geg.: Parabel $p: y=0{,}25\cdot x^{2}-x+2$; Gerade $g: y=0{,}25\cdot x-1$

Punkte $A_n(x|0{,}25\cdot x-1)$ auf g, Punkte $B_n(x|0{,}25\cdot x^{2}-x+2)$ auf p mit derselben Abszisse $x$ ,

Punkte $C_n$ sind Eckpunkte von $\triangle A_nB_nC_n$ mit $\overrightarrow {A_nC_n}=\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}$

ges.: Einzeichnen der Dreiecke $A_nB_nC_n$ für $x=0$ und $x=4$ ins KOSY

Ansatz und Rechnung:

Setze $x=0$ in $A$ und in $B$ ein:

$A_1(0|-1)$

$B_1(0|2)$

Berechne $C_1$:

$\overrightarrow{A_1C_1}=\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\vec C_1-\vec A_1\;\Rightarrow\;\vec C_1=\vec A_1+\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\2\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\;C_1(-4|2)$

Setze $x=4$ in $A$ und in $B$ ein:

$A_2(4|0)$

$B_2(4|2)$

Berechne $C_2$:

$\vec C_2=\vec A_2+\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\3\end{pmatrix}$

geg.: $A_n(x|0{,}25\cdot x-1)$ und $B_n(x|0{,}25\cdot x^{2}−x+2)$

ges.: $|\overrightarrow {A_nB_n}(x)|$

Ansatz und Rechnung:

1. Bestimmung des Vektors $\overrightarrow {A_nB_n}(x)$ aus den Punkten $A_n(x|0{,}25\cdot x-1)$ und $B_n(x|0{,}25\cdot x^{2}−x+2)$

$\overrightarrow {A_nB_n}(x)=\begin{pmatrix} x\\0{,}25\cdot x^2-x+2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x\\ 0{,}25⋅ x-1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow {A_nB_n}(x)=\begin{pmatrix} x-x\\0{,}25\cdot x^2-x+2-0{,}25\cdot x+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {0}\\ 0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3\end{pmatrix}$

Anmerkung:

Die $x-$Komponenten von $A_n( x | 0{,}25x-1)$ und $B_n( x |0{,}25x^2-x+2)$ sind identisch.

Somit kann auf die obige Vektordarstellung verzichtet werden und die Vektorlängenberechnung allein aus der Addition der $y-$Komponenten erfolgen!

2. Berechnung der Vektorlänge $\overrightarrow {A_nB_n}(x)$ nach Pythagoras:

$|\overrightarrow {A_nB_n}|(x)=\sqrt {{0^2}+(0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3)^2}$

$|\overrightarrow{A_nB_n}|(x)=\sqrt {{(0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3)}^2}\qquad$| Wurzel und Quadrat heben sich auf

$\Rightarrow \bold {|\overrightarrow{A_nB_n}|(x)={{[0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3]\: LE}}}$

geg.: $\overrightarrow {A_nC_n}=\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{A_nB_n}|(x)={{[0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3]\: LE}}$

ges.: $|\overrightarrow {A_nC_n}|$ und $x$-Werte der gleichschenkligen Dreiecke $A_3B_3C_3$ und $A_4B_4C_4$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Länge von $\overrightarrow {A_nC_n}=\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}$:

$\Rightarrow |\overrightarrow {A_nC_n}|=\sqrt {(-4)^2+3^2}=\sqrt {16+9}=\sqrt {25}=5 LE$

2. Berechnung der $x-$Werte der gleichschenkligen Dreiecke $A_3B_3C_3$ und $A_4B_4C_4$:

In den gleichschenkligen Dreiecken mit der Basis $\overline { B_3C_3}$ bzw. $\overline { B_4C_4}$ sind die Beträge der Schenkel gleich, also gilt: $|\overrightarrow {A_nC_n}|=|\overrightarrow{A_nB_n}|(x)$

$\Rightarrow {{[0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3]\: LE}}= 5\: LE$

Äquivalenzumformung und Erstellung der quadratischen Gleichung:

$[0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3]-5=0$

$0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x -2=0$

$a$-$b$-$c$-Formel anwenden: $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Diskriminante $D$ berechnen mit $a=0{,}25$; $b=-1{,}25$; $c=-2$;

${D=b^2 -4\cdot a\cdot c}= (-1{,}25)^2-4\cdot 0{,}25\cdot (-2)=1{,}5625+2=3{,}5625$

$\Rightarrow {D>0}$. Also gibt es 2 Lösungen.

$D$ in $a$-$b$-$c$-Formel einsetzen:

$\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac {{-(-1{,}25)}\pm \sqrt {3{,}5625}}{2\cdot 0{,}25}=\frac {{1{,}25}\pm \sqrt {3{,}5625}}{0{,}5}$

$\displaystyle\Rightarrow\quad x_{1}=\frac {{1{,}25}+1{,}887}{0{,}5}=6{,}274$

$\displaystyle\Rightarrow \quad x_{2}=\frac {1{,}25-1{,}887}{0{,}5}=-1{,}274$

Die $x$-Koordinaten sind somit $\bold {x_{1}= 6{,}27 ; x_{2}= -1{,}27}$