Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B4

Das Drachenviereck $A B C D$ mit der Symmetrieachse $A C$ und dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist die

Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe $\overline{MS}$ .

Es gilt: $\vert\overline{AC}\vert=14\;\text{cm}$ ; $\vert\overline{CM}\vert=5\;\text{cm}$ ;

$\vert\overline{BD}\vert=12\;\text{cm}$ ; $\vert\overline{MS}\vert=10\;\text{cm}$ .

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega=45^\circ.$

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $\overline{CS}$ und das Maß des Winkels $S C A$ . (4 P)
$[$ Teilergebnisse: $\vert\overline{CS}\vert=11{,}18\;\text{cm}; \sphericalangle SCA=63{,}43^\circ]$

Grundwissen: Drachenviereck, Pyramide, Schrägbildzeichnung
geg.: $|\overline {AC}|=14\: cm;\quad |\overline {CM}|=5\: cm; \quad |\overline {BD}|=12\: cm; \quad |\overline {MS}|=10\: cm; \quad q=0{,}5 \:$ und $\: ω=45°$
ges.: Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ mit $A C$ auf Schrägbildachse
Ansatz und Rechnung:
1. Zeichnung des Schrägbildes der Pyramide $A B C D S$ mit Schrägbildachse $\overline {AC}$ ;
$A$ liegt links von $C$ , $\:q=\frac {1}{2}$ und $\:\omega=45°$
$\Rightarrow |\overline {BD}|_{\text{in Zeichung}}=q\cdot12\:cm=\frac{1}{2}\cdot 12\:cm=6 \:cm$
2. Berechnung der Länge der Strecke $|\overline {CS}|$ mit Pythagoras:
$|\overline {CM}|^2+|\overline {MS}|^2=|\overline {CS}|^2$
$\Rightarrow |\overline {CS}|=\sqrt {|\overline {CM}|^2+|\overline {MS}|^2}$
$\Rightarrow \bold {|\overline {CS}|}=\sqrt {5^2+10^2}=\sqrt {25+100}=\sqrt {125}=11{,}18$
Die Länge der Strecke $\overline{CS}$ beträgt $\bold {11{,}18\:cm}$ .
3. Berechnung $∡ S C A$ mithilfe Tangens:
$\displaystyle\tan\sphericalangle SCA=\frac{GK}{AK}=\frac{MS}{CM}=\frac{10\:cm}{5 \:cm}=2$
$\bold {\sphericalangle SCA=\tan^{-1}(2)=63{,}43^\circ}$
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Zeichnung des Schrägbildes der Pyramide $A B C D S$ .
Markiere alle bekannten Größen in blau und die gesuchten in rot.
Für Punkte $P_n\in\overline{CS}$ und $T_n\in\overline{AM}$ gilt: $\vert\overline{SP_n}\vert(x)=0{,}5\cdot x\;\text{cm}$ und $\vert\overline{MT_n}\vert(x)= x\;\text{cm}$ mit $x\in \mathbb{R}$ und $0< x \leq9$ . Die Punkte $P_{n}$ sind die Spitzen von Pyramiden $T_{n} B C D P_{n}$ mit den Grundflächen $T_{n} B C D$ und den Höhen $\overline{F_nP_n}$ .
Zeichnen Sie die Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ und die Höhe $\overline{F_1P_1}$ für $x = 7$ in das Schrägbild zu a) ein.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $\overline{P_1T_1}$ . (4 P)
geg.: Wertangaben aus Aufgabe B4.a:
