$. Also sollen die Terme $5n\cdot 0{,}9^n$ und $5(n+1)\cdot 0{,}9^{n+1}$ übereinstimmen.

Ansatz: $5n\cdot 0{,}9^n=5(n+1)\cdot 0{,}9^{n+1}$

Für $n=9$ und $n=10$ sollen die Erwartungswerte übereinstimmen.

Überprüfung:

$n=9\;\Rightarrow\;E(X)=5\cdot 9\cdot 0{,}9^9=45\cdot 0{,}9^9$

$n=10\;\Rightarrow\;E(X)=5\cdot 10\cdot 0{,}9^{10}=50\cdot 0{,}9\cdot 0{,}9^9=45\cdot 0{,}9^9$

Also stimmen die Erwartungswerte für $n=9$ und $n=10$ überein.

Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von $n$

Die obige Gleichung für $n$ hat nur eine einzige Lösung, nämlich $n=9$. Demnach kann es nur zwei und nicht drei aufeinanderfolgende Werte von $n$ geben. Hätte die obige Gleichung hingegen zwei verschiedene Lösungen für $n$, dann gäbe es drei aufeinanderfolgende Werte von $n$.

Zur Probe wird noch der Wert für $n=11$ berechnet.

$n=11\;\Rightarrow\;E(X)=5\cdot 11\cdot 0{,}9^{11}=55\cdot 0{,}9^2\cdot 0{,}9^9=44{,}55\cdot 0{,}9^9$

Der Erwartungswert für $n=11$ stimmt nicht mit den Werten für $n=9$ und $n=10$ überein, da $44{,}55\cdot 0{,}9^9\neq45\cdot 0{,}9^9$ ist.

Also gibt es keine drei aufeinanderfolgende Werte von $n$, für die die Erwartungswerte übereinstimmen.