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Das gleichschenklige Dreieck ABCABC mit der Basis [BC][BC] und der Höhe [AM][AM] ist die Grundfläche der Pyramide ABCSABCS mit der Spitze SS. Der Punkt D[AM]D \in [AM] ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe [DS][DS], die senkrecht auf der Grundfläche steht.

Es gilt: AM=8 cm;BC=10 cm;  AD=4,5 cm;DS=8,5 cm.\overline{AM}=8 \ \text{cm};\overline{BC}=10\ \text{cm};\;\overline{AD}=4{,}5\ \text{cm};\overline{DS}=8{,}5\ \text{cm}.

Die untenstehende Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCSABCS.

In der Zeichnung gilt: q=12;    ω=45q=\frac12;\;\;\omega=45^\circ. [AM][AM] liegt auf der Schrägbildachse.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Pyramide
  1. Berechnen Sie das Maß des Winkels MAC\angle MAC.

    [Ergebnis: MAC=32,01\angle MAC=32{,}01^\circ]

  2. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [DS] [DS]. Die Winkel DAPn\angle DAP_n haben das Maß φ\varphi mit φ]  0;  62,10[\varphi\in\rbrack\;0^\circ;\;62{,}10^\circ\lbrack.

    Zeichnen Sie den Punkt P1P_1 und die Strecke [AP1][AP_1] für φ=40°\varphi=40° in das Schrägbild zur Pyramide in der Aufgabenstellung ein.

  3. Durch die Punkte PnP_n verlaufen zur Grundfläche ABCABC parallele Ebenen, die die Kanten der Pyramide ABCSABCS in Punkten En[AS]E_n\in\lbrack AS\rbrack, Fn[BS]F_n\in\lbrack BS\rbrack und Gn[CS]G_n\in\lbrack CS\rbrack und die Strecke [MS][MS] in Punkten NnN_n schneiden. Die Dreiecke EnFnGnE_nF_nG_n sind die Grundflächen von Pyramiden EnFnGnDE_nF_nG_nD mit der Spitze DD.

    Zeichnen Sie die Pyramide E1F1G1DE_1F_1G_1D und den Punkt N1N_1 in das Schrägbild zur Pyramide in der Aufgabenstellung ein.

  4. Berechnen Sie die Längen der Strecken [DPn][DP_n] und [EnNn][E_nN_n] in Abhängigkeit von φ\varphi.

    [Ergebnisse: DPn(φ)=4,5tan(φ) cm;  EnNn(φ)=(84,24tan(φ)) cm\overline{DP_n}(\varphi)=4{,}5\cdot\tan\left(\varphi\right)\ \text{cm};\;\overline{E_nN_n}(\varphi)=(8-4{,}24\cdot\tan\left(\varphi\right))\ \text{cm}].

  5. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide E1F1G1DE_1F_1G_1D.