Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Die Funktion $f_1$ hat die Gleichung $y=\log_3(x-1{,}5)+0{,}5$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ x $\mathbb{R}$ .

Bestimmen Sie die nach y aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu $f_1$

Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} v_x \\ 0 \end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ abgebildet, wobei der Punkt $P(-3| 2{,}5)$ auf dem Graphen zu $f_2$ liegt. Bestimmen Sie durch Rechnung $v_x$ und die Gleichung der Funktion $f_2$ .

In der zweiten Aufgabe sollen wir bestimmen, wie weit wir den Graphen von $f_1$ in $x$ -Richtung verschieben müssen, damit der Punkt $\left(-3|2{,}5\right)$ auf ihm liegt.

Wir benutzen die Abbildungsgleichung der Parallelverschiebung:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\\log_3(x-1{,}5)+0{,}5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}v_x\\0\end{pmatrix}$

Da $P(-3|2{,}5)$ auf dem Graphen von $f_2$ liegen soll, gilt:

$\begin{pmatrix}-3\\2{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+v_x\\\log_3(x-1{,}5)+0{,}5\end{pmatrix}$

Man erhält zwei Gleichungen:

$-3=x+v_x\;\Rightarrow\;x=-3-v_x\;\text{und}\;2{,}5=\log_3(x-1{,}5)+0{,}5$

Setze in die zweite Gleichung $x=-3-v_x$ ein und löse nach $v_x$ auf:

$\displaystyle 2{,}5$	$=$	$\displaystyle \log_3\left(x-1{,}5\right)+0{,}5$	$\displaystyle -0{,}5$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle \log_3\left(x-1{,}5\right)$
	↓	Setze $x=-3-v_x$ ein
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle \log_3\left(-3-v_x-1{,}5\right)$	$\displaystyle 3^{\left(\right)}$
	↓	Löse nach $v_x$ auf.
$\displaystyle 3^2$	$=$	$\displaystyle -4{,}5-v_x$	$\displaystyle +v_x$
$\displaystyle v_x+9$	$=$	$\displaystyle -4{,}5$	$\displaystyle -9$
$\displaystyle v_x$	$=$	$\displaystyle -13{,}5$

Damit haben wir $v_x$ bestimmt.

Für die Gleichung der Funktion $f_2$ folgt dann:

Es ist $x'=x+v_x=x-13{,}5\;\Rightarrow\;x=x'+13{,}5$ .

Andererseits ist $y'=\log_3(x-1{,}5)+0{,}5$ .

Setze $x=x'+13{,}5$ ein:

$y'=\log_3(x'+13{,}5-1{,}5)+0{,}5\;\Rightarrow\;y'=\log_3(x'+12)+0{,}5$

Die Funktionsgleichung von $f_2$ lautet schließlich:

$f_2(x)=\log_3(x+12)+0{,}5$

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Das bei $A$ rechtwinklige Dreieck $ABC$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCS$ mit der Spitze $S$ . Der Punkt $F\in[AC]$ ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe $[FS]$ , die senkrecht auf der Grundfläche $ABC$ steht.

Es gilt: $\overline{AC}=9\;\text{cm}; \overline{BC}=11\;\text{cm}; \overline{AF}=2\;\text{cm}; \overline{FS}=7\;\text{cm};$

Die untenstehende Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $ABCS$ . In der Zeichnung gilt: $q=\frac{1}{2}; \omega=45^\circ.$ $[AC]$ liegt auf der Schrägbildachse.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie das Maß des Winkels $CAS$ .
[Ergebnis: $\sphericalangle CAS=74{,}05^\circ$ ]

$\tan\left(\measuredangle CAS\right)=\dfrac{\;\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\dfrac{\overline{FS}}{\overline{AF}}$
$\tan\left(\measuredangle CAS\right)=\dfrac{7\;\text{cm}}{2\;\text{cm}}=3{,}5\;|\tan^{-1}$
$\measuredangle CAS\approx74{,}05^\circ$
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Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[AS]$ . Die Winkel $P_n CA$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in\ ]0^\circ;45^\circ]$ . Das Dreieck $ABC$ ist die Grundfläche der Pyramiden $ABCP_n$ mit den Spitzen $P_n$ und den Höhen $[P_nT_n]$ . Zeichnen Sie die Pyramide $ABCP_1$ sowie deren Höhe $[P_1T_1]$ für $\varphi =20^\circ$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein.

Zeichnung der Pyramide $ABCP_1$ :
Dabei ist zu wissen, dass
$\measuredangle P_1CA=\varphi=20^\circ$ ist.
Wir zeichnen also einen 20°-Winkel bei C (rot). Dort, wo die Gerade (rot) die Seite [AS] schneidet, befindet sich der Punkt $P_1$ .
Nun verbinden wir die Eckpunkte der Pyramide miteinander (siehe nächste Abbildung).
Da der Winkel $CFS =90^\circ$ ist, steht die dreieckige Seitenfläche $ACS$ (hellblau) senkrecht auf der dreieckigen Seitenfläche $ABC$ (dunkelblau), daher muss der Fußpunkt $T$ auf der Seite [AC] liegen.
Wir zeichnen eine Senkrechte (rot) durch den Punkt $P_1$ auf [AC]. Der Schnittpunkt der Senkrechten mit der Seite [AC] ist der Fußpunkt $T_1$ .
Nun verbinden wir noch alle Eckpunkte der Pyramide miteinander.
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Begründen Sie die obere Intervallgrenze für $\varphi$ .

Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[CP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$\overline{CP_n}(\varphi)=\dfrac{8{,}65}{\sin(74{,}05^\circ+\varphi)}\;\text{cm}$ .

Die Länge der Strecken [ $CP_n$ ] in Abhängigkeit von $\varphi$ im Dreieck $ACP_n$ mit Hilfe des Sinussatzes:

Für den Sinussatz benötige ich noch den Winkel $\measuredangle AP_nC=180^\circ-\left(\varphi+74{,}05^\circ\right)$

Dabei ist $\measuredangle CAS\approx74{,}05^\circ$ .

Hinweis für die Gleichung (vorletzte Zeile): Wegen der Symmetrie der Sinusfunktion zu $90^\circ$ ist $\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\left(\alpha\right).$ Wir können folglich die $180^\circ$ und das Minus wegfallen lassen!
	↓
$\displaystyle \frac{\overline{CP_n}}{\sin\left(\measuredangle CAS\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\sin\left(\measuredangle AP_nC\right)}$
$\displaystyle \frac{\overline{CP_n}}{\sin\left(74{,}05^{\circ}\right)}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{9\;\text{cm}}{\sin\left(180^\circ-\left(\varphi+74{,}05^\circ\right)\right)}$	$\displaystyle \cdot \sin \left(74{,}05^{\circ }\right)$
$\displaystyle \overline{CP_n}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{9\;\text{cm}\cdot\sin\left(74{,}05^\circ\right)}{\sin\left(180°-\left(\varphi+74{,}05°\right)\right)}$
$\displaystyle \overline{CP_n}$	$≈$	$\displaystyle \dfrac{8{,}65\;\text{cm}}{\sin\left(180^\circ-\left(\varphi+74{,}05^\circ\right)\right)}$
$\displaystyle \overline{CP_n}$	$≈$	$\displaystyle \dfrac{8{,}65}{\sin\left(74{,}05^\circ+\varphi\right)}\;\text{cm}$

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Berechnen Sie das Volumen $V$ der Pyramiden $ABCP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ .

Die dreieckige Grundfläche ( $G=\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}$ )

$\overline{AB}$ im rechteckigen Dreieck $ABC$ über den Pythagoras:

$\overline{AB}=\sqrt{\overline{BC}^2-\overline{AC}^2}\;\text{cm}=\sqrt{11^2-9^2}\;\text{cm}=\sqrt{121-81}\;\text{cm}=\sqrt{40}\;\text{cm}$ ( $\approx6{,}32\;\text{cm}$ )

$\overline{AC}=9\;\text{cm}$

$G=\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}=\left(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{40}\cdot9\right)\;\text{cm}^2=9\sqrt{10}\;\text{cm}^2$

Die Höhe $h=\overline{P_nT_n}$

$\overline{P_nT_n}$ im rechtwinkligen Dreieck $CP_nT_n$ mithilfe der Trigonometrie:

$\displaystyle \sin\left(\measuredangle P_nCT_n\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \sin\left(\measuredangle P_nCT_n\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{P_nT_n}}{\overline{CP_n}}$	$\displaystyle \cdot\overline{CP_n}$
$\displaystyle \overline{P_nT_n}$	$=$	$\displaystyle \sin\left(\measuredangle P_nCT_n\right)\cdot\overline{CP_n}$
$\displaystyle \overline{P_nT_n}$	$=$	$\displaystyle \left(\sin\varphi\cdot\dfrac{8{,}65}{\sin\left(74{,}05^\circ+\varphi\right)}\right)\;\text{cm}$

Zurück zur allgemeinen Formel - wir setzen die Ergebnisse ein:

$\displaystyle V_{\text{Pyramide}}\left(\varphi\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot G\cdot h$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{10}\cdot\sin\varphi\cdot\dfrac{8{,}65}{\sin\left(74{,}05^\circ+\varphi\right)}\right)\;\text{cm}^3$
	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{82{,}06\cdot\sin\varphi}{\sin\left(74{,}05^\circ+\varphi\right)}\right)\;\text{cm}^3$

SatzErgebnis

Rechnen wir bei der Grundfläche mit dem Wert $\overline{AB}=6{,}32\;\text{cm}$ weiter (und nicht mit $\sqrt{40}$ ), beträgt das Volumen $V\left(\varphi\right)=\left(\dfrac{82{,}00\cdot\sin\varphi}{\sin\left(74{,}05^\circ+\varphi\right)}\right)\;\text{cm}^3$ .

