Nachtermin Teil B

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B1
In einem Supermarkt werden regionale („R“) und nichtregionale („nR“) Produkte angeboten. Dabei beträgt der Anteil der regionalen Produkte $p %$ $(p\in \mathbb{R^+})$ .
Alle Produkte sind entweder biologisch („B“) oder nichtbiologisch („nB“) erzeugt.
$20 %$ der regionalen Produkte des Supermarkts sind biologisch erzeugt. Bei den nichtregionalen Produkten sind dies nur $5 %$ .
1. Zeichnen Sie ein zugehöriges Baumdiagramm, in dem alle prozentualen Anteile ersichtlich sind. (2,5 P)
  
  geg.: Regional $≘ R$ ; nichtregional $≘ n R$ ; biologisch $≘ B$ ; nichtbiologisch $≘ n B$ ;
  $P (R) = p$ % $\Rightarrow P(nR)=(100 -p)$ %
  $P_{R} (B) = 20$ % $\Rightarrow P_R(nB)=(100-20)$ % $= 80$ %
  $P_{nR}(B)=5$ % $\Rightarrow$ $P_{nR}(nB)=(100-5)$ % $= 95$ %
  ges.: Baumdiagramm
  Ansatz und Rechnung:
  Baumdiagramm mit Angabe der prozentualen Anteile der Produkte eines Supermarktes:
  Baumdiagramm
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  Anteilige Interpretation der Prozentwerte
2. In diesem Supermarkt findet eine Warenkontrolle statt. Bei der zufälligen Auswahl eines Produktes erhält man mit einer Wahrscheinlichkeit von $6 %$ ein regionales, biologisch erzeugtes Produkt.
  Berechnen Sie den Anteil $p %$ aller regionalen Produkte dieses Supermarkts in Prozent. (1,5 P)
  
  geg.: $p = 6$ % für Auswahl eines $R + B$ Produktes; $20$ % der Produkte sind $R + B$ ;
  ges.: %-Anteil aller $R$ Produkte
  Ansatz und Rechnung:
  $6$ % von $R + B ≘ 20$ % von $p$ %
  $\Rightarrow 6$ % $= 20 =20%*p(%)$ % $\cdot p$ %
  Auflösen nach $p$ : $\Rightarrow p$ $=\frac {6}{20}=0{,}3≙30$ %
  $\mathbb{L}=\left\{30\right\}\qquad$
  Der Anteil der regionalen Produkte dieses Supermarktes liegt bei 30 %.
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  Berechnung des %-Anteils aller regionalen Produkte
3. Dieser Supermarkt bietet insgesamt $15000$ Produkte an.
  Berechnen Sie die Anzahl der regionalen, biologisch erzeugten Produkte. (1 P)
  
  geg.: 15.000 Produkte
  ges.: Anzahl der $R + B$ Produkte
  Ansatz und Rechnung:
  $6$ % aller Produkte sind $R + B$
  $\Rightarrow 15.000\cdot 0{,}06=900\: (R+B)$
  Der Supermarkt bietet 900 regionale biologisch erzeugte Produkte an.
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  Berechnung der Anzahl der regionalen biologischen Produkte
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B2
Gegeben sind die Parabel $p$ mit der Gleichung $y=0{,}25x^2-x+2 \;\; (x, y\in \mathbb{R})$ und die
Gerade $g$ mit der Gleichung $y=0{,}25x-1 \;\; (x,y\in \mathbb{R})$ .
1. Punkte $A_n(x|0{,}25x-1)$ auf der Geraden $g$ und Punkte $B_n(x|0{,}25x^2-x+2)$ auf der
  Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind zusammen mit Punkten $C_{n}$ Eckpunkte von Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ . Es gilt: $\overrightarrow{A_nC_n}=\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}$ .
  Zeichnen Sie die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 0$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 4$ in das
  Koordinatensystem der Aufgabenstellung ein. (2 P)
  
  geg.: Parabel $p: y=0{,}25\cdot x^{2}-x+2$ ; Gerade $g: y=0{,}25\cdot x-1$
  Punkte $A_n(x|0{,}25\cdot x-1)$ auf g, Punkte $B_n(x|0{,}25\cdot x^{2}-x+2)$ auf p mit derselben Abszisse $x$ ,
  Punkte $C_{n}$ sind Eckpunkte von $\triangle A_nB_nC_n$ mit $\overrightarrow {A_nC_n}=\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}$
  ges.: Einzeichnen der Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$ für $x = 0$ und $x = 4$ ins KOSY
  Ansatz und Rechnung:
  Setze $x = 0$ in $A$ und in $B$ ein:
  $A_{1} (0 ∣ - 1)$
  $B_{1} (0 ∣ 2)$
  Berechne $C_{1}$ :
  $\overrightarrow{A_1C_1}=\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\vec C_1-\vec A_1\;\Rightarrow\;\vec C_1=\vec A_1+\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\2\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;C_1(-4|2)$
  Setze $x = 4$ in $A$ und in $B$ ein:
  $A_{2} (4 ∣ 0)$
  $B_{2} (4 ∣ 2)$
  Berechne $C_{2}$ :
  $\vec C_2=\vec A_2+\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\3\end{pmatrix}$
  Parabel $p$ mit Gerade $g$ und den Dreiecken $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 0$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 4$
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  Einzeichnen von Dreiecken mit Eckpunkten auf Parabel und Gerade
2. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $\overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\vert\overline{A_nB_n}\vert(x)=(0{,}25x^2-1{,}25x+3)\;\text{LE}$ . (1 P)
  
