Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B2

Gegeben sind die Parabel $p$ mit der Gleichung $y=0{,}25x^2-x+2 \;\; (x, y\in \mathbb{R})$ und die

Gerade $g$ mit der Gleichung $y=0{,}25x-1 \;\; (x,y\in \mathbb{R})$ .

Punkte $A_n(x|0{,}25x-1)$ auf der Geraden $g$ und Punkte $B_n(x|0{,}25x^2-x+2)$ auf der
Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind zusammen mit Punkten $C_{n}$ Eckpunkte von Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ . Es gilt: $\overrightarrow{A_nC_n}=\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}$ .
Zeichnen Sie die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 0$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 4$ in das
Koordinatensystem der Aufgabenstellung ein. (2 P)

geg.: Parabel $p: y=0{,}25\cdot x^{2}-x+2$ ; Gerade $g: y=0{,}25\cdot x-1$
Punkte $A_n(x|0{,}25\cdot x-1)$ auf g, Punkte $B_n(x|0{,}25\cdot x^{2}-x+2)$ auf p mit derselben Abszisse $x$ ,
Punkte $C_{n}$ sind Eckpunkte von $\triangle A_nB_nC_n$ mit $\overrightarrow {A_nC_n}=\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}$
ges.: Einzeichnen der Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$ für $x = 0$ und $x = 4$ ins KOSY
Ansatz und Rechnung:
Setze $x = 0$ in $A$ und in $B$ ein:
$A_{1} (0 ∣ - 1)$
$B_{1} (0 ∣ 2)$
Berechne $C_{1}$ :
$\overrightarrow{A_1C_1}=\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\vec C_1-\vec A_1\;\Rightarrow\;\vec C_1=\vec A_1+\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\2\end{pmatrix}$
$\Rightarrow\;C_1(-4|2)$
Setze $x = 4$ in $A$ und in $B$ ein:
$A_{2} (4 ∣ 0)$
$B_{2} (4 ∣ 2)$
Berechne $C_{2}$ :
$\vec C_2=\vec A_2+\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\3\end{pmatrix}$
Parabel $p$ mit Gerade $g$ und den Dreiecken $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 0$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 4$
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Einzeichnen von Dreiecken mit Eckpunkten auf Parabel und Gerade
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $\overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\vert\overline{A_nB_n}\vert(x)=(0{,}25x^2-1{,}25x+3)\;\text{LE}$ . (1 P)

geg.: $A_n(x|0{,}25\cdot x-1)$ und $B_n(x|0{,}25\cdot x^{2}−x+2)$
ges.: $|\overrightarrow {A_nB_n}(x)|$
Ansatz und Rechnung:
1. Bestimmung des Vektors $\overrightarrow {A_nB_n}(x)$ aus den Punkten $A_n(x|0{,}25\cdot x-1)$ und $B_n(x|0{,}25\cdot x^{2}−x+2)$
$\overrightarrow {A_nB_n}(x)=\begin{pmatrix} x\\0{,}25\cdot x^2-x+2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x\\ 0{,}25⋅ x-1 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow {A_nB_n}(x)=\begin{pmatrix} x-x\\0{,}25\cdot x^2-x+2-0{,}25\cdot x+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {0}\\ 0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3\end{pmatrix}$
Anmerkung:
Die $x -$ Komponenten von $A_n( x | 0{,}25x-1)$ und $B_n( x |0{,}25x^2-x+2)$ sind identisch.
Somit kann auf die obige Vektordarstellung verzichtet werden und die Vektorlängenberechnung allein aus der Addition der $y -$ Komponenten erfolgen!
2. Berechnung der Vektorlänge $\overrightarrow {A_nB_n}(x)$ nach Pythagoras:
$|\overrightarrow {A_nB_n}|(x)=\sqrt {{0^2}+(0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3)^2}$
$|\overrightarrow{A_nB_n}|(x)=\sqrt {{(0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3)}^2}\qquad$ | Wurzel und Quadrat heben sich auf
$\Rightarrow \bold {|\overrightarrow{A_nB_n}|(x)={{[0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3]\: LE}}}$
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Bestimmung von Vektor $\overrightarrow {A_nB_n}(x)$ und seiner Länge
Die Dreiecke $A_{3} B_{3} C_{3}$ und $A_{4} B_{4} C_{4}$ sind gleichschenklig mit der Basis $\overline{B_3C_3}$ bzw. $\overline{B_4C_4}$ . Berechnen Sie die zugehörigen Werte von $x$ . (3 P)
Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

geg.: $\overrightarrow {A_nC_n}=\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}$ und $|\overrightarrow{A_nB_n}|(x)={{[0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3]\: LE}}$
ges.: $|\overrightarrow {A_nC_n}|$ und $x$ -Werte der gleichschenkligen Dreiecke $A_{3} B_{3} C_{3}$ und $A_{4} B_{4} C_{4}$
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung der Länge von $\overrightarrow {A_nC_n}=\begin{pmatrix} -4\\3\end{pmatrix}$ :
$\Rightarrow |\overrightarrow {A_nC_n}|=\sqrt {(-4)^2+3^2}=\sqrt {16+9}=\sqrt {25}=5 LE$
2. Berechnung der $x -$ Werte der gleichschenkligen Dreiecke $A_{3} B_{3} C_{3}$ und $A_{4} B_{4} C_{4}$ :
In den gleichschenkligen Dreiecken mit der Basis $\overline { B_3C_3}$ bzw. $\overline { B_4C_4}$ sind die Beträge der Schenkel gleich, also gilt: $|\overrightarrow {A_nC_n}|=|\overrightarrow{A_nB_n}|(x)$
$\Rightarrow {{[0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3]\: LE}}= 5\: LE$
Äquivalenzumformung und Erstellung der quadratischen Gleichung:
$[0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x +3]-5=0$
$0{,}25\cdot x^2-1{,}25\cdot x -2=0$
$a$ - $b$ - $c$ -Formel anwenden: $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Diskriminante $D$ berechnen mit $a = 0,25$ ; $b = - 1,25$ ; $c = - 2$ ;
${D=b^2 -4\cdot a\cdot c}= (-1{,}25)^2-4\cdot 0{,}25\cdot (-2)=1{,}5625+2=3{,}5625$
$\Rightarrow {D>0}$ . Also gibt es 2 Lösungen.
$D$ in $a$ - $b$ - $c$ -Formel einsetzen:
$\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac {{-(-1{,}25)}\pm \sqrt {3{,}5625}}{2\cdot 0{,}25}=\frac {{1{,}25}\pm \sqrt {3{,}5625}}{0{,}5}$
$\displaystyle\Rightarrow\quad x_{1}=\frac {{1{,}25}+1{,}887}{0{,}5}=6{,}274$
$\displaystyle\Rightarrow \quad x_{2}=\frac {1{,}25-1{,}887}{0{,}5}=-1{,}274$
Die $x$ -Koordinaten sind somit $\bold {x_{1}= 6{,}27 ; x_{2}= -1{,}27}$
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Berechnung der x-Werte für die gleichschenkligen Dreiecke mithilfe $|\overrightarrow {A_nC_n}|$ und $|\overrightarrow{A_nB_n}|(x)$

Aufgabe B2

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