Lösung zu a

Der Winkel $\delta$ lässt sich zerlegen in zwei Teilwinkel, $\delta_1$ und $\delta_2$.

$\delta_2$ ist ein rechter Winkel, denn die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{DC}$ im Trapez $ABCD$ sind parallel und $\overline{DL}$ ist als Höhe des Trapezes senkrecht auf diese beide Seiten.

$\delta_2=90^\circ$

$\delta_1$ lässt sich mit den Trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck berechnen.

Die Seite $\overline{AL}$ ist die Gegenkathete zum Winkel $\delta_1$, die Seite $\overline{DL}$ die Ankathete.

Du verwendest deshalb den Tangens:

$\tan(\delta_1)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{3}{4}$

$\delta_1=\tan^{-1}(\frac{3}{4})$

$\delta_1= 36{,}87\ ^\circ$

Setze nun die beiden Winkel zusammen.

$\delta= \delta_1+\delta_2= 36{,}87\ ^\circ+90\ ^\circ= 126{,}87\ ^\circ$

Lösung zu b

Verschiebe den Punkt $B$ um $2\;\text{cm}$ nach außen, von $A$ weg und den Punkt $C$ und $D$ jeweils $2\;\text{cm}$ nach unten.

Lösung zu c

Das gleichschenklige Trapez ist achsensymmetrisch.

Die Strecke $\overline{AL}$ bleibt immer $3\;\text{cm}$, die Strecke $\overline{DC}=\overline{LE}$ bleibt immer $4{,}5\;\text{cm}$. Damit das Trapez symmetrisch wird, muss $\overline{EB_2}$ ebenfalls $3\;\text{cm}$ lang sein.

Lösung zu d

Zunächst brauchst du die allgemeine Formel für die Fläche des Trapezes:

$A_{\text{Trapez}}=\frac{a+c}{2}\cdot h$

Die Strecke $a=\overline{DC}$ bleibt fest, die anderen beiden verändern sich!

$a=\overline{DC}=4{,}5$

Die Strecken $c=\overline{AB_n}$ und $h=\overline{D_nL}$ verändern sich in Abhängigkeit von x.

c wird um x cm verlängert, h um x cm verkürzt.

$c=\overline{AB}+x= 9 +x$ $h= \overline{DL}-x= 4-x$

Setze alle Strecken in die Formel ein.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{lcl}A_{\text{Trapez}}(x) & = & \dfrac{4{,}5+9+x}{2}\cdot(4-x)\\ \\ & =& \dfrac{13{,}5 +x}{2}\cdot(4-x) \\ \\ & = &(6{,}75 +0{,}5x)(4-x)\\ &=& 27-6{,}75x+2x-0{,}5x^2\\ &=&-0{,}5x^2-4{,}75x+27\end{array}$

Es ist also $A(x)=(-0{,}5x^2-4{,}75x+27)\;\text{cm}^2$.

Lösung zu e

Die Fläche des Trapezes soll $28\ \mathrm{cm}^2$ sein, das ist der Wert der Funktion $A_{\text{Trapez}}(x)$. Setze das Ergebnis aus Teilaufgabe d) mit 28 gleich.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}28&=&-0{,}5x^2-4{,}75x+27 &|-28 \\0&=& -0{,}5x^2-4{,}75x-1\end{array}$

Bringe die Gleichung auf die Form $ax^2+bx+c=0$, um die Mitternachtsformel anzuwenden.

$x_{1/2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Setze die Werte ein.

$x_{1/2}=\dfrac{4{,}75\pm \sqrt{(-4{,}75)^2-4\cdot (-0{,}5)\cdot (-1)}}{2\cdot (-0{,}5)}$ $x_{1}=-9{,}28$ $x_2=-0{,}22$

Beide Werte liegen nicht im Bereich $]0;4[$. Deshalb gibt es kein Trapez, das diese Vorgaben erfüllt.