  geg.: $A_n(x|0{,}25\cdot x-1)$ und $B_n(x|0{,}25\cdot x^{2}−x+2)$
  ges.: $|\overrightarrow {A_nB_n}(x)|$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Bestimmung des Vektors $\overrightarrow {A_nB_n}(x)$ aus den Punkten $A_n(x|0{,}25\cdot x-1)$ und $B_n(x|0{,}25\cdot x^{2}−x+2)$
  $\overrightarrow {A_nB_n}(x)=\begin{pmatrix} x\\0{,}25\cdot x^2-x+2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x\\ 0{,}25⋅ x-1 \end{pmatrix}$
  $\overrightarrow {A_nB_n}(x)=\begin{pmatrix} x-x\\0{,}25\cdot x^2-x+2-0{,}25\cdot x+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {0}\\ 0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3\end{pmatrix}$
  Anmerkung:
  Die $x -$ Komponenten von $A_n( x | 0{,}25x-1)$ und $B_n( x |0{,}25x^2-x+2)$ sind identisch.
  Somit kann auf die obige Vektordarstellung verzichtet werden und die Vektorlängenberechnung allein aus der Addition der $y -$ Komponenten erfolgen!
  2. Berechnung der Vektorlänge $\overrightarrow {A_nB_n}(x)$ nach Pythagoras:
  $|\overrightarrow {A_nB_n}|(x)=\sqrt {{0^2}+(0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3)^2}$
  $|\overrightarrow{A_nB_n}|(x)=\sqrt {{(0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3)}^2}\qquad$ | Wurzel und Quadrat heben sich auf
  $\Rightarrow \bold {|\overrightarrow{A_nB_n}|(x)={{[0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3]\: LE}}}$
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  Bestimmung von Vektor $\overrightarrow {A_nB_n}(x)$ und seiner Länge
3. Die Dreiecke $A_{3} B_{3} C_{3}$ und $A_{4} B_{4} C_{4}$ sind gleichschenklig mit der Basis $\overline{B_3C_3}$ bzw. $\overline{B_4C_4}$ . Berechnen Sie die zugehörigen Werte von $x$ . (3 P)
  Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
  
  geg.: $\overrightarrow {A_nC_n}=\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{A_nB_n}|(x)={{[0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3]\: LE}}$
  ges.: $|\overrightarrow {A_nC_n}|$ und $x$ -Werte der gleichschenkligen Dreiecke $A_{3} B_{3} C_{3}$ und $A_{4} B_{4} C_{4}$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung der Länge von $\overrightarrow {A_nC_n}=\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}$ :
  $\Rightarrow |\overrightarrow {A_nC_n}|=\sqrt {(-4)^2+3^2}=\sqrt {16+9}=\sqrt {25}=5 LE$
  2. Berechnung der $x -$ Werte der gleichschenkligen Dreiecke $A_{3} B_{3} C_{3}$ und $A_{4} B_{4} C_{4}$ :
  In den gleichschenkligen Dreiecken mit der Basis $\overline { B_3C_3}$ bzw. $\overline { B_4C_4}$ sind die Beträge der Schenkel gleich, also gilt: $|\overrightarrow {A_nC_n}|=|\overrightarrow{A_nB_n}|(x)$
  $\Rightarrow {{[0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3]\: LE}}= 5\: LE$
  Äquivalenzumformung und Erstellung der quadratischen Gleichung:
  $[0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3]-5=0$
  $0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x -2=0$
  $a$ - $b$ - $c$ -Formel anwenden: $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
  Diskriminante $D$ berechnen mit $a = 0, 25$ ; $b = - 1, 25$ ; $c = - 2$ ;
  ${D=b^2 -4\cdot a\cdot c}= (-1{,}25)^2-4\cdot 0{,}25\cdot (-2)=1{,}5625+2=3{,}5625$
  $\Rightarrow {D>0}$ . Also gibt es 2 Lösungen.
  $D$ in $a$ - $b$ - $c$ -Formel einsetzen:
  $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac {{-(-1{,}25)}\pm \sqrt {3{,}5625}}{2\cdot 0{,}25}=\frac {{1{,}25}\pm \sqrt {3{,}5625}}{0{,}5}$
  $\displaystyle\Rightarrow\quad x_{1}=\frac {{1{,}25}+1{,}887}{0{,}5}=6{,}274$
  $\displaystyle\Rightarrow \quad x_{2}=\frac {1{,}25-1{,}887}{0{,}5}=-1{,}274$
  Die $x$ -Koordinaten sind somit $\bold {x_{1}= 6{,}27 ; x_{2}= -1{,}27}$
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  Berechnung der x-Werte für die gleichschenkligen Dreiecke mithilfe $|\overrightarrow {A_nC_n}|$ und $|\overrightarrow{A_nB_n}|(x)$
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B3
Die nebenstehende Skizze zeigt das Viereck $A B C D$ .
Es gilt: $\vert\overline{AB}\vert=11\;\text{cm}$ ; $\vert\overline{AD}\vert=8\;\text{cm}$ ;
$\sphericalangle CBA=65^\circ$ ; $\sphericalangle ADC=105^\circ$ ; $\sphericalangle BAD=90^\circ$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Viereck $A B C D$ und die Strecke $\overline{BD}$ .
  Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $D C B$ und die Länge der Strecke $\overline{BD}$ . (3,5 P)
  $[$ Teilergebnisse: $\sphericalangle DCB=100^\circ; \vert\overline{BD}\vert=13{,}60\;\text{cm}]$
  
