Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung der Strecke D C ⟠\overline {DC}D C mit Sinussatz und Tangens:
Im Dreieck B C D BCDBC D sind bisher nur die Strecke B D ⟠\overline{BD}B D und der Winkel âą B C D \sphericalangle BCDâą BC D bekannt.
Daher muss zunĂ€chst eine dritte GröĂe berechnet werden:
berechne den Winkel âą D B A \sphericalangle DBAâą D B A im rechtwinkligen Dreieck A B D ABDA B D und mit dem bekannten Winkel âą A D C \sphericalangle ADCâą A D C den Winkel âą B D C \sphericalangle BDCâą B D C .
âą D B A \sphericalangle DBAâą D B A wird berechnet mit tan ⥠⹠D B A = 8 11 â âą D B A = 36,06 ° \tan \sphericalangle DBA =\frac{8}{11}\quad \Rightarrow \quad \sphericalangle DBA=36{,}06°tan âą D B A = 11 8 â â âą D B A = 36 , 06°
Somit ist âą C B D = âą C B A â âą D B A = 65 ° â 36,03 ° â âą C B D = 28,97 ° \sphericalangle CBD=\sphericalangle CBA-\sphericalangle DBA =65°-36{,}03° \Rightarrow \quad \sphericalangle CBD=28{,}97°⹠CB D = âą CB A â âą D B A = 65° â 36 , 03° â âą CB D = 28 , 97°
Sinussatz a sin ⥠α = b sin ⥠ÎČ = c sin ⥠γ \displaystyle\frac {\red a}{\sin \red α }=\frac {\blue b}{\sin \blue ÎČ }=\frac {\green c}{\sin\green Îł}sin α a â = sin ÎČ b â = sin Îł c â angewandt auf Dreieck B C D BCDBC D ergibt:
⣠D C âŸ âŁ sin ⥠⹠C B D = ⣠B D âŸ âŁ s i n âą D C B \displaystyle\frac {|\overline {DC}|}{\sin \sphericalangle CBD }=\frac {|\overline {BD}|}{sin \sphericalangle DCB}sin âą CB D ⣠D C ⣠â = s in âą D CB ⣠B D ⣠â â ⣠D C âŸ âŁ sin ⥠28,97 â = 13,60 cm sin ⥠100 â \displaystyle\quad \Rightarrow \frac {|\overline {DC}|}{\sin28{,}97^\circ }=\frac {13{,}60\text{ cm}}{\sin 100^\circ}â sin 28 , 9 7 â ⣠D C ⣠â = sin 10 0 â 13 , 60 cm â
Aufgelöst nach D C ⟠\overline {DC}D C ergibt das:
⣠D C âŸ âŁ = 13,60 â
c m â
sin ⥠( 28,97 â ) sin ⥠( 100 â ) = 13,60 â
0,48435 0,98481 = 6,6887 â 6,69 cm \displaystyle\bold {|\overline {DC}|} =\frac {13{,}60\: cm \cdot \sin(28{,}97^\circ)}{\sin(100^\circ)}=\frac {13{,}60 \cdot 0{,}48435}{0{,}98481}=6{,}6887 \bold {\approx 6{,}69\text{ cm}}⣠DC ⣠= sin ( 10 0 â ) 13 , 60 c m â
sin ( 28 , 9 7 â ) â = 0 , 98481 13 , 60 â
0 , 48435 â = 6 , 6887 â 6 , 69 cm
2. Berechnung der Strecke B C ⟠\overline {BC}BC mit Kosinussatz:
Zuerst wird der Winkel âą B D C \sphericalangle BDC âą B D C mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck bestimmt:
âą B D C = 180 â â 100 â â 28,97 â = 51,03 â \sphericalangle BDC=180^\circ-100^\circ-28{,}97^\circ=51{,}03^\circâą B D C = 18 0 â â 10 0 â â 28 , 9 7 â = 51 , 0 3 â
Der Kosinussatz a 2 = b 2 + c 2 â 2 â
b â
c â
cos ⥠⹠B D C \red {a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c\cdot \cos\sphericalangle BDC }a 2 = b 2 + c 2 â 2 â
b â
c â
c o s âą B D C angewandt auf die Strecke B C ⟠\overline {BC}BC ergibt:
⣠B C ⟠2 ⣠= ⣠B D ⟠2 ⣠+ ⣠D C ⟠2 ⣠â 2 â
B D ⟠â
D C ⟠â
cos ⥠⹠B D C |\overline {BC}^2|= |\overline {BD}^2|+|\overline {DC}^2|-2\cdot\overline {BD}\cdot \overline {DC} \cdot \cos\sphericalangle BDC⣠BC 2 ⣠= ⣠B D 2 ⣠+ ⣠D C 2 ⣠â 2 â
B D â
D C â
cos âą B D C
â ⣠B C âŸ âŁ = ⣠B D ⟠2 ⣠+ ⣠D C ⟠2 ⣠â 2 â
B D ⟠â
D C ⟠â
cos ⥠⹠B D C \Rightarrow |\overline {BC}|= \sqrt {|\overline {BD}^2|+|\overline {DC}^2|-2\cdot\overline {BD}\cdot \overline {DC} \cdot \cos\sphericalangle BDC}â ⣠BC ⣠= ⣠B D 2 ⣠+ ⣠D C 2 ⣠â 2 â
B D â
D C â
cos âą B D C â
â ⣠B C âŸ âŁ = 13,6 2 + 6,69 2 â 2 â
13,60 â
6,69 â
cos ⥠( 51,03 ° ) \Rightarrow |\overline {BC}|= \sqrt {13{,}6^2+6{,}69^2-2\cdot 13{,}60 \cdot 6{,}69 \cdot \cos(51{,}03°)}â ⣠BC ⣠= 13 , 6 2 + 6 , 6 9 2 â 2 â
13 , 60 â
6 , 69 â
cos ( 51 , 03° ) â
â ⣠B C âŸ âŁ = 184,96 + 44,76 â 181,97 â
0,62891 \Rightarrow |\overline {BC}|= \sqrt {184{,}96+44{,}76-181{,}97 \cdot 0{,}62891}â ⣠BC ⣠= 184 , 96 + 44 , 76 â 181 , 97 â
0 , 62891 â
â ⣠B C âŸ âŁ = 184,96 + 44,76 â 114,44 = 115,28 = 10,7368 â 10,74 â
c m \Rightarrow \bold {|\overline {BC}|}= \sqrt {184{,}96+44{,}76-114{,}44}= \sqrt {115{,}28}=10{,}7368 \approx \bold {10{,}74 \: cm}â ⣠BC ⣠= 184 , 96 + 44 , 76 â 114 , 44 â = 115 , 28 â = 10 , 7368 â 10 , 74 cm
Hinweis: Diese Berechnung kannst du auch mit den bekannten GröĂen ⣠B D âŸ âŁ |\overline{BD}|⣠B D ⣠, âą D C B \sphericalangle DCBâą D CB und dem Winkel âą B D C \sphericalangle BDCâą B D C , den du wie in der Rechnung oben bestimmst und dem Sinussatz durchfĂŒhren.