Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Im Folgenden wird ein Glücksrad mit $n$ gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von $0$ bis $n - 1$ durchnummeriert sind, betrachtet.

Bestimmen Sie für $n = 5$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligen Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen erzielt werden. (3 P)
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Bei dreimaligen Drehen des Glücksrads werden genau zwei gleiche Zahlen erzielt
Es ist $n = 5$ und es wird dreimal gedreht. Die Anzahl der Möglichkeiten $3$ Zahlen aus $5$ zu erzielen ist mit Beachtung der Reihenfolge und mit Zurücklegen $5^{3}$ .
Von den fünf Zahlen wird eine Zahl ausgewählt, die doppelt erzielt werden soll.
$\Rightarrow\; 5$ Möglichkeiten
Von den drei Feldern (siehe Abbildung rechts) werden zwei ausgewählt.
$\Rightarrow\;\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=3$ Möglichkeiten
Für das dritte Feld bleiben dann noch $4$ Zahlen übrig.
$\Rightarrow\; 4$ Möglichkeiten
Insgesamt gibt es $5\cdot 3 \cdot 4=60$ Möglichkeiten für genau zwei gleiche Zahlen.
$P(\text{genau zwei gleiche Zahlen})=\dfrac{\text{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$
$P(\text{genau zwei gleiche Zahlen})=\dfrac{60}{5^3}=\dfrac{12}{25}=0{,}48$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligen Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen erzielt werden, beträgt $48 %$ .
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Das Glücksrad wird $n$ -mal gedreht. Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Wert von $n$ , für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als $1 %$ ist. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, ist kleiner als $1 %$

Bei $n$ -mal drehen hat jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit $\left(\dfrac{1}{n}\right)^n$ .

Wenn $n$ verschieden Zahlen untereinander vertauscht werden, gibt es $n!$ Möglichkeiten.

$\Rightarrow\;P(\text{alle Zahlen verschieden})=\left(\dfrac{1}{n}\right)^n\cdot n!$

Diese Wahrscheinlichkeit soll nun kleiner als $1 %$ sein.

$\left(\dfrac{1}{n}\right)^n\cdot n!<1\;\%$

Diese Ungleichung ist nicht elementar lösbar. Sinnvoll ist z.B. die Erstellung einer Tabelle mit dem Taschenrechner.

n	1	2	3	4	5	6	7
$\left(\dfrac{1}{n}\right)^n\cdot n!$	....	....	....	$\dfrac{3}{32}=0{,}09375$	$\dfrac{24}{625}=0{,}0384$	$\dfrac{5}{324}\approx0{,}015$	$\dfrac{720}{117649}\approx0{,}0061$

Für $n = 7$ ist $\left(\dfrac{1}{7}\right)^7\cdot 7!\approx0{,}0061<0{,}01$ .

Der kleinstmöglichen Wert von $n$ , für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als $1 %$ ist, ist $n = 7$ .

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Bei dreimaligen Drehen des Glücksrads werden genau zwei gleiche Zahlen erzielt

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Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, ist kleiner als 1 %1\;\%1%

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Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, ist kleiner als $1 %$