  geg.: $|\overline {AB}|= 11\:cm;\:|\overline {AD}|= 8\:cm; \: \sphericalangle CBA=65°; \: \sphericalangle ADC=105°; \: \sphericalangle BAD=90°$
  ges.: Winkel $D C B$ und Länge der Strecke $|\overline {BD}|$
  Ansatz und Rechnung:
  Grundwissen: Pythagoras, allgemeine Vierecke, Sinussatz, Kosinussatz, Kreisbogen, Prozentrechnung.
  1. Zeichnen des Vierecks ABCD und der Strecke $|\overline {BD}|$
  Viereck ABCD mit Diagonale $|\overline {BD}|$
  2. Berechnung von $|\overline {BD}|$ mithilfe Pythagoras:
  $B D^{2} = A B^{2} + A D^{2}$
  $\Rightarrow |\overline {BD}|=\sqrt {AB^2+AD^2}=\sqrt {11^2+8^2 }=\sqrt{121+64}=\sqrt {185}\: cm$
  $\bold {\Rightarrow |\overline {BD}|=13{,}60 \:cm}$
  3. Berechnung von Winkel $D C B$
  $\sphericalangle DCB=360°-\sphericalangle CBA-\sphericalangle ADC -\sphericalangle BAD$
  $⇒ \sphericalangle DCB=360°-65°-105° -90°$
  $\bold {\Rightarrow \sphericalangle DCB=100°}$
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  Zeichnung des Vierecks $A B C D$ und der Strecke $\overline{BD}$ ; Berechnung des Winkels $D C B$ und der Länge der Strecke $\overline{BD}$
2. Berechnen Sie die Längen der Strecken $\overline{DC}$ und $\overline{BC}$ . (4 P)
  $[$ Zwischenergebnis: $\sphericalangle CBD=28{,}97^\circ$ ; Teilergebnis $\vert\overline{BC}\vert=10{,}74\;\text{cm}]$
  
