Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B3

Die nebenstehende Skizze zeigt das Viereck $A B C D$ .

Es gilt: $\vert\overline{AB}\vert=11\;\text{cm}$ ; $\vert\overline{AD}\vert=8\;\text{cm}$ ;

$\sphericalangle CBA=65^\circ$ ; $\sphericalangle ADC=105^\circ$ ; $\sphericalangle BAD=90^\circ$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Viereck $A B C D$ und die Strecke $\overline{BD}$ .
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $D C B$ und die Länge der Strecke $\overline{BD}$ . (3,5 P)
$[$ Teilergebnisse: $\sphericalangle DCB=100^\circ; \vert\overline{BD}\vert=13{,}60\;\text{cm}]$

geg.: $|\overline {AB}|= 11\:cm;\:|\overline {AD}|= 8\:cm; \: \sphericalangle CBA=65°; \: \sphericalangle ADC=105°; \: \sphericalangle BAD=90°$
ges.: Winkel $D C B$ und Länge der Strecke $|\overline {BD}|$
Ansatz und Rechnung:
Grundwissen: Pythagoras, allgemeine Vierecke, Sinussatz, Kosinussatz, Kreisbogen, Prozentrechnung.
1. Zeichnen des Vierecks ABCD und der Strecke $|\overline {BD}|$
Viereck ABCD mit Diagonale $|\overline {BD}|$
2. Berechnung von $|\overline {BD}|$ mithilfe Pythagoras:
$B D^{2} = A B^{2} + A D^{2}$
$\Rightarrow |\overline {BD}|=\sqrt {AB^2+AD^2}=\sqrt {11^2+8^2 }=\sqrt{121+64}=\sqrt {185}\: cm$
$\bold {\Rightarrow |\overline {BD}|=13{,}60 \:cm}$
3. Berechnung von Winkel $D C B$
$\sphericalangle DCB=360°-\sphericalangle CBA-\sphericalangle ADC -\sphericalangle BAD$
$⇒ \sphericalangle DCB=360°-65°-105° -90°$
$\bold {\Rightarrow \sphericalangle DCB=100°}$
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Zeichnung des Vierecks $A B C D$ und der Strecke $\overline{BD}$ ; Berechnung des Winkels $D C B$ und der Länge der Strecke $\overline{BD}$
Berechnen Sie die Längen der Strecken $\overline{DC}$ und $\overline{BC}$ . (4 P)
$[$ Zwischenergebnis: $\sphericalangle CBD=28{,}97^\circ$ ; Teilergebnis $\vert\overline{BC}\vert=10{,}74\;\text{cm}]$

