Grundwissen: Drachenviereck, Pyramide, Schrägbildzeichnung

geg.: $|\overline{AC}|=14cm;|\overline{CM}|=5cm;|\overline{BD}|=12cm;|\overline{MS}|=10cm;q=\mathrm{0,5}$und $\omega =45°$

ges.: Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ mit $AC$ auf Schrägbildachse

Ansatz und Rechnung:

1. Zeichnung des Schrägbildes der Pyramide $ABCDS$ mit Schrägbildachse $\overline{AC}$;

$A$ liegt links von $C$, $q=\frac{1}{2}$ und $\omega =45°$

$\Rightarrow |\overline{BD}{|}_{\text{in Zeichung}}=q\cdot 12cm=\frac{1}{2}\cdot 12cm=6cm$

2. Berechnung der Länge der Strecke $|\overline{CS}|$ mit Pythagoras:

$|\overline{CM}{|}^2+|\overline{MS}{|}^2=|\overline{CS}{|}^2$

$\Rightarrow |\overline{CS}|=\sqrt{|\overline{CM}{|}^2+|\overline{MS}{|}^2}$

$\Rightarrow |\overline{𝐂𝐒}|=\sqrt{5^2+{10}^2}=\sqrt{25+100}=\sqrt{125}=\mathrm{11,18}$

Die Länge der Strecke $\overline{CS}$ beträgt $\mathrm{𝟏𝟏,𝟏𝟖}𝐜𝐦$.

3. Berechnung $\measuredangle SCA$ mithilfe Tangens:

$${\displaystyle \tan \sphericalangle SCA=\frac{GK}{AK}=\frac{MS}{CM}=\frac{10cm}{5cm}=2}$$

$\sphericalangle 𝐒𝐂𝐀={\tan }^{-\mathrm{𝟏}}(\mathrm{𝟐})={\mathrm{𝟔𝟑,𝟒𝟑}}^{\circ }$

geg.: Wertangaben aus Aufgabe B4.a:

$\text{blue}|\overline{AC}|=14cm;|\overline{CM}|=5cm;|\overline{BD}|=12cm;|\overline{MS}|=10cm;q=\mathrm{0,5};\omega =45°;\measuredangle SCA=\mathrm{63,43}°;|\overline{CS}|=\mathrm{11,18}cm$

zusätzliche Angaben für diese Aufgabe:

Punkte $P_n\in \overline{CS};T_n\in \overline{AM};$ weiter gilt $|\overline{S{P}_n}|(x)=\mathrm{0,5}\cdot xcm;|\overline{M{T}_n}(x)=xcm$

mit $x\in R$ und $0<x\le 9$; $P_n$ sind Spitzen der Pyramide $T_{n}BCD{P}_n$ mit den Grundflächen $T_{n}BCD$ und den Höhen $\overline{F_n{P}_n}$

ges.: Schrägbild der Pyramide $T_{1}BCD{P}_1$ mit $AC$ auf Schrägbildachse und

$h=\overline{F_1{P}_1}$ für $x=7$; Länge der Strecke $\overline{P_1{T}_1}$

Ansatz und Rechnung:

1. Einzeichnen der Pyramide $T_{1}BCD{P}_1$ und der Höhe $\overline{F_1{P}_1}$ für $x=7$:

• Berechnung $|\overline{S{P}_1}|(x=7)=\mathrm{0,5}\cdot 7cm=\mathrm{3,5}cm$; $P_1$ einzeichnen

• Berechnung $|\overline{M{T}_1}|(x=7)=7cm$; $T_1$ einzeichnen

• Eckpunkte der Pyramide $T_{1}BCD{P}_1$ verbinden

2. Berechnung der Länge der Strecke $\overline{P_1{T}_1}$ mithilfe des Kosinussatzes:

Kosinussatz: $\text{blue}{𝐚}^{\mathrm{𝟐}}={𝐛}^{\mathrm{𝟐}}+{𝐜}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟐}\cdot 𝐛\cdot 𝐜\cdot 𝐜𝐨𝐬𝛂$

mit $a=|\overline{P_1{T}_1}|;b=|\overline{C{P}_1}|;c=|\overline{C{T}_1}|;\alpha =\mathrm{63,43}°$

