geg.: $|\overline{AB}|=11cm;|\overline{AD}|=8cm;\sphericalangle CBA=65°;\sphericalangle ADC=105°;\sphericalangle BAD=90°$

ges.: Winkel $DCB$ und Länge der Strecke $|\overline{BD}|$

Ansatz und Rechnung:

Grundwissen: Pythagoras, allgemeine Vierecke, Sinussatz, Kosinussatz, Kreisbogen, Prozentrechnung.

1. Zeichnen des Vierecks ABCD und der Strecke $|\overline{BD}|$

2. Berechnung von $|\overline{BD}|$ mithilfe Pythagoras:

$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2$

$\Rightarrow |\overline{BD}|=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{{11}^2+8^2}=\sqrt{121+64}=\sqrt{185}cm$

$\Rightarrow |\overline{𝐁𝐃}|=\mathrm{𝟏𝟑,𝟔𝟎}𝐜𝐦$

3. Berechnung von Winkel $DCB$

$\sphericalangle DCB=360°-\sphericalangle CBA-\sphericalangle ADC-\sphericalangle BAD$

$\Rightarrow \sphericalangle DCB=360°-65°-105°-90°$

$\Rightarrow \sphericalangle 𝐃𝐂𝐁=\mathrm{𝟏𝟎𝟎}°$

geg.: $|\overline{AB}|=11cm;|\overline{AD}|=8cm;\sphericalangle CBA=65°;\sphericalangle ADC=105°;$

$\sphericalangle BAD=90°;\sphericalangle DCB=100°;\overline{BD}|=\mathrm{13,60}cm$

ges.: Längen der Strecken $\overline{DC}$ und $\overline{BC}$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Strecke $\overline{DC}$ mit Sinussatz und Tangens:

Im Dreieck $BCD$ sind bisher nur die Strecke $\overline{BD}$ und der Winkel $\sphericalangle BCD$ bekannt.

Daher muss zunächst eine dritte Größe berechnet werden:

berechne den Winkel $\sphericalangle DBA$ im rechtwinkligen Dreieck $ABD$ und mit dem bekannten Winkel $\sphericalangle ADC$ den Winkel $\sphericalangle BDC$.

$\sphericalangle DBA$ wird berechnet mit $\tan \sphericalangle DBA=\frac{8}{11}\Rightarrow \sphericalangle DBA=\mathrm{36,06}°$

Somit ist $\sphericalangle CBD=\sphericalangle CBA-\sphericalangle DBA=65°-\mathrm{36,03}°\Rightarrow \sphericalangle CBD=\mathrm{28,97}°$

Sinussatz $${\displaystyle \frac{\text{red}a}{\sin \text{red}\alpha }=\frac{\text{blue}b}{\sin \text{blue}\beta }=\frac{\text{green}c}{\sin \text{green}\gamma }}$$ angewandt auf Dreieck $BCD$ ergibt:

$${\displaystyle \frac{|\overline{DC}|}{\sin \sphericalangle CBD}=\frac{|\overline{BD}|}{sin\sphericalangle DCB}}$$ $${\displaystyle \Rightarrow \frac{|\overline{DC}|}{\sin {\mathrm{28,97}}^{\circ }}=\frac{\mathrm{13,60}\text{ cm}}{\sin {100}^{\circ }}}$$

Aufgelöst nach $\overline{DC}$ ergibt das:

$${\displaystyle |\overline{𝐃𝐂}|=\frac{\mathrm{13,60}cm\cdot \sin ({\mathrm{28,97}}^{\circ })}{\sin ({100}^{\circ })}=\frac{\mathrm{13,60}\cdot \mathrm{0,48435}}{\mathrm{0,98481}}=\mathrm{6,6887}\approx \mathrm{𝟔,𝟔𝟗}\text{ cm}}$$

2. Berechnung der Strecke $\overline{BC}$ mit Kosinussatz:

Zuerst wird der Winkel $\sphericalangle BDC$ mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck bestimmt:

$\sphericalangle BDC={180}^{\circ }-{100}^{\circ }-{\mathrm{28,97}}^{\circ }={\mathrm{51,03}}^{\circ }$

Der Kosinussatz $\text{red}{a}^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \sphericalangle BDC$ angewandt auf die Strecke $\overline{BC}$ ergibt:

$|{\overline{BC}}^2|=|{\overline{BD}}^2|+|{\overline{DC}}^2|-2\cdot \overline{BD}\cdot \overline{DC}\cdot \cos \sphericalangle BDC$