geg.: $|\overline {AB}|= 11\:cm;\:|\overline {AD}|= 8\:cm; \: \sphericalangle CBA=65°; \: \sphericalangle ADC=105°;$
$\: \sphericalangle BAD=90°; \: \sphericalangle DCB=100°;\:\overline {BD}|= 13{,}60\:cm$
ges.: Längen der Strecken $\overline {DC}$ und $\overline {BC}$
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung der Strecke $\overline {DC}$ mit Sinussatz und Tangens:
Im Dreieck $B C D$ sind bisher nur die Strecke $\overline{BD}$ und der Winkel $\sphericalangle BCD$ bekannt.
Daher muss zunächst eine dritte Größe berechnet werden:
berechne den Winkel $\sphericalangle DBA$ im rechtwinkligen Dreieck $A B D$ und mit dem bekannten Winkel $\sphericalangle ADC$ den Winkel $\sphericalangle BDC$ .
$\sphericalangle DBA$ wird berechnet mit $\tan \sphericalangle DBA =\frac{8}{11}\quad \Rightarrow \quad \sphericalangle DBA=36{,}06°$
Somit ist $\sphericalangle CBD=\sphericalangle CBA-\sphericalangle DBA =65°-36{,}03° \Rightarrow \quad \sphericalangle CBD=28{,}97°$
Sinussatz $\displaystyle\frac {\red a}{\sin \red α }=\frac {\blue b}{\sin \blue β }=\frac {\green c}{\sin\green γ}$ angewandt auf Dreieck $B C D$ ergibt:
$\displaystyle\frac {|\overline {DC}|}{\sin \sphericalangle CBD }=\frac {|\overline {BD}|}{sin \sphericalangle DCB}$ $\displaystyle\quad \Rightarrow \frac {|\overline {DC}|}{\sin28{,}97^\circ }=\frac {13{,}60\text{ cm}}{\sin 100^\circ}$
Aufgelöst nach $\overline {DC}$ ergibt das:
$\displaystyle\bold {|\overline {DC}|} =\frac {13{,}60\: cm \cdot \sin(28{,}97^\circ)}{\sin(100^\circ)}=\frac {13{,}60 \cdot 0{,}48435}{0{,}98481}=6{,}6887 \bold {\approx 6{,}69\text{ cm}}$
2. Berechnung der Strecke $\overline {BC}$ mit Kosinussatz:
Zuerst wird der Winkel $\sphericalangle BDC$ mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck bestimmt:
$\sphericalangle BDC=180^\circ-100^\circ-28{,}97^\circ=51{,}03^\circ$
Der Kosinussatz $\red {a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c\cdot \cos\sphericalangle BDC }$ angewandt auf die Strecke $\overline {BC}$ ergibt:
$|\overline {BC}^2|= |\overline {BD}^2|+|\overline {DC}^2|-2\cdot\overline {BD}\cdot \overline {DC} \cdot \cos\sphericalangle BDC$
$\Rightarrow |\overline {BC}|= \sqrt {|\overline {BD}^2|+|\overline {DC}^2|-2\cdot\overline {BD}\cdot \overline {DC} \cdot \cos\sphericalangle BDC}$
$\Rightarrow |\overline {BC}|= \sqrt {13{,}6^2+6{,}69^2-2\cdot 13{,}60 \cdot 6{,}69 \cdot \cos(51{,}03°)}$
$\Rightarrow |\overline {BC}|= \sqrt {184{,}96+44{,}76-181{,}97 \cdot 0{,}62891}$
$\Rightarrow \bold {|\overline {BC}|}= \sqrt {184{,}96+44{,}76-114{,}44}= \sqrt {115{,}28}=10{,}7368 \approx \bold {10{,}74 \: cm}$
Hinweis: Diese Berechnung kannst du auch mit den bekannten Größen $|\overline{BD}|$ , $\sphericalangle DCB$ und dem Winkel $\sphericalangle BDC$ , den du wie in der Rechnung oben bestimmst und dem Sinussatz durchführen.
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Berechne zunächst den Winkel $\sphericalangle BDA$ , um den Winkel $\sphericalangle CDB$ zu bestimmen.
Verwende dann Sinussatz und Kosinussatz.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt $A_{ABCD}$ des Vierecks $A B C D$ . (2 P)
$[$ Ergebnis: $A_{ABCD}=79{,}37\;\text{cm}^2]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
geg.: Wertangaben und Rechenergebnisse aus Aufgabe $B 3. a$ und $B 3. b$
ges.: Gesamtfläche $A_{ABCD}$ bestehend aus $\triangle ABD$ und $\triangle BCD$
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung der Fläche des rechtwinkligen $\triangle ABD$ :
$A_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$ mit $g= |\overline {AB}|=11\: cm$ und $h= |\overline {AD}|=8\: cm$
$\bold {A_{\triangle ABD}}=\frac{1}{2}\cdot 11\: cm \cdot 8 \:cm=\bold {44\:cm^2}$
2. Berechnung der Fläche des allgemeinen $\triangle BCD$ mithilfe des Sinussatzes:
Der Sinussatz mit zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkelmaß lautet:
$\blue {\bold {A=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot sinγ}}$
mit $a=|\overline {BD}|= 13{,}60\:cm;\quad b=|\overline {BC}|= 10{,}74\:cm; \quad \sin\measuredangle CBD=28{,}97°$
$\Rightarrow \bold { A_{\triangle BCD}}=\:\frac{1}{2}\cdot 13{,}6 \cdot 10{,}74 \cdot \sin(28{,}97°)\quad =73{,}032\cdot0{,}48435\quad =\bold {35{,}37\: cm^2}$
3. Berechnung der Gesamtfläche des Vierecks $A B C D$ :
$\bold {A_{\square ABCD}}=A_{\triangle ABD}+A_{\triangle BCD}=44+35{,}37=\bold {79{,}37\: cm^3}$
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Bestimmung des Flächeninhalts von Viereck $A B C D$ bestehend aus dem rechwinkligen Dreieck $A B D$ und dem allgemeinen Dreieck $B C D$
Der Kreis mit dem Mittelpunkt $C$ und dem Radius $r=4\;\text{cm}$ schneidet die Strecke $\overline{DC}$ im Punkt $P$ und die Strecke $\overline{BC}$ im Punkt $Q$ .
Ergänzen Sie in der Zeichnung zu Aufgabe a) den Kreisbogen $\overset\frown{PQ}$ mit dem Mittelpunkt $C$ und die Strecke $\overline{PQ}$ . (1 P)

1. Einzeichnen des Kreisbogens $\overset\frown{PQ}$ mit Radius $r=4\: cm$ um Mittelpunkt $C$ .
2. Kreisbogen schneidet die Strecke $\overline {DC}$ in Punkt $P$ und die Strecke $\overline {BC}$ in $Q$
Viereck ABCD mit Strecke $\overline {PQ}$ und Kreisbogen $\overset\frown{PQ}$
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Geometrische Zeichnung anfertigen
Der Kreisbogen $\overset\frown{PQ}$ und die Strecke $\overline{PQ}$ begrenzen eine Figur.
Berechnen Sie den Umfang dieser Figur. (2,5 P)

