Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Sektoren des abgebildeten Glücksrads sind gleich groß und mit den Zahlen von $0$ bis $9$ durchnummeriert.
Das Glücksrad wird zwanzigmal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse A und B.
A: "Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt".
B: "Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt". (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Es ist $n=20$ .
A: "Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt".
Unter den zehn Zahlen auf dem Glücksrad gibt es insgesamt fünf ungerade Zahlen:
$\{1, 3, 5, 7, 9\}$
$\Rightarrow\;p(\text{ungerade})=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$
Gesucht ist $P(X=7)=B(20;\frac{1}{2};7)$
$B(20;\frac{1}{2};7)$ wird entweder im Tabellenwerk abgelesen oder berechnet.
$B(20;\frac{1}{2};7)=\begin{pmatrix}20\\7\end{pmatrix}\cdot 0{,}5^7\cdot 0{,}5^{13}\approx0{,}0739$
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt wird, beträgt $0{,}0739$ oder rund $7{,}4\;\%$ .
B: "Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt".
Gesucht ist $P(7<X\leq 12)$ :
$P(7<X\leq 12)=F(20;\frac{1}{2};12)-F(20;\frac{1}{2};7)$
$F(20;\frac{1}{2};12)$ und $F(20;\frac{1}{2};7)$ werden entweder im Tabellenwerk abgelesen oder berechnet.
$F(20;\frac{1}{2};12)-F(20;\frac{1}{2};7)=\displaystyle\sum_{k=0}^{12}B\left(20;\frac{1}{2};k\right)-\displaystyle\sum_{k=0}^{7}B\left(20;\frac{1}{2};k\right)=0{,}8684-0{,}1316=0{,}7368$
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt wird, beträgt $0{,}7368$ oder rund $73{,}7\;\%$ .
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse C und D stochastisch unabhängig sind.
C: "Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als $4$ ".
D: "Das Produkt der erzielten Zahlen ist $2$ oder $3$ ". (5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stochastisch unabhängig
Betrachte zunächst die Ereignisse $C$ und $D$ .
C: "Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als $4$ ".
Möglich sind hier die Ereignisse $C=\{00, 01, 10, 02, 20, 03, 30, 11, 12, 21\}$ . Das sind $10$ von $100$ möglichen Ereignissen $\;\Rightarrow\;P(C)=\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$ .
D: "Das Produkt der erzielten Zahlen ist $2$ oder $3$ ".
Möglich sind hier die Ereignisse $D=\{12, 21, 13, 31 \}$ . Das sind $4$ von $100$ möglichen Ereignissen $\;\Rightarrow\;P(D)=\dfrac{4}{100}=\dfrac{1}{25}$ .
Untersuche, ob die Ereignisse $C$ und $D$ stochastisch unabhängig sind?
Bei stochastischer Unabhängigkeit gilt:
$P(C\cap D)=P(C)\cdot P(D)$
Die Schnittmenge der beiden Ereignisse $C$ und $D$ ist:
$C\cap D=\{12{,}21\}$
Das sind $2$ von $100$ möglichen Ereignissen $\;\Rightarrow\;P(C\cap D)=\dfrac{2}{100}=0{,}02$ .
Andererseits ist $P(C)=\dfrac{1}{10}$ und $P(D)=\dfrac{4}{100}$ .
$\Rightarrow\;P(C)\cdot P(D)=\dfrac{1}{10} \cdot\dfrac{4}{100}=\dfrac{4}{1000}=0{,}004$
$P(C\cap D)\neq P(C)\cdot P(D)$ denn $0{,}02 \neq 0{,}004$
Die Ereignisse $C$ und $D$ sind nicht stochastisch unabhängig. Sie sind stochastisch abhängig.

Mit dem Glücksrad wird ein Spiel durchgeführt. Jeder Spieler darf das Glücksrad beliebig oft drehen. Beendet er das Spiel selbst, bevor er eine "0" erzielt, so wird ihm die Summe der erzielten Zahlen in Euro ausgezahlt. Erzielt er eine "0", so ist das Spiel dadurch beendet und es erfolgt keine Auszahlung.