$\Rightarrow |\overline{BC}|=\sqrt{|{\overline{BD}}^2|+|{\overline{DC}}^2|-2\cdot \overline{BD}\cdot \overline{DC}\cdot \cos \sphericalangle BDC}$

$\Rightarrow |\overline{BC}|=\sqrt{{\mathrm{13,6}}^2+{\mathrm{6,69}}^2-2\cdot \mathrm{13,60}\cdot \mathrm{6,69}\cdot \cos (\mathrm{51,03}°)}$

$\Rightarrow |\overline{BC}|=\sqrt{\mathrm{184,96}+\mathrm{44,76}-\mathrm{181,97}\cdot \mathrm{0,62891}}$

$\Rightarrow |\overline{𝐁𝐂}|=\sqrt{\mathrm{184,96}+\mathrm{44,76}-\mathrm{114,44}}=\sqrt{\mathrm{115,28}}=\mathrm{10,7368}\approx \mathrm{𝟏𝟎,𝟕𝟒}𝐜𝐦$

Hinweis: Diese Berechnung kannst du auch mit den bekannten Größen $|\overline{BD}|$, $\sphericalangle DCB$ und dem Winkel $\sphericalangle BDC$, den du wie in der Rechnung oben bestimmst und dem Sinussatz durchführen.

geg.: Wertangaben und Rechenergebnisse aus Aufgabe $B3.a$ und $B3.b$

ges.: Gesamtfläche $A_{ABCD}$ bestehend aus $△ABD$ und $△BCD$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Fläche des rechtwinkligen $△ABD$:

$A_{△ABD}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$ mit $g=|\overline{AB}|=11cm$ und $h=|\overline{AD}|=8cm$

${𝐀}_{△𝐀𝐁𝐃}=\frac{1}{2}\cdot 11cm\cdot 8cm=\mathrm{𝟒𝟒}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟐}}$

2. Berechnung der Fläche des allgemeinen $△BCD$ mithilfe des Sinussatzes:

Der Sinussatz mit zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkelmaß lautet:

$\text{blue}𝐀=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\cdot 𝐚\cdot 𝐛\cdot 𝐬𝐢𝐧𝛄$

mit $a=|\overline{BD}|=\mathrm{13,60}cm;b=|\overline{BC}|=\mathrm{10,74}cm;\sin \measuredangle CBD=\mathrm{28,97}°$

$\Rightarrow {𝐀}_{△𝐁𝐂𝐃}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{13,6}\cdot \mathrm{10,74}\cdot \sin (\mathrm{28,97}°)=\mathrm{73,032}\cdot \mathrm{0,48435}=\mathrm{𝟑𝟓,𝟑𝟕}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟐}}$

3. Berechnung der Gesamtfläche des Vierecks $ABCD$:

${𝐀}_{\square 𝐀𝐁𝐂𝐃}=A_{△ABD}+A_{△BCD}=44+\mathrm{35,37}=\mathrm{𝟕𝟗,𝟑𝟕}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟑}}$

1. Einzeichnen des Kreisbogens $\stackrel{⌢}{P}$ mit Radius $r=4cm$ um Mittelpunkt $C$.

2. Kreisbogen schneidet die Strecke $\overline{DC}$ in Punkt $P$ und die Strecke $\overline{BC}$ in $Q$

geg.: Kreismittelpunkt ist Eckpunkt $C$ des Vierecks $ABCD$; Kreisradius ist $r=4cm\stackrel{\wedge}{=}\overline{CP}\stackrel{\wedge}{=}\overline{CQ}$; Öffnungswinkel des Kreisbogensektors ist $\sphericalangle PCQ=100°$

ges.: Kreisbogenlänge $|\stackrel{⌢}{P}|$ und Strecke $|\overline{PQ}|$ (=Kreissehne)

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Kreisbogenlänge mithilfe der Kreisbogenformel:

$𝐛={\displaystyle \frac{𝛂}{{\mathrm{𝟑𝟔𝟎}}^{\circ }}}\cdot \mathrm{𝟐}\cdot 𝛑\cdot 𝐫$ mit $\alpha ={100}^{\circ }$; $\pi =\mathrm{3,14}$; $r=4cm$

$\Rightarrow \stackrel{⌢}{𝐏}={\displaystyle \frac{100°}{360°}}\cdot 2\cdot \mathrm{3,14}\cdot 4cm=\mathrm{𝟔,𝟗𝟖}\text{ cm}$