$\Rightarrow |\overline{{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}{𝐓}_{\mathrm{𝟏}}}{|}^{\mathrm{𝟐}}=|\overline{𝐂{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}}{|}^{\mathrm{𝟐}}+|\overline{𝐂{𝐓}_{\mathrm{𝟏}}}{|}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟐}\cdot |\overline{𝐂{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}}\cdot |\overline{𝐂{𝐓}_{\mathrm{𝟏}}}|\cdot 𝐜𝐨𝐬\sphericalangle 𝐒𝐂𝐀$

Werte von⋅$|\overline{C{P}_1}|$ und $|\overline{C{T}_1}|$ berechnen:

• $|\overline{C{P}_1}|=|\overline{CS}|-|\overline{S{P}_1}|=\mathrm{11,18}cm-\mathrm{3,5}cm=\mathrm{7,68}cm$

• $|\overline{C{T}_1}|=|\overline{CM}|+|\overline{M{T}_1}|=5cm+7cm=12cm$

Werte in Formel einsetzen und Strecke berechnen:

$\Rightarrow |\overline{P_1{T}_1}{|}^2={\mathrm{7,68}}^2+{12}^2-2\cdot \mathrm{7,68}\cdot 12\cdot cos(\mathrm{63,43}°)$

$=58.98+144-\mathrm{184,32}\cdot \mathrm{0,4473}$

$=\mathrm{202,98}-\mathrm{82,45}$

$=\mathrm{120,53}$

$\Rightarrow |\overline{{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}{𝐓}_{\mathrm{𝟏}}}|=\sqrt{\mathrm{120,53}}=\mathrm{10,9786}$

Die Länge von $\overline{{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}{𝐓}_{\mathrm{𝟏}}}$ beträgt $\mathrm{𝟏𝟎,𝟗𝟖}𝐜𝐦$

geg.: Wertangaben siehe Aufgabe B4.a und b

ges.: %-Anteil des Volumens von $T_{1}BCD{P}_1$ an $ABCDS$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung des Volumens der Pyramide $ABCDS$ mit der Grundfläche eines Drachenvierecks:

Das Volumen einer Pyramide ist $𝐕=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot 𝐆\cdot 𝐡$

Die Grundfläche der Pyramide ist ein Drachenviereck, also gilt ${𝐆}_{𝐀𝐁𝐂𝐃}=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\cdot 𝐞\cdot 𝐟$

hierbei sind $e\stackrel{\wedge}{=}|\overline{AC}|=14cm;f\stackrel{\wedge}{=}|\overline{BD}|=12cm;h\stackrel{\wedge}{=}|\overline{MS}|=10cm;$

$\Rightarrow {𝐕}_{𝐀𝐁𝐂𝐃𝐒}=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot {𝐆}_{𝐀𝐁𝐂𝐃}\cdot 𝐡=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot \frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\cdot 𝐞\cdot 𝐟\cdot 𝐡$

$=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 14\cdot 12\cdot 10c{m}^3$

$\Rightarrow {𝐕}_{𝐀𝐁𝐂𝐃𝐒}=\mathrm{𝟐𝟖𝟎}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟑}}$

2. Berechnung des Volumens der Pyramide $T_{1}BCD{P}_1$:

$\Rightarrow {𝐕}_{{𝐓}_{\mathrm{𝟏}}𝐁𝐂𝐃{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}}=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot \frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\cdot 𝐞\cdot 𝐟\cdot 𝐡$

hierbei sind $e\stackrel{\wedge}{=}|\overline{C{T}_1}|=12cm;f\stackrel{\wedge}{=}|\overline{BD}|=12cm;$

