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Aufgaben
1.0 Es werden zwei Versuche zur Abkühlung von heißem Wasser durchgeführt. Der Temperaturverlauf während dieser Versuche lässt jeweils näherungsweise durch eine Exponentialfunktion der Form
y=(yAyU)0,9x+yU(G=R+×R+, yAR+, yUR+)\displaystyle y=(y_A-y_U)\cdot0,9^x+y_U \\ \left(\mathbb{G}=\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+,~ y_A \in \mathbb{R}^+,~ y_U \in \mathbb{R}^+\right)
beschreiben. Dabei ist nach xx Minuten die Temperatur des Wassers auf y°Cy\mathrm{°C} gesunken. Die Anfangstemperatur des Wassers beträgt yA°Cy_A\mathrm{°C} und die Umgebungstemperatur yU°Cy_U\mathrm{°C}. Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
1.1 Im ersten Versuch kühlt 95°C95\mathrm{°C} heißes Wasser in einem Raum mit einer Umgebungstemperatur von 20°C20\mathrm{°C} ab. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Wassertemperatur auf 60°C60\mathrm{°C} gesunken ist.
1.2 Im zweiten Versuch kühlt 72°C72\mathrm{°C} heißes Wasser in einem ersten Raum mit einer Umgebungstemperatur von 18°C18\mathrm{°C} für 33 Minuten ab. Anschließend wird der Abkühlvorgang in einem zweiten Raum für weitere 88 Minuten fortgesetzt, bis das Wasser eine Temperatur von 39°C39\mathrm{°C} besitzt. Berechnen Sie die Umgebungstemperatur im zweiten Raum.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstumsaufgaben

Lösungsvorschlag zu A1.1

Die Temperatur soll nach x Minuten 60°C erreichen.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
60=(9520)0,9x+2040=750,9x4075=0,9xlog0,94075=xx5,97\displaystyle \begin{array}{rcl} 60&=&(95-20)\cdot 0,9^x +20\\ 40&=&75\cdot 0,9^x\\ \frac{40}{75}&=&0,9^x\\ \log_{0,9}\frac{40}{75}&=&x\\ x&\approx&5,97\\ \end{array}
Bei Rundung auf eine Nachkommastelle ergibt sich, dass die Wassertemperatur nach 6,0 Minuten auf 60°C gefallen ist.

Lösungsvorschlag zu A1.2

Zunächst musst du die Temperatur nach 3 Minuten berechnen; setze dazu in die Gleichung ein:
y=(7218)0,93+18y57,4°C\displaystyle \begin{array}{rcl} y&=&(72-18)\cdot 0,9^3 +18\\ y&\approx&57,4\text{°C}\\ \end{array}
Daraufhin setzt du den veränderten Startwert in die Gleichung ein und löst nach der Umgebungstemperatur auf:
39=(57,4yU)0,98+yU39yU=(57,4yU)0,9839yU(57,4yU)0,43039yU=24,710,430yU14,29=0,57yUyU=25,07\displaystyle \begin{array}{rcl} 39&=&(57,4-y_U)\cdot 0,9^8 +y_U\\ 39-y_U&=&(57,4-y_U)\cdot 0,9^8\\ 39-y_U&\approx&(57,4-y_U)\cdot 0,430\\ 39-y_U&=&24,71-0,430y_U\\ 14,29&=&0,57y_U\\ y_U&=&25,07 \end{array}
Die Umgebungstemperatur yUy_U beträgt also 25,1°C.
2.0 Das gleichschenklige Dreieck ABCABC mit der Basis [BC][BC] und der Höhe [AM][AM] ist die Grundfläche der Pyramide ABCSABCS mit der Spitze SS. Der Punkt D[AM]D \in [AM] ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe [DS][DS], die senkrecht auf der Grundfläche steht.

Es gilt: AM=8 cm;BC=10 cm;  AD=4,5 cm;DS=8,5 cm\overline{AM}=8 \ \text{cm};\overline{BC}=10\ \text{cm};\;\overline{AD}=4,5\ \text{cm};\overline{DS}=8,5\ \text{cm}
Die untenstehende Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCSABCS.
In der Zeichnung gilt: q=12;    ω=45q=\frac12;\;\;\omega=45^\circ. [AM][AM] liegt auf der Schrägbildachse.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Pyramide
2.1 Berechnen Sie das Maß des Winkels MAC\angle MAC.
[Ergebnis: MAC=32,01\angle MAC=32,01^\circ]
2.2 Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [DS] [DS]. Die Winkel DAPn\angle DAP_n haben das Maß φ\varphi mit φ]  0;  62,10[\varphi\in\rbrack\;0^\circ;\;62,10^\circ\lbrack .

Zeichnen Sie den Punkt P1P_1 und die Strecke [AP1][AP_1] für φ=40°\varphi=40° in das Schrägbild zu 2.0 ein.
2.3 Durch die Punkte PnP_n verlaufen zur Grundfläche ABCABC parallele Ebenen, die die Kanten der Pyramide ABCSABCS in Punkten En[AS]E_n\in\lbrack AS\rbrack , Fn[BS]F_n\in\lbrack BS\rbrack und Gn[CS]G_n\in\lbrack CS\rbrack und die Strecke [MS][MS] in Punkten NnN_n schneiden. Die Dreiecke EnFnGnE_nF_nG_n sind die Grundflächen von Pyramiden EnFnGnDE_nF_nG_nD mit der Spitze DD.

Zeichnen Sie die Pyramide E1F1G1DE_1F_1G_1D und den Punkt N1N_1 in das Schrägbild zu 2.0 ein.
2.4 Berechnen Sie die Längen der Strecken [DPn][DP_n] und [EnNn][E_nN_n] in Abhängigkeit von φ\varphi.
[Ergebnisse: DPn(φ)=4,5tan(φ) cm;  EnNn(φ)=(84,24tan(φ)) cm\overline{DP_n}(\varphi)=4,5\cdot\tan\left(\varphi\right)\ \text{cm};\;\overline{E_nN_n}(\varphi)=(8-4,24\cdot\tan\left(\varphi\right))\ \text{cm}].
2.5 Berechnen Sie das Volumen der Pyramide E1F1G1DE_1F_1G_1D.
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