geg.: Kreismittelpunkt ist Eckpunkt $C$ des Vierecks $A B C D$ ; Kreisradius ist $r=4\:cm ≙\overline {CP}≙\overline {CQ}$ ; Öffnungswinkel des Kreisbogensektors ist $∢ P C Q = 100 °$
ges.: Kreisbogenlänge $|\overset\frown{PQ}|$ und Strecke $|\overline {PQ}|$ (=Kreissehne)
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung der Kreisbogenlänge mithilfe der Kreisbogenformel:
$\bold {{b=\dfrac{\alpha }{360^\circ}\cdot 2\cdot π\cdot r}}\qquad$ mit $\alpha=100^\circ$ ; $\:π =3{,}14$ ; $\:r=4\:cm$
$\Rightarrow \bold {\overset\frown{PQ}}=\dfrac{100°}{360°}\cdot 2\cdot 3{,}14\cdot 4\:cm=\bold {6{,}98\text{ cm}}$
2. Berechnung der Strecke $|\overline {PQ}|$ mithilfe des Kosinussatzes:
$\bold { {a^2=b^2+c^2-2 \cdot b\cdot c \cdot \cos α}}$
mit $a= |\overline {PQ}|$ ; $\quad b=r=|\overline {CP}|= 4\: cm$ ; $\quad c=r=|\overline {CQ}|= 4\: cm$ ; $\quad \alpha=100$
$\Rightarrow \bold {|\overline {PQ}|^2}=4^2+4^2-2⋅4⋅4⋅\cos⁡(100°)$
$\Rightarrow \bold {|\overline {PQ}|^2}=16+16 \bold {−}32 ⋅ (\bold{−} 0{,}173648)=32 \bold {+} 5{,}5567= 37{,}5567$
$\Rightarrow \bold {|\overline {PQ}|}=\sqrt {37{,}5567}=6{,}1283 \approx \bold {6{,}13 \: cm}$
3. Berechnung des Umfangs der Figur (bestehend aus Kreisbogen $\overset\frown{PQ}$ und Sehne $|\overline {PQ}|$ :
$\bold {U_{Figur}}=|\overset\frown{PQ}|+|\overline {PQ}|=6{,}98\: cm+6{,}13\: cm=\bold {13{,}11\: cm}$
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Bestimme die Länge des Kreisbogens $\overset\frown{PQ}$ mit Winkel und Radius und die der Strecke $\overline {PQ}$ mit dem Kosinussatz.
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts der Figur aus e) am
Flächeninhalt des Vierecks $A B C D$ . (3 P)

Grundwissen: Kreissektorformel, Sinussatz für Dreiecksfläche, Prozentrechnung
geg.: Öffnungswinkel des Kreissektors ist $∢ P C Q = 100 °$ ; $\quad r=4\:cm$ ;
Kreisbogenlänge $|\overset\frown{PQ}|=6{,}98\: cm$ und Strecke $|\overline {PQ}|=6{,}13\:cm$ (Kreissehne)
ges.: $A_{\text{Figur}}$ und %-Anteil von $A_{\text{Figur}}$ an $A_{ABCD}$
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung der Fläche des Kreissektors $\bold {∢PCQ}$ mithilfe der Kreissektorformel:
Kreissektor $∢ P C Q$ Teilfläche eines Kreises, die vom Kreisbogen $|\overset\frown{PQ}|$ und den zwei Kreisradien $r$ begrenzt wird:
$\bold { {A_{Kreissektor∢α}=\frac{α}{360°}\cdot π\cdot r^2}}\quad$ mit $r=4\:cm$ und $\alpha =100°$
$\bold {A_{Kreissektor∢α}}=\frac{100°}{360°}\cdot 3{,}14\cdot 4^2=\bold {13{,}95\:cm^2}$
2. Berechnung der Dreiecksfläche von $\triangle PCQ$ mithilfe Sinussatz:
Der Sinussatz mit zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkelmaß $\alpha$ lautet:
$A=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin\alpha \quad$ mit $a= b=r=4\: cm$ ; $\quad \alpha$ =100°
$\Rightarrow A_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(100°)$
$\Rightarrow \bold {A_{\triangle PCQ}}=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4 \cdot 0{,}98481=\bold {7{,}87\:cm^2}$
3. Berechnung der Figur (=Kreissegment) durch Subtraktion der Flächen:
Kreissektor $∢ P C Q$ minus Dreiecksfläche von $\triangle PCQ$ :
$\bold {A_{Figur}=A_{Kreissektor ∢\alpha}-A_{\triangle PCQ}}=13{,}95-7{,}87=6{,}08\:cm^2$
4. Berechnung des Prozentanteils der Figur (=Kreissegment $P Q$ ) an $A_{ABCD}=79{,}37\: cm2$ (gem. Aufgabe B 3.c)
$\displaystyle\frac{A_{Figur}}{A_{ABCD}}=\frac{6{,}08\:cm^2}{79{,}37\:cm^2}=0{,}0766$
$\Rightarrow$ Der $% -$ Anteil der Figur am Flächeninhalt des Vierecks $A B C D$ beträgt $\bold 7{,}66 \:\%$
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Bestimmung der Figurfläche (gebildet aus dem Kreisbogen $\overset\frown{PQ}\\$ und der Strecke $\overline {PQ}$ ); Bestimmung des %-Anteils der Figurfläche an Fläche des Vierecks $A B C D$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Aufgabe B3

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