  geg.: $|\overline {AB}|= 11\:cm;\:|\overline {AD}|= 8\:cm; \: \sphericalangle CBA=65°; \: \sphericalangle ADC=105°;$
  $\: \sphericalangle BAD=90°; \: \sphericalangle DCB=100°;\:\overline {BD}|= 13{,}60\:cm$
  ges.: Längen der Strecken $\overline {DC}$ und $\overline {BC}$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung der Strecke $\overline {DC}$ mit Sinussatz und Tangens:
  Im Dreieck $B C D$ sind bisher nur die Strecke $\overline{BD}$ und der Winkel $\sphericalangle BCD$ bekannt.
  Daher muss zunächst eine dritte Größe berechnet werden:
  berechne den Winkel $\sphericalangle DBA$ im rechtwinkligen Dreieck $A B D$ und mit dem bekannten Winkel $\sphericalangle ADC$ den Winkel $\sphericalangle BDC$ .
  $\sphericalangle DBA$ wird berechnet mit $\tan \sphericalangle DBA =\frac{8}{11}\quad \Rightarrow \quad \sphericalangle DBA=36{,}06°$
  Somit ist $\sphericalangle CBD=\sphericalangle CBA-\sphericalangle DBA =65°-36{,}03° \Rightarrow \quad \sphericalangle CBD=28{,}97°$
  Sinussatz $\displaystyle\frac {\red a}{\sin \red α }=\frac {\blue b}{\sin \blue β }=\frac {\green c}{\sin\green γ}$ angewandt auf Dreieck $B C D$ ergibt:
  $\displaystyle\frac {|\overline {DC}|}{\sin \sphericalangle CBD }=\frac {|\overline {BD}|}{sin \sphericalangle DCB}$ $\displaystyle\quad \Rightarrow \frac {|\overline {DC}|}{\sin28{,}97^\circ }=\frac {13{,}60\text{ cm}}{\sin 100^\circ}$
  Aufgelöst nach $\overline {DC}$ ergibt das:
  $\displaystyle\bold {|\overline {DC}|} =\frac {13{,}60\: cm \cdot \sin(28{,}97^\circ)}{\sin(100^\circ)}=\frac {13{,}60 \cdot 0{,}48435}{0{,}98481}=6{,}6887 \bold {\approx 6{,}69\text{ cm}}$
  2. Berechnung der Strecke $\overline {BC}$ mit Kosinussatz:
  Zuerst wird der Winkel $\sphericalangle BDC$ mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck bestimmt:
  $\sphericalangle BDC=180^\circ-100^\circ-28{,}97^\circ=51{,}03^\circ$
  Der Kosinussatz $\red {a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c\cdot \cos\sphericalangle BDC }$ angewandt auf die Strecke $\overline {BC}$ ergibt:
  $|\overline {BC}^2|= |\overline {BD}^2|+|\overline {DC}^2|-2\cdot\overline {BD}\cdot \overline {DC} \cdot \cos\sphericalangle BDC$
  $\Rightarrow |\overline {BC}|= \sqrt {|\overline {BD}^2|+|\overline {DC}^2|-2\cdot\overline {BD}\cdot \overline {DC} \cdot \cos\sphericalangle BDC}$
  $\Rightarrow |\overline {BC}|= \sqrt {13{,}6^2+6{,}69^2-2\cdot 13{,}60 \cdot 6{,}69 \cdot \cos(51{,}03°)}$
  $\Rightarrow |\overline {BC}|= \sqrt {184{,}96+44{,}76-181{,}97 \cdot 0{,}62891}$
  $\Rightarrow \bold {|\overline {BC}|}= \sqrt {184{,}96+44{,}76-114{,}44}= \sqrt {115{,}28}=10{,}7368 \approx \bold {10{,}74 \: cm}$
  Hinweis: Diese Berechnung kannst du auch mit den bekannten Größen $|\overline{BD}|$ , $\sphericalangle DCB$ und dem Winkel $\sphericalangle BDC$ , den du wie in der Rechnung oben bestimmst und dem Sinussatz durchführen.
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  Berechne zunächst den Winkel $\sphericalangle BDA$ , um den Winkel $\sphericalangle CDB$ zu bestimmen.
  Verwende dann Sinussatz und Kosinussatz.
3. Bestimmen Sie den Flächeninhalt $A_{ABCD}$ des Vierecks $A B C D$ . (2 P)
  $[$ Ergebnis: $A_{ABCD}=79{,}37\;\text{cm}^2]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
  geg.: Wertangaben und Rechenergebnisse aus Aufgabe $B 3. a$ und $B 3. b$
  ges.: Gesamtfläche $A_{ABCD}$ bestehend aus $\triangle ABD$ und $\triangle BCD$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung der Fläche des rechtwinkligen $\triangle ABD$ :
  $A_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$ mit $g= |\overline {AB}|=11\: cm$ und $h= |\overline {AD}|=8\: cm$
  $\bold {A_{\triangle ABD}}=\frac{1}{2}\cdot 11\: cm \cdot 8 \:cm=\bold {44\:cm^2}$
  2. Berechnung der Fläche des allgemeinen $\triangle BCD$ mithilfe des Sinussatzes:
  Der Sinussatz mit zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkelmaß lautet:
  $\blue {\bold {A=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot sinγ}}$
  mit $a=|\overline {BD}|= 13{,}60\:cm;\quad b=|\overline {BC}|= 10{,}74\:cm; \quad \sin\measuredangle CBD=28{,}97°$
  $\Rightarrow \bold { A_{\triangle BCD}}=\:\frac{1}{2}\cdot 13{,}6 \cdot 10{,}74 \cdot \sin(28{,}97°)\quad =73{,}032\cdot0{,}48435\quad =\bold {35{,}37\: cm^2}$
  3. Berechnung der Gesamtfläche des Vierecks $A B C D$ :
  $\bold {A_{\square ABCD}}=A_{\triangle ABD}+A_{\triangle BCD}=44+35{,}37=\bold {79{,}37\: cm^3}$
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  Bestimmung des Flächeninhalts von Viereck $A B C D$ bestehend aus dem rechwinkligen Dreieck $A B D$ und dem allgemeinen Dreieck $B C D$
4. Der Kreis mit dem Mittelpunkt $C$ und dem Radius $r=4\;\text{cm}$ schneidet die Strecke $\overline{DC}$ im Punkt $P$ und die Strecke $\overline{BC}$ im Punkt $Q$ .
  Ergänzen Sie in der Zeichnung zu Aufgabe a) den Kreisbogen $\overset\frown{PQ}$ mit dem Mittelpunkt $C$ und die Strecke $\overline{PQ}$ . (1 P)
  