$\blue {|\overline {AC}|=14\: cm;\quad |\overline {CM}|=5\: cm; \quad |\overline {BD}|=12\: cm; \quad |\overline {MS}|=10\: cm;\\ q=0{,}5; \: ω=45°; \:∡SCA=63{,}43°; \:|\overline {CS}|=11{,}18\:cm}$
zusätzliche Angaben für diese Aufgabe:
Punkte $P_n \in \overline {CS};\: T_n \in \overline {AM};$ weiter gilt $|\overline {SP_n}|(x)=0{,}5\cdot x\:cm; |\overline {MT_n}(x)=x\: cm$
mit $x \in R$ und $0<x\leq9$ ; $P_{n}$ sind Spitzen der Pyramide $T_{n} B C D P_{n}$ mit den Grundflächen $T_{n} B C D$ und den Höhen $\overline {F_n P_n}$
ges.: Schrägbild der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ mit $A C$ auf Schrägbildachse und
$h=\overline {F_1 P_1}$ für $x = 7$ ; Länge der Strecke $\overline {P_1T_1}$
Ansatz und Rechnung:
1. Einzeichnen der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ und der Höhe $\overline {F_1 P_1}$ für $x = 7$ :
Berechnung $|\overline {SP_1}|(x=7)=0{,}5\cdot 7\:cm=3{,}5\: cm$ ; $\quad P_1$ einzeichnen
Berechnung $|\overline {MT_1}|(x=7)=7\:cm$ ; $\quad T_1$ einzeichnen
Eckpunkte der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ verbinden
Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ und Höhe $\overline {F_1 P_1}$ für $x = 7$
2. Berechnung der Länge der Strecke $\overline {P_1T_1}$ mithilfe des Kosinussatzes:
Kosinussatz: $\blue {\bold {a^2=b^2+c^2-2 \cdot b\cdot c \cdot cosα}}$
mit $a= |\overline {P_1T_1}|; \quad b=|\overline {CP_1}|; \quad c=|\overline {CT_1}|; \quad \alpha=63{,}43°$
$\Rightarrow \bold {|\overline {P_1T_1}|^2=|\overline {CP_1}|^2 + |\overline {CT_1}|^2-2\cdot |\overline {CP_1}\cdot|\overline {CT_1}| \cdot cos \sphericalangle SCA}$
Werte von⋅ $|\overline {CP_1}|$ und $|\overline {CT_1}|$ berechnen:
$|\overline {CP_1}|=|\overline {CS}|-|\overline {SP_1}|=11{,}18\: cm-3{,}5\: cm=7{,}68\: cm$
$|\overline {CT_1}|=|\overline {CM}|+|\overline {MT_1}|=5\: cm+7\: cm=12\: cm$
Werte in Formel einsetzen und Strecke berechnen:
$\Rightarrow {|\overline {P_1T_1}|^2}=7{,}68^2 + 12^2-2\cdot 7{,}68\cdot12 \cdot cos (63{,}43°)$
$\qquad\qquad\quad =58.98 + 144-184{,}32 \cdot 0{,}4473$
$\qquad\qquad\quad=202{,}98-82{,}45$
$\qquad\qquad\quad=120{,}53$
$\Rightarrow \bold {{|\overline {P_1T_1}|}}=\sqrt {120{,}53}=10{,}9786$
Die Länge von $\bold {\overline{P_1T_1}}$ beträgt $\bold {10{,}98\:cm}$
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Einzeichnen der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ und der Höhe $\overline {F_1P_1}$ für $x = 7$ in rot in das Schrägbild, Berechnung der Streckenlänge von $\overline {P_1T_1}$
Bestimmen Sie durch Rechnung, um wie viel Prozent das Volumen der
Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $A B C D S$ . (4 P)
$[$ Zwischenergebnis: $\vert\overline{F_1P_1}\vert=6{,}87\;\text{cm}]$