$h=|\overline{F_1{P}_1}|$ errechnet man aus $|\overline{C{P}_1}|=\mathrm{7,68}cm$ und dem Sinus aus $\measuredangle SCA=\mathrm{63,43}°$

$${\displaystyle \sin \measuredangle SCA=\frac{|\overline{F_1{P}_1}|}{|\overline{C{P}_1}|}}$$; nach Umformung $\Rightarrow |\overline{F_1{P}_1}|=sin\measuredangle SCA\cdot |\overline{C{P}_1}|$

$\Rightarrow |\overline{F_1{P}_1}|=\sin (\mathrm{63,43}°)\cdot \mathrm{7,86}=\mathrm{0,8943}\cdot \mathrm{7,68}=\mathrm{6,8689}\approx \mathrm{6,87}cm$

$\Rightarrow {𝐕}_{{𝐓}_{\mathrm{𝟏}}𝐁𝐂𝐃{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}}=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot \frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\cdot \mathrm{𝟏𝟐}\cdot \mathrm{𝟏𝟐}\cdot \mathrm{𝟔,𝟕𝟖}=\mathrm{𝟏𝟔𝟒,𝟖𝟖}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟑}}$

3. Berechnung des %-Anteils des Volumens von $T_{1}BCD{P}_1$ an $ABCDS$:

$${\displaystyle \frac{V_{ABCDS}}{V_{ABCDS}}-\frac{V_{T_{1}BCD{P}_1}}{V_{ABCDS}}=\frac{280}{280}-\frac{\mathrm{164,88}}{280}=1-\mathrm{0,5888}=\mathrm{𝟒𝟏,𝟏𝟏}\%}$$

geg.: Für die Pyramide $T_{2}BCD{P}_2$ gilt $|\overline{C{P}_2}|=|\overline{C{T}_2}|$

ges.: zugehöriger $x-$Wert für $|\overline{C{P}_2}|$ und $|\overline{C{T}_2}|$

Ansatz und Rechnung:

1. Aufstellung der Gleichungen für die Strecken $|\overline{C{P}_2}|$ und $|\overline{C{T}_2}|$:

Analog zu $|\overline{S{P}_n}|(x)=\mathrm{0,5}\cdot xcm$ und $|\overline{M{T}_n}|(x)=xcm$ gilt dann

$|\overline{S{P}_2}|(x)=\mathrm{0,5}\cdot xcm$ und $|\overline{M{T}_2}|(x)=xcm$

$\Rightarrow |\overline{C{P}_2}|=|\overline{CS}|-|\overline{S{P}_2}|=\mathrm{11,18}cm-\mathrm{0,5}\cdot x$

$\Rightarrow |\overline{C{T}_2}|=|\overline{CM}|+|\overline{M{T}_2}|(x)=5cm+x$

2. Vergleich der Strecken und Berechnung der Unbekannten $x$:

$\mathrm{11,18}cm-\mathrm{0,5}\cdot x=5cm+xmitx\in R;0<x\le 9$

Umformen und nach x auflösen:

$\Rightarrow \mathrm{11,18}cm-5cm=\mathrm{0,5}\cdot x+x$

$\Rightarrow \mathrm{6,18}cm=\mathrm{1,5}\cdot x$

$\Rightarrow x=\frac{\mathrm{6,18}cm}{\mathrm{1,5}}=\mathrm{4,12}cm$

Der zugehörige $𝐱-$Wert ist $\mathrm{𝟒,𝟏𝟐}𝐜𝐦$

geg.: In der Pyramide $T_{3}BCD{P}_3$ gilt $\measuredangle B{T}_{3}D=90°$

ges.: zugehöriger $x-$Wert für $|\overline{M{T}_3}|$

Ansatz und Rechnung:

Alle Dreiecke $B{T}_{3}D$ werden von einem Halbkreis umschrieben und sind somit rechtwinklig: $\Rightarrow$ Der Punkt $T_3$ liegt auf dem Thaleskreis über $\overline{BD}$.

Daher gilt:

$|\overline{M{T}_3}|=|\overline{BM}|=|\overline{DM}|=r_{\text{Thaleskreis}}=\frac{1}{2}\cdot |\overline{BD}|=\frac{1}{2}\cdot 12cm=6cm$

$\Rightarrow$ Der x-Wert ist also 6