  1. Einzeichnen des Kreisbogens $\overset\frown{PQ}$ mit Radius $r=4\: cm$ um Mittelpunkt $C$ .
  2. Kreisbogen schneidet die Strecke $\overline {DC}$ in Punkt $P$ und die Strecke $\overline {BC}$ in $Q$
  Viereck ABCD mit Strecke $\overline {PQ}$ und Kreisbogen $\overset\frown{PQ}$
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  Geometrische Zeichnung anfertigen
5. Der Kreisbogen $\overset\frown{PQ}$ und die Strecke $\overline{PQ}$ begrenzen eine Figur.
  Berechnen Sie den Umfang dieser Figur. (2,5 P)
  
  geg.: Kreismittelpunkt ist Eckpunkt $C$ des Vierecks $A B C D$ ; Kreisradius ist $r=4\:cm ≙\overline {CP}≙\overline {CQ}$ ; Öffnungswinkel des Kreisbogensektors ist $∢ P C Q = 100 °$
  ges.: Kreisbogenlänge $|\overset\frown{PQ}|$ und Strecke $|\overline {PQ}|$ (=Kreissehne)
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung der Kreisbogenlänge mithilfe der Kreisbogenformel:
  $\bold {{b=\dfrac{\alpha }{360^\circ}\cdot 2\cdot π\cdot r}}\qquad$ mit $\alpha=100^\circ$ ; $\:π =3{,}14$ ; $\:r=4\:cm$
  $\Rightarrow \bold {\overset\frown{PQ}}=\dfrac{100°}{360°}\cdot 2\cdot 3{,}14\cdot 4\:cm=\bold {6{,}98\text{ cm}}$
  2. Berechnung der Strecke $|\overline {PQ}|$ mithilfe des Kosinussatzes:
  $\bold { {a^2=b^2+c^2-2 \cdot b\cdot c \cdot \cos α}}$
  mit $a= |\overline {PQ}|$ ; $\quad b=r=|\overline {CP}|= 4\: cm$ ; $\quad c=r=|\overline {CQ}|= 4\: cm$ ; $\quad \alpha=100$
  $\Rightarrow \bold {|\overline {PQ}|^2}=4^2+4^2-2⋅4⋅4⋅\cos⁡(100°)$
  $\Rightarrow \bold {|\overline {PQ}|^2}=16+16 \bold {−}32 ⋅ (\bold{−} 0{,}173648)=32 \bold {+} 5{,}5567= 37{,}5567$
  $\Rightarrow \bold {|\overline {PQ}|}=\sqrt {37{,}5567}=6{,}1283 \approx \bold {6{,}13 \: cm}$
  3. Berechnung des Umfangs der Figur (bestehend aus Kreisbogen $\overset\frown{PQ}$ und Sehne $|\overline {PQ}|$ :
  $\bold {U_{Figur}}=|\overset\frown{PQ}|+|\overline {PQ}|=6{,}98\: cm+6{,}13\: cm=\bold {13{,}11\: cm}$
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  Bestimme die Länge des Kreisbogens $\overset\frown{PQ}$ mit Winkel und Radius und die der Strecke $\overline {PQ}$ mit dem Kosinussatz.
6. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts der Figur aus e) am
  Flächeninhalt des Vierecks $A B C D$ . (3 P)
  
