Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Es werden zwei Versuche zur Abkühlung von heißem Wasser durchgeführt. Der Temperaturverlauf während dieser Versuche lässt jeweils näherungsweise durch eine Exponentialfunktion der Form
beschreiben. Dabei ist nach $x$ Minuten die Temperatur des Wassers auf $y\mathrm{°C}$ gesunken. Die Anfangstemperatur des Wassers beträgt $y_A\mathrm{°C}$ und die Umgebungstemperatur $y_U\mathrm{°C}$ . Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
1. Im ersten Versuch kühlt $95\mathrm{°C}$ heißes Wasser in einem Raum mit einer Umgebungstemperatur von $20\mathrm{°C}$ ab. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Wassertemperatur auf $60\mathrm{°C}$ gesunken ist.
  Minuten
2. Im zweiten Versuch kühlt $72\mathrm{°C}$ heißes Wasser in einem ersten Raum mit einer Umgebungstemperatur von $18\mathrm{°C}$ für $3$ Minuten ab. Anschließend wird der Abkühlvorgang in einem zweiten Raum für weitere $8$ Minuten fortgesetzt, bis das Wasser eine Temperatur von $39\mathrm{°C}$ besitzt. Berechnen Sie die Umgebungstemperatur im zweiten Raum.
  °C
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das gleichschenklige Dreieck $ABC$ mit der Basis $[BC]$ und der Höhe $[AM]$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCS$ mit der Spitze $S$ . Der Punkt $D \in [AM]$ ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe $[DS]$ , die senkrecht auf der Grundfläche steht.
Es gilt: $\overline{AM}=8 \ \text{cm};\overline{BC}=10\ \text{cm};\;\overline{AD}=4{,}5\ \text{cm};\overline{DS}=8{,}5\ \text{cm}.$
Die untenstehende Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $ABCS$ .
In der Zeichnung gilt: $q=\frac12;\;\;\omega=45^\circ$ . $[AM]$ liegt auf der Schrägbildachse.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Berechnen Sie das Maß des Winkels $\angle MAC$ .
  [Ergebnis: $\angle MAC=32{,}01^\circ$ ]
2. Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[DS]$ . Die Winkel $\angle DAP_n$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in\rbrack\;0^\circ;\;62{,}10^\circ\lbrack$ .
  Zeichnen Sie den Punkt $P_1$ und die Strecke $[AP_1]$ für $\varphi=40°$ in das Schrägbild zur Pyramide in der Aufgabenstellung ein.
3. Durch die Punkte $P_n$ verlaufen zur Grundfläche $ABC$ parallele Ebenen, die die Kanten der Pyramide $ABCS$ in Punkten $E_n\in\lbrack AS\rbrack$ , $F_n\in\lbrack BS\rbrack$ und $G_n\in\lbrack CS\rbrack$ und die Strecke $[MS]$ in Punkten $N_n$ schneiden. Die Dreiecke $E_nF_nG_n$ sind die Grundflächen von Pyramiden $E_nF_nG_nD$ mit der Spitze $D$ .
  Zeichnen Sie die Pyramide $E_1F_1G_1D$ und den Punkt $N_1$ in das Schrägbild zur Pyramide in der Aufgabenstellung ein.
4. Berechnen Sie die Längen der Strecken $[DP_n]$ und $[E_nN_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ .
  [Ergebnisse: $\overline{DP_n}(\varphi)=4{,}5\cdot\tan\left(\varphi\right)\ \text{cm};\;\overline{E_nN_n}(\varphi)=(8-4{,}24\cdot\tan\left(\varphi\right))\ \text{cm}$ ].
5. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide $E_1F_1G_1D$ .
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind Dreiecke $AB_nC$ mit der Seitenlänge $\overline{AC}=4\ \text{cm}$ . Die Winkel $B_nAC$ haben das Maß $\alpha$ mit $\alpha\in\rbrack0^\circ;\;60^\circ\lbrack$ . Das Maß der Winkel $ACB_n$ ist doppelt so groß wie das Maß der Winkel $B_nAC$ .
1. Ergänzen Sie die Zeichnung zum Dreieck $AB_1C$ für $\alpha=50^\circ$
2. Bestimmen Sie die Länge der Strecken $[B_nC]$ in Abhängigkeit von $\alpha$ und vereinfachen Sie mithilfe einer Supplementbeziehung.
3. Das Dreieck $AB_2C$ ist gleichschenklig mit der Basis $[AB_2]$ . Begründen Sie, dass das Dreieck $AB_2C$ rechtwinklig ist.

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