2. Berechnung der Strecke $|\overline{PQ}|$ mithilfe des Kosinussatzes:

${𝐚}^{\mathrm{𝟐}}={𝐛}^{\mathrm{𝟐}}+{𝐜}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟐}\cdot 𝐛\cdot 𝐜\cdot \cos 𝛂$

mit $a=|\overline{PQ}|$; $b=r=|\overline{CP}|=4cm$; $c=r=|\overline{CQ}|=4cm$; $\alpha =100$

$\Rightarrow |\overline{𝐏𝐐}{|}^{\mathrm{𝟐}}=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cdot \cos \text{⁡}(100°)$

$\Rightarrow |\overline{𝐏𝐐}{|}^{\mathrm{𝟐}}=16+16-32\cdot (-\mathrm{0,173648})=32+\mathrm{5,5567}=\mathrm{37,5567}$

$\Rightarrow |\overline{𝐏𝐐}|=\sqrt{\mathrm{37,5567}}=\mathrm{6,1283}\approx \mathrm{𝟔,𝟏𝟑}𝐜𝐦$

3. Berechnung des Umfangs der Figur (bestehend aus Kreisbogen $\stackrel{⌢}{P}$ und Sehne $|\overline{PQ}|$:

${𝐔}_{𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫}=|\stackrel{⌢}{P}|+|\overline{PQ}|=\mathrm{6,98}cm+\mathrm{6,13}cm=\mathrm{𝟏𝟑,𝟏𝟏}𝐜𝐦$

Grundwissen: Kreissektorformel, Sinussatz für Dreiecksfläche, Prozentrechnung

geg.: Öffnungswinkel des Kreissektors ist $\sphericalangle PCQ=100°$; $r=4cm$;

Kreisbogenlänge $|\stackrel{⌢}{P}|=\mathrm{6,98}cm$ und Strecke $|\overline{PQ}|=\mathrm{6,13}cm$ (Kreissehne)

ges.: $A_{\text{Figur}}$ und %-Anteil von $A_{\text{Figur}}$ an $A_{ABCD}$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Fläche des Kreissektors $\sphericalangle 𝐏𝐂𝐐$ mithilfe der Kreissektorformel:

Kreissektor $\sphericalangle PCQ≔$ Teilfläche eines Kreises, die vom Kreisbogen $|\stackrel{⌢}{P}|$ und den zwei Kreisradien $r$ begrenzt wird:

${𝐀}_{𝐊𝐫𝐞𝐢𝐬𝐬𝐞𝐤𝐭𝐨𝐫\sphericalangle 𝛂}=\frac{𝛂}{\mathrm{𝟑𝟔𝟎}°}\cdot 𝛑\cdot {𝐫}^{\mathrm{𝟐}}$ mit $r=4cm$ und $\alpha =100°$

${𝐀}_{𝐊𝐫𝐞𝐢𝐬𝐬𝐞𝐤𝐭𝐨𝐫\sphericalangle 𝛂}=\frac{100°}{360°}\cdot \mathrm{3,14}\cdot 4^2=\mathrm{𝟏𝟑,𝟗𝟓}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟐}}$

2. Berechnung der Dreiecksfläche von $△PCQ$ mithilfe Sinussatz:

Der Sinussatz mit zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkelmaß $\alpha$ lautet:

$A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$mit $a=b=r=4cm$; $\alpha$=100°

$\Rightarrow A_{△PCQ}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \sin (100°)$

$\Rightarrow {𝐀}_{△𝐏𝐂𝐐}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \mathrm{0,98481}=\mathrm{𝟕,𝟖𝟕}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟐}}$

3. Berechnung der Figur (=Kreissegment) durch Subtraktion der Flächen:

Kreissektor $\sphericalangle PCQ$ minus Dreiecksfläche von $△PCQ$:

${𝐀}_{𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫}={𝐀}_{𝐊𝐫𝐞𝐢𝐬𝐬𝐞𝐤𝐭𝐨𝐫\sphericalangle 𝛂}-{𝐀}_{△𝐏𝐂𝐐}=\mathrm{13,95}-\mathrm{7,87}=\mathrm{6,08}c{m}^2$

4. Berechnung des Prozentanteils der Figur (=Kreissegment $PQ$) an $A_{ABCD}=\mathrm{79,37}cm2$ (gem. Aufgabe B 3.c)

$${\displaystyle \frac{A_{Figur}}{A_{ABCD}}=\frac{\mathrm{6,08}c{m}^2}{\mathrm{79,37}c{m}^2}=\mathrm{0,0766}}$$

$\Rightarrow$ Der $\%-$Anteil der Figur am Flächeninhalt des Vierecks $ABCD$ beträgt $\mathrm{𝟕,66}\%$