  Grundwissen: Kreissektorformel, Sinussatz für Dreiecksfläche, Prozentrechnung
  geg.: Öffnungswinkel des Kreissektors ist $∢ P C Q = 100 °$ ; $\quad r=4\:cm$ ;
  Kreisbogenlänge $|\overset\frown{PQ}|=6{,}98\: cm$ und Strecke $|\overline {PQ}|=6{,}13\:cm$ (Kreissehne)
  ges.: $A_{\text{Figur}}$ und %-Anteil von $A_{\text{Figur}}$ an $A_{ABCD}$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung der Fläche des Kreissektors $\bold {∢PCQ}$ mithilfe der Kreissektorformel:
  Kreissektor $∢ P C Q$ Teilfläche eines Kreises, die vom Kreisbogen $|\overset\frown{PQ}|$ und den zwei Kreisradien $r$ begrenzt wird:
  $\bold { {A_{Kreissektor∢α}=\frac{α}{360°}\cdot π\cdot r^2}}\quad$ mit $r=4\:cm$ und $\alpha =100°$
  $\bold {A_{Kreissektor∢α}}=\frac{100°}{360°}\cdot 3{,}14\cdot 4^2=\bold {13{,}95\:cm^2}$
  2. Berechnung der Dreiecksfläche von $\triangle PCQ$ mithilfe Sinussatz:
  Der Sinussatz mit zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkelmaß $\alpha$ lautet:
  $A=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin\alpha \quad$ mit $a= b=r=4\: cm$ ; $\quad \alpha$ =100°
  $\Rightarrow A_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(100°)$
  $\Rightarrow \bold {A_{\triangle PCQ}}=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4 \cdot 0{,}98481=\bold {7{,}87\:cm^2}$
  3. Berechnung der Figur (=Kreissegment) durch Subtraktion der Flächen:
  Kreissektor $∢ P C Q$ minus Dreiecksfläche von $\triangle PCQ$ :
  $\bold {A_{Figur}=A_{Kreissektor ∢\alpha}-A_{\triangle PCQ}}=13{,}95-7{,}87=6{,}08\:cm^2$
  4. Berechnung des Prozentanteils der Figur (=Kreissegment $P Q$ ) an $A_{ABCD}=79{,}37\: cm2$ (gem. Aufgabe B 3.c)
  $\displaystyle\frac{A_{Figur}}{A_{ABCD}}=\frac{6{,}08\:cm^2}{79{,}37\:cm^2}=0{,}0766$
  $\Rightarrow$ Der $% -$ Anteil der Figur am Flächeninhalt des Vierecks $A B C D$ beträgt $\bold 7{,}66 \:\%$
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  Bestimmung der Figurfläche (gebildet aus dem Kreisbogen $\overset\frown{PQ}\\$ und der Strecke $\overline {PQ}$ ); Bestimmung des %-Anteils der Figurfläche an Fläche des Vierecks $A B C D$
4
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B4
Das Drachenviereck $A B C D$ mit der Symmetrieachse $A C$ und dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist die
Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe $\overline{MS}$ .
Es gilt: $\vert\overline{AC}\vert=14\;\text{cm}$ ; $\vert\overline{CM}\vert=5\;\text{cm}$ ;
$\vert\overline{BD}\vert=12\;\text{cm}$ ; $\vert\overline{MS}\vert=10\;\text{cm}$ .
Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
  Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega=45^\circ.$
  
  Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $\overline{CS}$ und das Maß des Winkels $S C A$ . (4 P)
  $[$ Teilergebnisse: $\vert\overline{CS}\vert=11{,}18\;\text{cm}; \sphericalangle SCA=63{,}43^\circ]$
  
  Grundwissen: Drachenviereck, Pyramide, Schrägbildzeichnung
  geg.: $|\overline {AC}|=14\: cm;\quad |\overline {CM}|=5\: cm; \quad |\overline {BD}|=12\: cm; \quad |\overline {MS}|=10\: cm; \quad q=0{,}5 \:$ und $\: ω=45°$
  ges.: Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ mit $A C$ auf Schrägbildachse
  Ansatz und Rechnung:
  1. Zeichnung des Schrägbildes der Pyramide $A B C D S$ mit Schrägbildachse $\overline {AC}$ ;
  $A$ liegt links von $C$ , $\:q=\frac {1}{2}$ und $\:\omega=45°$
  $\Rightarrow |\overline {BD}|_{\text{in Zeichung}}=q\cdot12\:cm=\frac{1}{2}\cdot 12\:cm=6 \:cm$
  2. Berechnung der Länge der Strecke $|\overline {CS}|$ mit Pythagoras:
  $|\overline {CM}|^2+|\overline {MS}|^2=|\overline {CS}|^2$
  $\Rightarrow |\overline {CS}|=\sqrt {|\overline {CM}|^2+|\overline {MS}|^2}$
  $\Rightarrow \bold {|\overline {CS}|}=\sqrt {5^2+10^2}=\sqrt {25+100}=\sqrt {125}=11{,}18$
  Die Länge der Strecke $\overline{CS}$ beträgt $\bold {11{,}18\:cm}$ .
  3. Berechnung $∡ S C A$ mithilfe Tangens:
  $\displaystyle\tan\sphericalangle SCA=\frac{GK}{AK}=\frac{MS}{CM}=\frac{10\:cm}{5 \:cm}=2$
  $\bold {\sphericalangle SCA=\tan^{-1}(2)=63{,}43^\circ}$
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  Zeichnung des Schrägbildes der Pyramide $A B C D S$ .
  Markiere alle bekannten Größen in blau und die gesuchten in rot.
2. Für Punkte $P_n\in\overline{CS}$ und $T_n\in\overline{AM}$ gilt: $\vert\overline{SP_n}\vert(x)=0{,}5\cdot x\;\text{cm}$ und $\vert\overline{MT_n}\vert(x)= x\;\text{cm}$ mit $x\in \mathbb{R}$ und $0< x \leq9$ . Die Punkte $P_{n}$ sind die Spitzen von Pyramiden $T_{n} B C D P_{n}$ mit den Grundflächen $T_{n} B C D$ und den Höhen $\overline{F_nP_n}$ .
  Zeichnen Sie die Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ und die Höhe $\overline{F_1P_1}$ für $x = 7$ in das Schrägbild zu a) ein.
  Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $\overline{P_1T_1}$ . (4 P)
  
