Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Die Funktion $f_{1}$ hat die Gleichung $y = \log_{3} (x - 1,5) + 0,5$ mit $𝔾 = ℝ$ x $ℝ$ .

Bestimmen Sie die nach y aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu $f_{1}$

Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} v_{x} \\ 0 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet, wobei der Punkt $P (- 3 | 2,5)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ liegt. Bestimmen Sie durch Rechnung $v_{x}$ und die Gleichung der Funktion $f_{2}$ .

In der zweiten Aufgabe sollen wir bestimmen, wie weit wir den Graphen von $f_{1}$ in $x$ -Richtung verschieben müssen, damit der Punkt $(- 3 | 2,5)$ auf ihm liegt.
Wir benutzen die Abbildungsgleichung der Parallelverschiebung:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ \log_{3} (x - 1,5) + 0,5 \end{array}) + (\begin{array}{c} v_{x} \\ 0 \end{array})$
Da $P (- 3 | 2,5)$ auf dem Graphen von $f_{2}$ liegen soll, gilt:
$(\begin{array}{c} - 3 \\ 2,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} x + v_{x} \\ \log_{3} (x - 1,5) + 0,5 \end{array})$
Man erhält zwei Gleichungen:
$- 3 = x + v_{x} \Rightarrow x = - 3 - v_{x} und 2,5 = \log_{3} (x - 1,5) + 0,5$
Setze in die zweite Gleichung $x = - 3 - v_{x}$ ein und löse nach $v_{x}$ auf:
$2,5$ $=$ $\log_{3} (x - 1,5) + 0,5$ $- 0,5$
$2$ $=$ $\log_{3} (x - 1,5)$
↓
Setze $x = - 3 - v_{x}$ ein
$2$ $=$ $\log_{3} (- 3 - v_{x} - 1,5)$ $3^{()}$
↓
Löse nach $v_{x}$ auf.
$3^{2}$ $=$ $- 4,5 - v_{x}$ $+ v_{x}$
$v_{x} + 9$ $=$ $- 4,5$ $- 9$
$v_{x}$ $=$ $- 13,5$
Damit haben wir $v_{x}$ bestimmt.
Für die Gleichung der Funktion $f_{2}$ folgt dann:
Es ist $x^{'} = x + v_{x} = x - 13,5 \Rightarrow x = x^{'} + 13,5$ .
Andererseits ist $y^{'} = \log_{3} (x - 1,5) + 0,5$ .
Setze $x = x^{'} + 13,5$ ein:
$y^{'} = \log_{3} (x^{'} + 13,5 - 1,5) + 0,5 \Rightarrow y^{'} = \log_{3} (x^{'} + 12) + 0,5$
Die Funktionsgleichung von $f_{2}$ lautet schließlich:
$f_{2} (x) = \log_{3} (x + 12) + 0,5$
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Das bei $A$ rechtwinklige Dreieck $A B C$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C S$ mit der Spitze $S$ . Der Punkt $F \in [A C]$ ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe $[F S]$ , die senkrecht auf der Grundfläche $A B C$ steht.

Es gilt: $A C = 9 cm; B C = 11 cm; A F = 2 cm; F S = 7 cm;$

Die untenstehende Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C S$ . In der Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}; ω = 45^{\circ} .$ $[A C]$ liegt auf der Schrägbildachse.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie das Maß des Winkels $C A S$ .
[Ergebnis: $∢ C A S = {74,05}^{\circ}$ ]

$\tan (∡ C A S) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{F S}{A F}$
$\tan (∡ C A S) = \frac{7 cm}{2 cm} = 3,5 | \tan^{- 1}$
$∡ C A S \approx {74,05}^{\circ}$
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Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[A S]$ . Die Winkel $P_{n} C A$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 0^{\circ}; 45^{\circ}]$ . Das Dreieck $A B C$ ist die Grundfläche der Pyramiden $A B C P_{n}$ mit den Spitzen $P_{n}$ und den Höhen $[P_{n} T_{n}]$ . Zeichnen Sie die Pyramide $A B C P_{1}$ sowie deren Höhe $[P_{1} T_{1}]$ für $φ = 20^{\circ}$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein.