geg.: Wertangaben siehe Aufgabe B4.a und b
ges.: %-Anteil des Volumens von $T_{1} B C D P_{1}$ an $A B C D S$
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung des Volumens der Pyramide $A B C D S$ mit der Grundfläche eines Drachenvierecks:
Das Volumen einer Pyramide ist $\bold {V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h}$
Die Grundfläche der Pyramide ist ein Drachenviereck, also gilt $\bold { {G_{ABCD}=\frac {1}{2}\cdot e\cdot f}}$
hierbei sind $e≙ |\overline {AC}|= 14\:cm;\quad f≙ |\overline {BD}|= 12\:cm;\quad h≙ |\overline {MS}|= 10\:cm;$
$\Rightarrow \bold {V_{ABCDS}=\frac{1}{3}\cdot G_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot e\cdot f\cdot h}$
$\qquad \qquad \quad ={\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 14\cdot 12\cdot 10\:cm^3}$
$\Rightarrow \bold {V_{ABCDS}}=\bold {280\: cm^3}$
2. Berechnung des Volumens der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ :
$\Rightarrow \bold {V_{T_1BCDP_1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot e\cdot f\cdot h}$
hierbei sind $e≙ |\overline {CT_1}|= 12\:cm;\quad f≙ |\overline {BD}|= 12\:cm;$
$h=|\overline{F_1P_1}|$ errechnet man aus $|\overline{CP_1}|=7{,}68\:cm$ und dem Sinus aus $∡ S C A = 63, 43 °$
$\displaystyle\sin∡SCA=\frac {|\overline{F_1P_1}|}{|\overline{CP_1}|}$ ; nach Umformung $\Rightarrow |\overline{F_1P_1}|=sin∡SCA\cdot{|\overline{CP_1}|}$
$\Rightarrow |\overline{F_1P_1}|=\sin(63{,}43°)\cdot7{,}86=0{,}8943\cdot7{,}68=6{,}8689\:\approx {6{,}87\:cm}$
$\Rightarrow \bold {V_{T_1BCDP_1}=\frac {1}{3}\cdot \frac {1}{2}\cdot 12\cdot 12\cdot 6{,}78=164{,}88\:cm^3}$
3. Berechnung des %-Anteils des Volumens von $T_{1} B C D P_{1}$ an $A B C D S$ :
$\displaystyle {\frac {V_{ABCDS}}{V_{ABCDS}}}-{\frac {V_{T_1BCDP_1}}{V_{ABCDS}}}=\frac {280}{280}-\frac {164{,}88}{280}=1-0{,}5888\:=\bold {\:41{,}11\:\%}$
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Berechnung der Volumina der Pyramiden $T_{1} B C D P_{1}$ und $A B C D S$ und anschließender Vergleich ihrer prozentualen Anteile
Für die Pyramide $T_{2} B C D P_{2}$ gilt: $\vert\overline{CP_2}\vert=\vert\overline{CT_2}\vert$ .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungen
geg.: Für die Pyramide $T_{2} B C D P_{2}$ gilt $|\overline {CP_2}|=|\overline {CT_2}|$
ges.: zugehöriger $x -$ Wert für $|\overline {CP_2}|$ und $|\overline {CT_2}|$
Ansatz und Rechnung:
1. Aufstellung der Gleichungen für die Strecken $|\overline {CP_2}|$ und $|\overline {CT_2}|$ :
Analog zu $|\overline {SP_n}|(x)=0{,}5\cdot x \: cm$ und $|\overline {MT_n}|(x)= x \: cm$ gilt dann
$|\overline {SP_2}|(x)= 0{,}5\cdot x \: cm$ und $|\overline {MT_2}|(x)= x \: cm$
$\Rightarrow |\overline {CP_2}|= |\overline {CS}|-|\overline {SP_2}|=11{,}18\:cm -0{,}5\cdot x$
$\Rightarrow |\overline {CT_2}|= |\overline {CM}|+|\overline {MT_2}|(x)=5\:cm + x$
2. Vergleich der Strecken und Berechnung der Unbekannten $x$ :
$11{,}18\:cm-0{,}5\cdot x=5\:cm+x\qquad mit x\in R;\quad 0<x\leq 9$
Umformen und nach x auflösen:
$\Rightarrow 11{,}18 \: cm -5\:cm=0{,}5\cdot x+x$
$\Rightarrow 6{,}18 \: cm =1{,}5\cdot x$
$\Rightarrow x=\frac{6{,}18\:cm}{1{,}5}=4{,}12\:cm$
Der zugehörige $\bold x-$ Wert ist $\bold {4{,}12\: cm}$
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Aufstellen der Gleichungen für zwei Strecken und Berechnung der Unbekannten x
In der Pyramide $T_{3} B C D P_{3}$ hat der Winkel $B T_{3} D$ das Maß $90^\circ$ .
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für $x$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Thaleskreis
geg.: In der Pyramide $T_{3} B C D P_{3}$ gilt $∡ B T_{3} D = 90 °$
ges.: zugehöriger $x -$ Wert für $|\overline {MT_3}|$
Ansatz und Rechnung:
Alle Dreiecke $B T_{3} D$ werden von einem Halbkreis umschrieben und sind somit rechtwinklig: $\Rightarrow$ Der Punkt $T_{3}$ liegt auf dem Thaleskreis über $\overline {BD}$ .
Daher gilt:
$|\overline {MT_3}|=|\overline {BM}|=|\overline {DM}|=r_{\text{Thaleskreis}}=\frac{1}{2}\cdot |\overline {BD}|=\frac{1}{2}\cdot 12\:cm=6\:cm$
$\Rightarrow$ Der x-Wert ist also 6
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Geometrische Analyse

Aufgabe B4

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