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Gleichschenklige Trapeze $ABC_nD_n$ haben die parallelen Seiten $[AB]$ und $[C_nD_n]$ . Die Winkel $BAD_n$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in ]53{,}13° ;90°]$

Es gilt: $\overline{AB}=6\;\text{cm};\overline{AD_n}=5\;\text{cm}$ .

Die Zeichnung zeigt das Trapez $ABC_1D_1$ für $\varphi=65°$ .

Zeichnen Sie das Trapez $ABC_2D_2$ für $\varphi=85°$ in die Zeichnung zu 3.0 ein.

In der folgenden Schritt für Schritt Anleitung siehst du wie du das Trapez mit $\varphi=85\degree$ zeichnen kannst.
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Begründen Sie rechnerisch die untere Intervallgrenze für $\varphi$ .

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $ABC_nD_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrisches Trapez
Die Länge $\overline{AB}$ ist schon gegeben. Die Längen $h$ und $\overline{D_nC_n}$ müssen noch berechnet werden.
Zeichne dir hierfür am besten die Höhe $h$ ein. Da sich je nach Winkel $\varphi$ die Höhe so wie $C_n$ und $D_n$ verändern, kannst du sie auch $h_n$ nennen.
Höhe $h_n$ berechnen
Das Dreieck $AE_nD_n$ ist rechtwinklig. Du hast die Seite $\overline{AD_n}$ gegeben. Daher kannst du mit dem Sinus $h_n$ bestimmen.
Auflösen nach $h_n$ und einsetzen von $\overline{AD_n}=5\ \text{cm}$ ergibt:
$\overline{D_nC_n}$ berechnen
Um nun noch die Länge $\overline{D_nC_n}$ zu bestimmen, kannst du erstmal $\overline{AE_n}$ berechnen. Da $\overline{AD_n}$ gegeben ist, kannst du $\overline{AE_n}$ mithilfe des Kosinus bestimmen.
Mit dem Kosinus bekommst du folgende Gleichung:
Auflösen nach $\overline{AE_n}$ und einsetzen von $\overline{AD_n}=5\ \text{cm}$ ergibt:
Mit der Länge $\overline{AE_n}$ kannst du endlich die fehlende Länge $\overline{D_nC_n}$ berechnen. Sie ergibt sich (wie du aus dem Bild erkennen kannst) aus der Gleichung:
Nun musst du noch nach $\overline{D_nC_n}$ auflösen:
Jetzt alles einsetzen:
Flächeninhalt bestimmen
Jetzt hast du alle Längen, um den Flächeninhalt des Trapezes zu bestimmen.
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} A_{ABC_nD_n}&=&\dfrac{\overline{AB}+\overline{D_nC_n}}{2}\cdot h\\&=&\dfrac{6\;\text{cm}+6\;\text{cm}-10\;\text{cm}\cdot \cos\varphi}{2}\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=&\dfrac{12\;\text{cm}-10\;\text{cm}\cdot \cos\varphi}{2}\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=&\dfrac{2\cdot (6\;\text{cm}-5\;\text{cm}\cdot \cos\varphi)}{2}\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=& (6\;\text{cm}-5\;\text{cm}\cdot \cos\varphi)\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=& 30\;\text{cm}^2\cdot\sin\varphi-25\;\text{cm}^2\cdot \cos\varphi\cdot \sin\varphi\\& =&(30\cdot \sin\varphi-25\cdot \cos\varphi\cdot \sin\varphi)\;\text{cm}^2\end{array}$
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Den Flächeninhalt des gleischenkligen Trapez bestimmst du über die Formel:
$A_{ABC_nD_n}=\dfrac{\overline{AB}+\overline{D_nC_n}}{2}\cdot h$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_3\left(y-1{,}5\right)+0{,}5$	$\displaystyle -0{,}5$
$\displaystyle x-0{,}5$	$=$	$\displaystyle \log_3\left(y-1{,}5\right)$	$\displaystyle 3^{\left(\right)}$
	↓	Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, potenzieren wir die Zahl $3$ auf beiden Seiten der Gleichung.
$\displaystyle 3^{x-0.5}$	$=$	$\displaystyle 3^{\log\left(y-1{,}5\right)}$
$\displaystyle 3^{x-0{,}5}$	$=$	$\displaystyle y-1{,}5$

$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SCA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SCA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{FS}}{\overline{FC}}$
$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SCA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{FS}}{\overline{AC}-\overline{AF}}$
$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SCA\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{7cm}{9cm-2cm}$
$\displaystyle \tan\left(\measuredangle SCA\right)$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \tan^{-1}$
$\displaystyle \left(\measuredangle SCA\right)$	$=$	$\displaystyle 45°$

$\def\arraystretch{2} \displaystyle \begin{array}{rcl}\cos(\varphi)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}=\dfrac{\overline{AE}}{\overline{D_nA}}\end{array}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{5}$
$\displaystyle \varphi$	$≈$	$\displaystyle 53{,}13°$