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Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

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  1. 1
    Glücksrad

    Die Sektoren des abgebildeten Glücksrads sind gleich groß und mit den Zahlen von 00 bis 99 durchnummeriert.

    Das Glücksrad wird zwanzigmal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse A und B.

    A: "Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt".

    B: "Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt". (3 P)

  2. 2

    Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse C und D stochastisch unabhängig sind.

    C: "Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als 44".

    D: "Das Produkt der erzielten Zahlen ist 22 oder 33". (5 P)

  3. 3

    Mit dem Glücksrad wird ein Spiel durchgeführt. Jeder Spieler darf das Glücksrad beliebig oft drehen. Beendet er das Spiel selbst, bevor er eine "0" erzielt, so wird ihm die Summe der erzielten Zahlen in Euro ausgezahlt. Erzielt er eine "0", so ist das Spiel dadurch beendet und es erfolgt keine Auszahlung.

    1. Ein erster Spieler entscheidet sich vor dem Spiel dafür, das Glücksrad, sofern er keine "0" erzielt, viermal zu drehen und danach das Spiel zu beenden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine Auszahlung erhält. (2 P)

      %
    2. Bei einem zweiten Spieler beträgt nach mehrmaligem Drehen des Glücksrads die Summe der erzielten Zahlen 6060. Er möchte nun das Spiel entweder sofort beenden oder das Glücksrad genau ein weiteres Mal drehen. Berechnen Sie für den Fall, dass sich der Spieler für die weitere Drehung entscheiden sollte, den Erwartungswert für die Auszahlung. Geben Sie eine Empfehlung ab, ob sich der Spieler für das beenden des Spiels, oder für die weitere Drehung entscheiden sollte, und begründen sie Ihre Empfehlung. (4 P)

    3. Wenn sich ein Spieler vor dem Spiel dafür entscheidet, das Glücksrad, sofern er keine "0" erzielt, nn-mal zu drehen, dann kann der Erwartungswert für die Auszahlung mit dem Term 5n0,9n5n\cdot 0{,}9^n berechnet werden. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

      Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von nn, für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen. (4 P)

  4. 4

    Im Folgenden wird ein Glücksrad mit nn gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von 00 bis n1n-1 durchnummeriert sind, betrachtet.

    1. Bestimmen Sie für n=5n=5 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligen Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen erzielt werden. (3 P)

      %
    2. Das Glücksrad wird nn-mal gedreht. Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Wert von nn, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als 1  %1\;\% ist. (4 P)



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