Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Das bei $A$ rechtwinklige Dreieck $ABC$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCS$ mit der Spitze $S$ . Der Punkt $F\in[AC]$ ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe $[FS]$ , die senkrecht auf der Grundfläche $ABC$ steht.

Es gilt: $\overline{AC}=9\;\text{cm}; \overline{BC}=11\;\text{cm}; \overline{AF}=2\;\text{cm}; \overline{FS}=7\;\text{cm};$

Die untenstehende Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $ABCS$ . In der Zeichnung gilt: $q=\frac{1}{2}; \omega=45^\circ.$ $[AC]$ liegt auf der Schrägbildachse.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie das Maß des Winkels $CAS$ .
[Ergebnis: $\sphericalangle CAS=74{,}05^\circ$ ]

$\tan\left(\measuredangle CAS\right)=\dfrac{\;\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\dfrac{\overline{FS}}{\overline{AF}}$
$\tan\left(\measuredangle CAS\right)=\dfrac{7\;\text{cm}}{2\;\text{cm}}=3{,}5\;|\tan^{-1}$
$\measuredangle CAS\approx74{,}05^\circ$
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Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[AS]$ . Die Winkel $P_n CA$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in\ ]0^\circ;45^\circ]$ . Das Dreieck $ABC$ ist die Grundfläche der Pyramiden $ABCP_n$ mit den Spitzen $P_n$ und den Höhen $[P_nT_n]$ . Zeichnen Sie die Pyramide $ABCP_1$ sowie deren Höhe $[P_1T_1]$ für $\varphi =20^\circ$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein.

Zeichnung der Pyramide $ABCP_1$ :
Dabei ist zu wissen, dass
$\measuredangle P_1CA=\varphi=20^\circ$ ist.
Wir zeichnen also einen 20°-Winkel bei C (rot). Dort, wo die Gerade (rot) die Seite [AS] schneidet, befindet sich der Punkt $P_1$ .
Nun verbinden wir die Eckpunkte der Pyramide miteinander (siehe nächste Abbildung).
Da der Winkel $CFS =90^\circ$ ist, steht die dreieckige Seitenfläche $ACS$ (hellblau) senkrecht auf der dreieckigen Seitenfläche $ABC$ (dunkelblau), daher muss der Fußpunkt $T$ auf der Seite [AC] liegen.
Wir zeichnen eine Senkrechte (rot) durch den Punkt $P_1$ auf [AC]. Der Schnittpunkt der Senkrechten mit der Seite [AC] ist der Fußpunkt $T_1$ .
Nun verbinden wir noch alle Eckpunkte der Pyramide miteinander.
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Begründen Sie die obere Intervallgrenze für $\varphi$ .

Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[CP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$\overline{CP_n}(\varphi)=\dfrac{8{,}65}{\sin(74{,}05^\circ+\varphi)}\;\text{cm}$ .

Die Länge der Strecken [ $CP_n$ ] in Abhängigkeit von $\varphi$ im Dreieck $ACP_n$ mit Hilfe des Sinussatzes:

Für den Sinussatz benötige ich noch den Winkel $\measuredangle AP_nC=180^\circ-\left(\varphi+74{,}05^\circ\right)$

Dabei ist $\measuredangle CAS\approx74{,}05^\circ$ .

Hinweis für die Gleichung (vorletzte Zeile): Wegen der Symmetrie der Sinusfunktion zu $90^\circ$ ist $\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\left(\alpha\right).$ Wir können folglich die $180^\circ$ und das Minus wegfallen lassen!
	↓
$\displaystyle \frac{\overline{CP_n}}{\sin\left(\measuredangle CAS\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\sin\left(\measuredangle AP_nC\right)}$
$\displaystyle \frac{\overline{CP_n}}{\sin\left(74{,}05^{\circ}\right)}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{9\;\text{cm}}{\sin\left(180^\circ-\left(\varphi+74{,}05^\circ\right)\right)}$	$\displaystyle \cdot \sin \left(74{,}05^{\circ }\right)$
$\displaystyle \overline{CP_n}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{9\;\text{cm}\cdot\sin\left(74{,}05^\circ\right)}{\sin\left(180°-\left(\varphi+74{,}05°\right)\right)}$
$\displaystyle \overline{CP_n}$	$≈$	$\displaystyle \dfrac{8{,}65\;\text{cm}}{\sin\left(180^\circ-\left(\varphi+74{,}05^\circ\right)\right)}$
$\displaystyle \overline{CP_n}$	$≈$	$\displaystyle \dfrac{8{,}65}{\sin\left(74{,}05^\circ+\varphi\right)}\;\text{cm}$

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Berechnen Sie das Volumen $V$ der Pyramiden $ABCP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ .

Die dreieckige Grundfläche ( $G=\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}$ )

$\overline{AB}$ im rechteckigen Dreieck $ABC$ über den Pythagoras:

$\overline{AB}=\sqrt{\overline{BC}^2-\overline{AC}^2}\;\text{cm}=\sqrt{11^2-9^2}\;\text{cm}=\sqrt{121-81}\;\text{cm}=\sqrt{40}\;\text{cm}$ ( $\approx6{,}32\;\text{cm}$ )

$\overline{AC}=9\;\text{cm}$

$G=\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}=\left(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{40}\cdot9\right)\;\text{cm}^2=9\sqrt{10}\;\text{cm}^2$

Die Höhe $h=\overline{P_nT_n}$

$\overline{P_nT_n}$ im rechtwinkligen Dreieck $CP_nT_n$ mithilfe der Trigonometrie:

$\displaystyle \sin\left(\measuredangle P_nCT_n\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \sin\left(\measuredangle P_nCT_n\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{P_nT_n}}{\overline{CP_n}}$	$\displaystyle \cdot\overline{CP_n}$
$\displaystyle \overline{P_nT_n}$	$=$	$\displaystyle \sin\left(\measuredangle P_nCT_n\right)\cdot\overline{CP_n}$
$\displaystyle \overline{P_nT_n}$	$=$	$\displaystyle \left(\sin\varphi\cdot\dfrac{8{,}65}{\sin\left(74{,}05^\circ+\varphi\right)}\right)\;\text{cm}$

Zurück zur allgemeinen Formel - wir setzen die Ergebnisse ein:

$\displaystyle V_{\text{Pyramide}}\left(\varphi\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot G\cdot h$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{10}\cdot\sin\varphi\cdot\dfrac{8{,}65}{\sin\left(74{,}05^\circ+\varphi\right)}\right)\;\text{cm}^3$
	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{82{,}06\cdot\sin\varphi}{\sin\left(74{,}05^\circ+\varphi\right)}\right)\;\text{cm}^3$

SatzErgebnis

Rechnen wir bei der Grundfläche mit dem Wert $\overline{AB}=6{,}32\;\text{cm}$ weiter (und nicht mit $\sqrt{40}$ ), beträgt das Volumen $V\left(\varphi\right)=\left(\dfrac{82{,}00\cdot\sin\varphi}{\sin\left(74{,}05^\circ+\varphi\right)}\right)\;\text{cm}^3$ .

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$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SCA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SCA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{FS}}{\overline{FC}}$
$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SCA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{FS}}{\overline{AC}-\overline{AF}}$
$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SCA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{7cm}{9cm-2cm}$
$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SCA\right)$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \tan^{-1}$
$\displaystyle \left(\measuredangle SCA\right)$	$=$	$\displaystyle 45°$