  geg.: Wertangaben aus Aufgabe B4.a:
  $\blue {|\overline {AC}|=14\: cm;\quad |\overline {CM}|=5\: cm; \quad |\overline {BD}|=12\: cm; \quad |\overline {MS}|=10\: cm;\\ q=0{,}5; \: ω=45°; \:∡SCA=63{,}43°; \:|\overline {CS}|=11{,}18\:cm}$
  zusätzliche Angaben für diese Aufgabe:
  Punkte $P_n \in \overline {CS};\: T_n \in \overline {AM};$ weiter gilt $|\overline {SP_n}|(x)=0{,}5\cdot x\:cm; |\overline {MT_n}(x)=x\: cm$
  mit $x \in R$ und $0<x\leq9$ ; $P_{n}$ sind Spitzen der Pyramide $T_{n} B C D P_{n}$ mit den Grundflächen $T_{n} B C D$ und den Höhen $\overline {F_n P_n}$
  ges.: Schrägbild der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ mit $A C$ auf Schrägbildachse und
  $h=\overline {F_1 P_1}$ für $x = 7$ ; Länge der Strecke $\overline {P_1T_1}$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Einzeichnen der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ und der Höhe $\overline {F_1 P_1}$ für $x = 7$ :
  Berechnung $|\overline {SP_1}|(x=7)=0{,}5\cdot 7\:cm=3{,}5\: cm$ ; $\quad P_1$ einzeichnen
  Berechnung $|\overline {MT_1}|(x=7)=7\:cm$ ; $\quad T_1$ einzeichnen
  Eckpunkte der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ verbinden
  Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ und Höhe $\overline {F_1 P_1}$ für $x = 7$
  2. Berechnung der Länge der Strecke $\overline {P_1T_1}$ mithilfe des Kosinussatzes:
  Kosinussatz: $\blue {\bold {a^2=b^2+c^2-2 \cdot b\cdot c \cdot cosα}}$
  mit $a= |\overline {P_1T_1}|; \quad b=|\overline {CP_1}|; \quad c=|\overline {CT_1}|; \quad \alpha=63{,}43°$
  $\Rightarrow \bold {|\overline {P_1T_1}|^2=|\overline {CP_1}|^2 + |\overline {CT_1}|^2-2\cdot |\overline {CP_1}\cdot|\overline {CT_1}| \cdot cos \sphericalangle SCA}$
  Werte von⋅ $|\overline {CP_1}|$ und $|\overline {CT_1}|$ berechnen:
  $|\overline {CP_1}|=|\overline {CS}|-|\overline {SP_1}|=11{,}18\: cm-3{,}5\: cm=7{,}68\: cm$
  $|\overline {CT_1}|=|\overline {CM}|+|\overline {MT_1}|=5\: cm+7\: cm=12\: cm$
  Werte in Formel einsetzen und Strecke berechnen:
  $\Rightarrow {|\overline {P_1T_1}|^2}=7{,}68^2 + 12^2-2\cdot 7{,}68\cdot12 \cdot cos (63{,}43°)$
  $\qquad\qquad\quad =58.98 + 144-184{,}32 \cdot 0{,}4473$
  $\qquad\qquad\quad=202{,}98-82{,}45$
  $\qquad\qquad\quad=120{,}53$
  $\Rightarrow \bold {{|\overline {P_1T_1}|}}=\sqrt {120{,}53}=10{,}9786$
  Die Länge von $\bold {\overline{P_1T_1}}$ beträgt $\bold {10{,}98\:cm}$
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  Einzeichnen der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ und der Höhe $\overline {F_1P_1}$ für $x = 7$ in rot in das Schrägbild, Berechnung der Streckenlänge von $\overline {P_1T_1}$
3. Bestimmen Sie durch Rechnung, um wie viel Prozent das Volumen der
  Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $A B C D S$ . (4 P)
  $[$ Zwischenergebnis: $\vert\overline{F_1P_1}\vert=6{,}87\;\text{cm}]$
  
