Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Im Folgenden wird ein Glücksrad mit $n$ gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von $0$ bis $n - 1$ durchnummeriert sind, betrachtet.

Bestimmen Sie für $n = 5$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligen Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen erzielt werden. (3 P)
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Bei dreimaligen Drehen des Glücksrads werden genau zwei gleiche Zahlen erzielt
Es ist $n = 5$ und es wird dreimal gedreht. Die Anzahl der Möglichkeiten $3$ Zahlen aus $5$ zu erzielen ist mit Beachtung der Reihenfolge und mit Zurücklegen $5^{3}$ .
Von den fünf Zahlen wird eine Zahl ausgewählt, die doppelt erzielt werden soll.
$\Rightarrow 5$ Möglichkeiten
Von den drei Feldern (siehe Abbildung rechts) werden zwei ausgewählt.
$\Rightarrow (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) = 3$ Möglichkeiten
Für das dritte Feld bleiben dann noch $4$ Zahlen übrig.
$\Rightarrow 4$ Möglichkeiten
Insgesamt gibt es $5 \cdot 3 \cdot 4 = 60$ Möglichkeiten für genau zwei gleiche Zahlen.
$P (genau zwei gleiche Zahlen) = \frac{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$
$P (genau zwei gleiche Zahlen) = \frac{60}{5^{3}} = \frac{12}{25} = 0,48$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligen Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen erzielt werden, beträgt $48 %$ .
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Das Glücksrad wird $n$ -mal gedreht. Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Wert von $n$ , für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als $1 %$ ist. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, ist kleiner als $1 %$
Bei $n$ -mal drehen hat jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit ${(\frac{1}{n})}^{n}$ .
Wenn $n$ verschieden Zahlen untereinander vertauscht werden, gibt es $n!$ Möglichkeiten.
$\Rightarrow P (alle Zahlen verschieden) = {(\frac{1}{n})}^{n} \cdot n!$
Diese Wahrscheinlichkeit soll nun kleiner als $1 %$ sein.
${(\frac{1}{n})}^{n} \cdot n! < 1 %$
Diese Ungleichung ist nicht elementar lösbar. Sinnvoll ist z.B. die Erstellung einer Tabelle mit dem Taschenrechner.
n
1
2
3
4
5
6
7
${(\frac{1}{n})}^{n} \cdot n!$
....
....
....
$\frac{3}{32} = 0,09375$
$\frac{24}{625} = 0,0384$
$\frac{5}{324} \approx 0,015$
$\frac{720}{117649} \approx 0,0061$
Für $n = 7$ ist ${(\frac{1}{7})}^{7} \cdot 7! \approx 0,0061 < 0,01$ .
Der kleinstmöglichen Wert von $n$ , für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als $1 %$ ist, ist $n = 7$ .
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n	1	2	3	4	5	6	7
${(\frac{1}{n})}^{n} \cdot n!$	....	....	....	$\frac{3}{32} = 0,09375$	$\frac{24}{625} = 0,0384$	$\frac{5}{324} \approx 0,015$	$\frac{720}{117649} \approx 0,0061$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Bei dreimaligen Drehen des Glücksrads werden genau zwei gleiche Zahlen erzielt

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Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, ist kleiner als 1%

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Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, ist kleiner als $1 %$