9Kombination ohne Wiederholung

Verwendet man die Formel für die Variation ohne Wiederholung und teilt dann das Ergebnis noch durch die Anzahl der möglichen Variationen in den kleinen Grüppchen, so kann die Frage damit beantwortet werden.

VorgehenKombination ohne Wiederholung

Werden aus einer Urne mit n Kugeln k Kugeln ohne Zurücklegen (ohne Wiederholung) gezogen und die Reihenfolge der gezogenen Kugeln nicht beachtet (Kombination), so kann die Anzahl der Kombinationen bestimmt werden durch

\displaystyle \frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}

Es gibt also $\frac{5!}{\left(5-3\right)!\cdot3!}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{\left(2\cdot1\right)\cdot\left(3\cdot2\cdot1\right)}=\frac{60}{6}=10$ Möglichkeiten 3 aus 5 auszuwählen und

$\frac{250!}{\left(250-25\right)!\cdot25!}=16549715289785912000000000000000000$ Möglichkeiten 25 aus 250 auszuwählen.

Da die Fragestellung "Wie viele Möglichkeiten gibt es, k aus n auszuwählen?" so häufig ist, gibt es für $\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}$ eine Kurzschreibweise, den Binomialkoeffizienten

DefinitionBinomialkoeffizent

$\binom{n}{k}$ , gesprochen "k aus n" oder "n über k", ist eine Kurzschreibweise, mit der berechnet werden kann, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Menge mit n Elementen zu wählen ohne die Reihenfolge zu beachten, also für den Term

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}$ .

Die meisten Taschenrechner verfügen zur Berechnung des Binomialkoeffizienten über eine Taste nCr (wobei 5 nCr 3auf dem Taschenrechner den Wert von $\binom{5_{ }}{3}$ bestimmt).

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