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Aufgabe B2

Gegeben sind die Parabel pp mit der Gleichung y=0,25x2x+2    (x,yR)y=0{,}25x^2-x+2 \;\; (x, y\in \mathbb{R}) und die

Gerade gg mit der Gleichung y=0,25x1    (x,yR)y=0{,}25x-1 \;\; (x,y\in \mathbb{R}).

Parabel und Gerade
  1. Punkte An(x0,25x1)A_n(x|0{,}25x-1) auf der Geraden gg und Punkte Bn(x0,25x2x+2)B_n(x|0{,}25x^2-x+2) auf der

    Parabel pp haben dieselbe Abszisse xx. Sie sind zusammen mit Punkten CnC_n Eckpunkte von Dreiecken AnBnCnA_nB_nC_n. Es gilt: AnCn=(43)\overrightarrow{A_nC_n}=\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}.

    Zeichnen Sie die Dreiecke A1B1C1A_1B_1C_1 für x=0x=0 und A2B2C2A_2B_2C_2 für x=4x=4 in das

    Koordinatensystem der Aufgabenstellung ein. (2 P)

  2. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken AnBn\overline{A_nB_n} in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: AnBn(x)=(0,25x21,25x+3)  LE\vert\overline{A_nB_n}\vert(x)=(0{,}25x^2-1{,}25x+3)\;\text{LE}. (1 P)

  3. Die Dreiecke A3B3C3A_3B_3C_3 und A4B4C4A_4B_4C_4 sind gleichschenklig mit der Basis B3C3\overline{B_3C_3} bzw. B4C4\overline{B_4C_4}. Berechnen Sie die zugehörigen Werte von xx. (3 P)

    Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.