Aufgaben zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit

Gegeben ist ein Beutel mit x Laplace-Münzen, wobei eine auf beiden Seiten Wappen trägt und die anderen jeweils auf einer Seite Wappen und auf der anderen Seite Zahl.

Es wird eine Münze aus dem Beutel gezogen und diese zweimal hintereinander geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal Wappen erscheint, liegt bei $\frac{1}{2}$ .

$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{x-1}{4x}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
	↓	Auf den Hauptnenner $4x$ erweitert.
$\displaystyle \frac{4}{4x}+\frac{x-1}{4x}$	$=$	$\displaystyle \frac{2x}{4x}$	$\displaystyle \cdot4x$
$\displaystyle 4+(x-1)$	$=$	$\displaystyle 2x$
$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle 2x$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle \text{P(ww) } \cdot x - 1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \text{Term für P(ww) einsetzen}$
$\displaystyle \left( \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot x - 1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \text{Klammer zusammenfassen}$
$\displaystyle \frac{2}{5} \cdot x - 1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle \frac{2}{5} \cdot x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot \frac{5}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{2} = 2{,}50$

$\displaystyle \frac{\frac{1}{5} \cdot 1^x}{\frac{1}{5} \cdot 1^x + \frac{4}{5} \cdot \left( \frac{1}{2}\right)^x}$	$≥$	$\displaystyle \frac{95}{100}$	$\displaystyle \text{Vereinfachen } 1^x = 1$
$\displaystyle \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5} + \frac{4}{5} \cdot \left( \frac{1}{2}\right)^x}$	$≥$	$\displaystyle \frac{95}{100}$	$\displaystyle \text{mit 5 erweitern ; } \left( \frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$
$\displaystyle \frac{1}{1 + 4 \cdot 2^{-x}}$	$≥$	$\displaystyle \frac{95}{100}$	$\displaystyle \cdot (1 + 4 \cdot 2^{-x}) \cdot 100$
$\displaystyle 100$	$≥$	$\displaystyle 95 \cdot (1 + 4 \cdot 2^{-x})$	$\displaystyle \text{Klammer ausmultiplizieren}$
$\displaystyle 100$	$≥$	$\displaystyle 95 + 380 \cdot 2^{-x}$	$\displaystyle - 95$
$\displaystyle 5$	$≥$	$\displaystyle 380 \cdot 2^{-x}$	$\displaystyle :5 \cdot 2^x$
$\displaystyle 2^x$	$≥$	$\displaystyle 76$	$\displaystyle \log_2()$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle 7$

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