  geg.: Wertangaben siehe Aufgabe B4.a und b
  ges.: %-Anteil des Volumens von $T_{1} B C D P_{1}$ an $A B C D S$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Berechnung des Volumens der Pyramide $A B C D S$ mit der Grundfläche eines Drachenvierecks:
  Das Volumen einer Pyramide ist $\bold {V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h}$
  Die Grundfläche der Pyramide ist ein Drachenviereck, also gilt $\bold { {G_{ABCD}=\frac {1}{2}\cdot e\cdot f}}$
  hierbei sind $e≙ |\overline {AC}|= 14\:cm;\quad f≙ |\overline {BD}|= 12\:cm;\quad h≙ |\overline {MS}|= 10\:cm;$
  $\Rightarrow \bold {V_{ABCDS}=\frac{1}{3}\cdot G_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot e\cdot f\cdot h}$
  $\qquad \qquad \quad ={\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 14\cdot 12\cdot 10\:cm^3}$
  $\Rightarrow \bold {V_{ABCDS}}=\bold {280\: cm^3}$
  2. Berechnung des Volumens der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ :
  $\Rightarrow \bold {V_{T_1BCDP_1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot e\cdot f\cdot h}$
  hierbei sind $e≙ |\overline {CT_1}|= 12\:cm;\quad f≙ |\overline {BD}|= 12\:cm;$
  $h=|\overline{F_1P_1}|$ errechnet man aus $|\overline{CP_1}|=7{,}68\:cm$ und dem Sinus aus $∡ S C A = 63, 43 °$
  $\displaystyle\sin∡SCA=\frac {|\overline{F_1P_1}|}{|\overline{CP_1}|}$ ; nach Umformung $\Rightarrow |\overline{F_1P_1}|=sin∡SCA\cdot{|\overline{CP_1}|}$
  $\Rightarrow |\overline{F_1P_1}|=\sin(63{,}43°)\cdot7{,}86=0{,}8943\cdot7{,}68=6{,}8689\:\approx {6{,}87\:cm}$
  $\Rightarrow \bold {V_{T_1BCDP_1}=\frac {1}{3}\cdot \frac {1}{2}\cdot 12\cdot 12\cdot 6{,}78=164{,}88\:cm^3}$
  3. Berechnung des %-Anteils des Volumens von $T_{1} B C D P_{1}$ an $A B C D S$ :
  $\displaystyle {\frac {V_{ABCDS}}{V_{ABCDS}}}-{\frac {V_{T_1BCDP_1}}{V_{ABCDS}}}=\frac {280}{280}-\frac {164{,}88}{280}=1-0{,}5888\:=\bold {\:41{,}11\:\%}$
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  Berechnung der Volumina der Pyramiden $T_{1} B C D P_{1}$ und $A B C D S$ und anschließender Vergleich ihrer prozentualen Anteile
4. Für die Pyramide $T_{2} B C D P_{2}$ gilt: $\vert\overline{CP_2}\vert=\vert\overline{CT_2}\vert$ .
  Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungen
  geg.: Für die Pyramide $T_{2} B C D P_{2}$ gilt $|\overline {CP_2}|=|\overline {CT_2}|$
  ges.: zugehöriger $x -$ Wert für $|\overline {CP_2}|$ und $|\overline {CT_2}|$
  Ansatz und Rechnung:
  1. Aufstellung der Gleichungen für die Strecken $|\overline {CP_2}|$ und $|\overline {CT_2}|$ :
  Analog zu $|\overline {SP_n}|(x)=0{,}5\cdot x \: cm$ und $|\overline {MT_n}|(x)= x \: cm$ gilt dann
  $|\overline {SP_2}|(x)= 0{,}5\cdot x \: cm$ und $|\overline {MT_2}|(x)= x \: cm$
  $\Rightarrow |\overline {CP_2}|= |\overline {CS}|-|\overline {SP_2}|=11{,}18\:cm -0{,}5\cdot x$
  $\Rightarrow |\overline {CT_2}|= |\overline {CM}|+|\overline {MT_2}|(x)=5\:cm + x$
  2. Vergleich der Strecken und Berechnung der Unbekannten $x$ :
  $11{,}18\:cm-0{,}5\cdot x=5\:cm+x\qquad mit x\in R;\quad 0<x\leq 9$
  Umformen und nach x auflösen:
  $\Rightarrow 11{,}18 \: cm -5\:cm=0{,}5\cdot x+x$
  $\Rightarrow 6{,}18 \: cm =1{,}5\cdot x$
  $\Rightarrow x=\frac{6{,}18\:cm}{1{,}5}=4{,}12\:cm$
  Der zugehörige $\bold x-$ Wert ist $\bold {4{,}12\: cm}$
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  Aufstellen der Gleichungen für zwei Strecken und Berechnung der Unbekannten x
5. In der Pyramide $T_{3} B C D P_{3}$ hat der Winkel $B T_{3} D$ das Maß $90^\circ$ .
  Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für $x$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Thaleskreis
  geg.: In der Pyramide $T_{3} B C D P_{3}$ gilt $∡ B T_{3} D = 90 °$
  ges.: zugehöriger $x -$ Wert für $|\overline {MT_3}|$
  Ansatz und Rechnung:
  Alle Dreiecke $B T_{3} D$ werden von einem Halbkreis umschrieben und sind somit rechtwinklig: $\Rightarrow$ Der Punkt $T_{3}$ liegt auf dem Thaleskreis über $\overline {BD}$ .
  Daher gilt:
  $|\overline {MT_3}|=|\overline {BM}|=|\overline {DM}|=r_{\text{Thaleskreis}}=\frac{1}{2}\cdot |\overline {BD}|=\frac{1}{2}\cdot 12\:cm=6\:cm$
  $\Rightarrow$ Der x-Wert ist also 6
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  Geometrische Analyse