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Das bei AA rechtwinklige Dreieck ABCABC ist die Grundfläche der Pyramide ABCSABCS mit der Spitze SS. Der Punkt F[AC]F\in[AC] ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe [FS][FS], die senkrecht auf der Grundfläche ABCABC steht.

Es gilt: AC=9  cm;BC=11  cm;AF=2  cm;FS=7  cm;\overline{AC}=9\;\text{cm}; \overline{BC}=11\;\text{cm}; \overline{AF}=2\;\text{cm}; \overline{FS}=7\;\text{cm};

Die untenstehende Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCSABCS. In der Zeichnung gilt: q=12;ω=45.q=\frac{1}{2}; \omega=45^\circ. [AC][AC] liegt auf der Schrägbildachse.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Bild
  1. Berechnen Sie das Maß des Winkels CASCAS.

    [Ergebnis: CAS=74,05\sphericalangle CAS=74{,}05^\circ]

  2. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [AS][AS]. Die Winkel PnCAP_n CA haben das Maß φ \varphi mit φ ]0;45]\varphi\in\ ]0^\circ;45^\circ]. Das Dreieck ABCABC ist die Grundfläche der Pyramiden ABCPnABCP_n mit den Spitzen PnP_n und den Höhen [PnTn][P_nT_n]. Zeichnen Sie die Pyramide ABCP1ABCP_1 sowie deren Höhe [P1T1][P_1T_1] für φ=20\varphi =20^\circin das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein.

  3. Begründen Sie die obere Intervallgrenze für φ\varphi.

  4. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [CPn][CP_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

    CPn(φ)=8,65sin(74,05+φ)  cm\overline{CP_n}(\varphi)=\dfrac{8{,}65}{\sin(74{,}05^\circ+\varphi)}\;\text{cm}.

  5. Berechnen Sie das Volumen VV der Pyramiden ABCPnABCP_n in Abhängigkeit von φ\varphi.