Ein erster Spieler entscheidet sich vor dem Spiel dafür, das Glücksrad, sofern er keine "0" erzielt, viermal zu drehen und danach das Spiel zu beenden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine Auszahlung erhält. (2 P)
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Der Spieler spielt viermal. Dabei darf viermal keine "0" vorkommen.
$P(\text{keine "0"})=1-P("0")=1-0{,}1=0{,}9$
$\Rightarrow\;P(\text{Auszahlung})=0{,}9^4=0{,}6561$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine Auszahlung erhält, beträgt rund $65{,}6\;\%$ .
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Bei einem zweiten Spieler beträgt nach mehrmaligem Drehen des Glücksrads die Summe der erzielten Zahlen $60$ . Er möchte nun das Spiel entweder sofort beenden oder das Glücksrad genau ein weiteres Mal drehen. Berechnen Sie für den Fall, dass sich der Spieler für die weitere Drehung entscheiden sollte, den Erwartungswert für die Auszahlung. Geben Sie eine Empfehlung ab, ob sich der Spieler für das beenden des Spiels, oder für die weitere Drehung entscheiden sollte, und begründen sie Ihre Empfehlung. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

Die Werte der Zufallsgröße $X$ sind die Auszahlungsbeträge in $€$ .

Die Summe der erzielten Zahlen beträgt $60$ .

Er spielt noch einmal und erzielt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1$ eine "0". Dann beträgt die Auszahlung $0\;€$ (erste Spalte).

Er spielt noch einmal und erzielt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1$ eine "1". Dann beträgt die Auszahlung $60+1=61\;€$ (zweite Spalte).

$.......$

Er spielt noch einmal und erzielt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1$ eine "9". Dann beträgt die Auszahlung $60+9=69\;€$ (letzte Spalte).

$x_i$	$0$	$61$	$62$	$63$	$64$	$65$	$66$	$67$	$68$	$69$
$P(X=x_i)$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$

Für den Erwartungswert gilt dann:

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{c c l}\text E (\text X) & = & x_1\cdot\text P (\text X =x_1) +x_2\cdot\text P (\text X =x_2) +\cdots+x_n\cdot\text P (\text X =x_n) \\ & = & \sum\limits_{i=1}^{n}x_i\cdot\text P (\text X = x_i)\end{array}$

$E(X)=(0+61+62+63+64+65+66+67+68+69)\cdot 0{,}1=58{,}5\;€$

Da bei einem weiteren Spiel der Erwartungswert mit $58{,}5\;€$ kleiner als der bereits erspielte Gewinn von $60 \;€$ ist, sollte Spieler $2$ sofort aufhören.

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Wenn sich ein Spieler vor dem Spiel dafür entscheidet, das Glücksrad, sofern er keine "0" erzielt, $n$ -mal zu drehen, dann kann der Erwartungswert für die Auszahlung mit dem Term $5n\cdot 0{,}9^n$ berechnet werden. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von $n$ , für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

Der Erwartungswert für die Auszahlung ist $E(X)=5n\cdot 0{,}9^n$ .

Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von $n$ , für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen.

Zwei aufeinanderfolgende Werte für $n$ sind $n$ und $n+1$ . Also sollen die Terme $5n\cdot 0{,}9^n$ und $5(n+1)\cdot 0{,}9^{n+1}$ übereinstimmen.

Ansatz: $5n\cdot 0{,}9^n=5(n+1)\cdot 0{,}9^{n+1}$

$\displaystyle 5n\cdot0{,}9^n$	$=$	$\displaystyle 5(n+1)\cdot 0{,}9^{n+1}$	$\displaystyle :5$
	↓	Löse nach $n$ auf. Teile durch $5$ .
$\displaystyle n\cdot0{,}9^n$	$=$	$\displaystyle (n+1)\cdot 0{,}9^{n+1}$
$\displaystyle n\cdot0{,}9^n$	$=$	$\displaystyle (n+1)\cdot 0{,}9^{n}\cdot 0{,}9^1$	$\displaystyle :0{,}9^n$
	↓	Teile durch $0{,}9^n$ .
$\displaystyle n$	$=$	$\displaystyle (n+1)\cdot0{,}9$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle n$	$=$	$\displaystyle 0{,}9n+0{,}9$	$\displaystyle -0{,}9n$
$\displaystyle 0{,}1n$	$=$	$\displaystyle 0{,}9$	$\displaystyle :0{,}1$
$\displaystyle n$	$=$	$\displaystyle 9$

Für $n=9$ und $n=10$ sollen die Erwartungswerte übereinstimmen.

Überprüfung:

$n=9\;\Rightarrow\;E(X)=5\cdot 9\cdot 0{,}9^9=45\cdot 0{,}9^9$

$n=10\;\Rightarrow\;E(X)=5\cdot 10\cdot 0{,}9^{10}=50\cdot 0{,}9\cdot 0{,}9^9=45\cdot 0{,}9^9$

Also stimmen die Erwartungswerte für $n=9$ und $n=10$ überein.

Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von $n$

Die obige Gleichung für $n$ hat nur eine einzige Lösung, nämlich $n=9$ . Demnach kann es nur zwei und nicht drei aufeinanderfolgende Werte von $n$ geben. Hätte die obige Gleichung hingegen zwei verschiedene Lösungen für $n$ , dann gäbe es drei aufeinanderfolgende Werte von $n$ .

Zur Probe wird noch der Wert für $n=11$ berechnet.

$n=11\;\Rightarrow\;E(X)=5\cdot 11\cdot 0{,}9^{11}=55\cdot 0{,}9^2\cdot 0{,}9^9=44{,}55\cdot 0{,}9^9$

Der Erwartungswert für $n=11$ stimmt nicht mit den Werten für $n=9$ und $n=10$ überein, da $44{,}55\cdot 0{,}9^9\neq45\cdot 0{,}9^9$ ist.

Also gibt es keine drei aufeinanderfolgende Werte von $n$ , für die die Erwartungswerte übereinstimmen.

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Im Folgenden wird ein Glücksrad mit $n$ gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von $0$ bis $n-1$ durchnummeriert sind, betrachtet.

Bestimmen Sie für $n=5$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligen Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen erzielt werden. (3 P)
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Bei dreimaligen Drehen des Glücksrads werden genau zwei gleiche Zahlen erzielt
Es ist $n=5$ und es wird dreimal gedreht. Die Anzahl der Möglichkeiten $3$ Zahlen aus $5$ zu erzielen ist mit Beachtung der Reihenfolge und mit Zurücklegen $5^3$ .
Von den fünf Zahlen wird eine Zahl ausgewählt, die doppelt erzielt werden soll.
$\Rightarrow\; 5$ Möglichkeiten
Von den drei Feldern (siehe Abbildung rechts) werden zwei ausgewählt.
$\Rightarrow\;\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=3$ Möglichkeiten
Für das dritte Feld bleiben dann noch $4$ Zahlen übrig.
$\Rightarrow\; 4$ Möglichkeiten
Insgesamt gibt es $5\cdot 3 \cdot 4=60$ Möglichkeiten für genau zwei gleiche Zahlen.
$P(\text{genau zwei gleiche Zahlen})=\dfrac{\text{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$
$P(\text{genau zwei gleiche Zahlen})=\dfrac{60}{5^3}=\dfrac{12}{25}=0{,}48$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligen Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen erzielt werden, beträgt $48\;\%$ .
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Das Glücksrad wird $n$ -mal gedreht. Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Wert von $n$ , für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als $1\;\%$ ist. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, ist kleiner als $1\;\%$

Bei $n$ -mal drehen hat jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit $\left(\dfrac{1}{n}\right)^n$ .

Wenn $n$ verschieden Zahlen untereinander vertauscht werden, gibt es $n!$ Möglichkeiten.

$\Rightarrow\;P(\text{alle Zahlen verschieden})=\left(\dfrac{1}{n}\right)^n\cdot n!$

Diese Wahrscheinlichkeit soll nun kleiner als $1\;\%$ sein.

$\left(\dfrac{1}{n}\right)^n\cdot n!<1\;\%$

Diese Ungleichung ist nicht elementar lösbar. Sinnvoll ist z.B. die Erstellung einer Tabelle mit dem Taschenrechner.

n	1	2	3	4	5	6	7
$\left(\dfrac{1}{n}\right)^n\cdot n!$	....	....	....	$\dfrac{3}{32}=0{,}09375$	$\dfrac{24}{625}=0{,}0384$	$\dfrac{5}{324}\approx0{,}015$	$\dfrac{720}{117649}\approx0{,}0061$

Für $n=7$ ist $\left(\dfrac{1}{7}\right)^7\cdot 7!\approx0{,}0061<0{,}01$ .

Der kleinstmöglichen Wert von $n$ , für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als $1\;\%$ ist, ist $n=7$ .

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Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

A: "Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt".

B: "Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt".

C: "Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als 444".

D: "Das Produkt der erzielten Zahlen ist 222 oder 333".

Untersuche, ob die Ereignisse CCC und DDD stochastisch unabhängig sind?

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Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von nnn

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Bei dreimaligen Drehen des Glücksrads werden genau zwei gleiche Zahlen erzielt

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Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, ist kleiner als 1 %1\;\%1%

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C: "Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als $4$ ".

D: "Das Produkt der erzielten Zahlen ist $2$ oder $3$ ".

Untersuche, ob die Ereignisse $C$ und $D$ stochastisch unabhängig sind?

Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von $n$

Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, ist kleiner als $1\;\%$