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Kurs

Kombinatorisches Veranstaltungsmanagement

1 ZĂ€hlprinzip

Als Gast der Gala hat man die Möglichkeit, jede Vorspeise mit jeder Hauptspeise und jeder Nachspeise zu kombinieren. FĂŒr jede der drei Vorspeisen gibt es vier Hauptspeisen, also 4⋅3=124\cdot 3=12 Variationen. Jede dieser 12 Variationen kann mit einer der drei Nachspeisen kombiniert werden, also 12⋅3=3612\cdot 3=36.

Du musst also fĂŒr jede Entscheidung, die du triffst, die Anzahl der Möglichkeiten mit denen der anderen Entscheidungen multiplizieren.

DefinitionZĂ€hlprinzip

Die Anzahl der möglichen Ergebnisse bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhÀltst du, indem du die Anzahl der Möglichkeiten auf jeder Stufe miteinander multiplizierst. Diese Eigenschaft nennt man auch ZÀhlprinzip.

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2 Nehmen Sie Ihre PlÀtze ein

Die Zusagen sind eingetroffen und die GĂ€steliste ist komplett. Li und Luca planen die Sitzordnung.

"Diese Gruppe macht uns das Leben schwer. Es sind 10 Personen, aber die Tische haben immer nur 6 PlĂ€tze.", seufzt Luca. "Nicht so schlimm, wir suchen uns einfach eine Aufteilung raus und der Rest kommt an den Nebentisch." "Ja, da hast du recht. Aber wenn wir schon dabei sind. Wie viele Möglichkeiten gĂ€be es eigentlich 10 Personen auf einen Tisch mit 6 StĂŒhlen aufzuteilen? Das muss man doch berechnen können?"

Überlege dir, wie du die Anzahl der Möglichkeiten berechnen kannst, 6 nummerierte StĂŒhle mit einer Auswahl aus 10 Personen zu besetzen

3 FakultÀt und Permutation

Als Gedankenexperiment: Wie sÀhe der Term aus, wenn wir 10 Personen zufÀllig auf 10 PlÀtze verteilen?

Die erste Person hat 10 Möglichkeiten, die zweite 9, dann 8, dann 7, ... bis zur letzten Person, die nur noch einen freien Stuhl sieht. Mit dem ZĂ€hlprinzip ergibt das 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=362880010\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=3628800 Möglichkeiten. FĂŒr diesen langen Term gibt es aber auch eine abkĂŒrzende Schreibweise: Die FakultĂ€t

DefinitionFakultÀt

FĂŒr eine natĂŒrliche Zahl n ist die FakultĂ€t eine verkĂŒrzte Schreibweise fĂŒr das Produkt aus allen seinen VorgĂ€ngern:

n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅...⋅1n!=n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot...\cdot1

Oder am Beispiel:

3!=3⋅2⋅1=63!=3\cdot2\cdot1=6

6!=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=7206!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720

Da jedes Zufallsexperiment als Urnenexperiment aufgefasst werden kann, kannst du das Experiment auch als "Ziehen aller Kugeln aus einer Urne ohne ZurĂŒcklegen und mit Beachtung der Reihenfolge" sehen.

VorgehenAnzahl der Permutationen

Sollen aus einer Urne alle Kugeln ohne ZurĂŒcklegen unter Beachtung der Reihenfolge gezogen werden, so nennt man das erhaltene Ergebnis Permutation.

Die Anzahl aller möglicher Permutationen von n Elementen ist n!

4 Variation ohne Wiederholung

ZurĂŒck zu Li und Luca: Auch ihr Problem kann durch eine Urne simuliert werden. Dabei wird aus einer Urne mit 10 Kugeln sechsmal gezogen und die Reihenfolge der erhaltenen Kugeln beachtet, sodass es wichtig ist, ob die Kugel "Paul Huber" als 1. oder 5. gezogen wird (Paul Huber auf dem 1. oder 5. Stuhl am Tisch sitzt).

Der Unterschied zur Permutation ist, dass diesmal die FakultÀt nicht bis zum Ende ausgerechnet wird:

10 Personen könnten auf dem 1. Platz sitzen, noch 9 auf dem 2., noch 8 auf dem 3., noch 7 auf dem 4., noch 6 auf dem 5. und noch 5 auf dem 6., also:

10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5=15120010\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5=151200 Möglichkeiten 6 Menschen aus 10 auf 6 feste PlĂ€tze zuzuteilen.

VorgehenVariation ohne Wiederholung

Werden aus einer Urne mit n Kugeln k Kugeln ohne ZurĂŒcklegen (Wiederholung) gezogen und die Reihenfolge beachtet (Variation), so kann die Anzahl der möglichen Variationen mithilfe des Terms

n!(n−k)!\displaystyle \frac{n!}{\left(n-k\right)!}

berechnet werden.

In der Anwendung bedeutet das nur, dass die FakultĂ€t nicht bis zum Ende ausgefĂŒhrt wird, sondern nach den k gezogenen Kugeln abgebrochen wird:

10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5=10!(10−6)!=10!4!=10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅14⋅3⋅2⋅110\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5=\frac{10!}{\left(10-6\right)!}=\frac{10!}{4!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5{\color{cc0000}\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}}{\color{cc0000}4\cdot3\cdot2\cdot1}


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