Zeichnung der Pyramide $A B C P_{1}$ :
Dabei ist zu wissen, dass
$∡ P_{1} C A = φ = 20^{\circ}$ ist.
Wir zeichnen also einen 20°-Winkel bei C (rot). Dort, wo die Gerade (rot) die Seite [AS] schneidet, befindet sich der Punkt $P_{1}$ .
Nun verbinden wir die Eckpunkte der Pyramide miteinander (siehe nächste Abbildung).
Da der Winkel $C F S = 90^{\circ}$ ist, steht die dreieckige Seitenfläche $A C S$ (hellblau) senkrecht auf der dreieckigen Seitenfläche $A B C$ (dunkelblau), daher muss der Fußpunkt $T$ auf der Seite [AC] liegen.
Wir zeichnen eine Senkrechte (rot) durch den Punkt $P_{1}$ auf [AC]. Der Schnittpunkt der Senkrechten mit der Seite [AC] ist der Fußpunkt $T_{1}$ .
Nun verbinden wir noch alle Eckpunkte der Pyramide miteinander.
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Begründen Sie die obere Intervallgrenze für $φ$ .

Da $P_{n}$ auf der Seite [AS] liegt, kann der Winkel höchstens dem Winkel $S C A$ entsprechen.
Maß des Winkels $S C A$ im rechtwinkligen Dreieck $C S F$ (blau) mithilfe der Trigonometrie:
$\tan (∡ S C A)$ $=$ $\frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$
$\tan (∡ S C A)$ $=$ $\frac{F S}{F C}$
$\tan (∡ S C A)$ $=$ $\frac{F S}{A C - A F}$
$\tan (∡ S C A)$ $=$ $\frac{7 c m}{9 c m - 2 c m}$
$\tan (∡ S C A)$ $=$ $1$ $\tan^{- 1}$
$(∡ S C A)$ $=$ $45 °$
Das maximale Maß des Winkels $P_{n} C A = φ \leq 45^{\circ}$ .
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Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[C P_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:

$C P_{n} (φ) = \frac{8,65}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)} cm$ .

Berechnen Sie das Volumen $V$ der Pyramiden $A B C P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ .
Die dreieckige Grundfläche ( $G = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C$ )
$A B$ im rechteckigen Dreieck $A B C$ über den Pythagoras:
$A B = \sqrt{{B C}^{2} - {A C}^{2}} cm = \sqrt{11^{2} - 9^{2}} cm = \sqrt{121 - 81} cm = \sqrt{40} cm$ ( $\approx 6,32 cm$ )
$A C = 9 cm$
$G = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C = (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{40} \cdot 9) {cm}^{2} = 9 \sqrt{10} {cm}^{2}$
Die Höhe $h = P_{n} T_{n}$
$P_{n} T_{n}$ im rechtwinkligen Dreieck $C P_{n} T_{n}$ mithilfe der Trigonometrie:
$\sin (∡ P_{n} C T_{n})$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (∡ P_{n} C T_{n})$ $=$ $\frac{P_{n} T_{n}}{C P_{n}}$ $\cdot C P_{n}$
$P_{n} T_{n}$ $=$ $\sin (∡ P_{n} C T_{n}) \cdot C P_{n}$
$P_{n} T_{n}$ $=$ $(\sin φ \cdot \frac{8,65}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)}) cm$
Zurück zur allgemeinen Formel - wir setzen die Ergebnisse ein:
$V_{Pyramide} (φ)$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
$=$ $(\frac{1}{3} \cdot 9 \sqrt{10} \cdot \sin φ \cdot \frac{8,65}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)}) {cm}^{3}$
$=$ $(\frac{82,06 \cdot \sin φ}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)}) {cm}^{3}$
SatzErgebnis
Rechnen wir bei der Grundfläche mit dem Wert $A B = 6,32 cm$ weiter (und nicht mit $\sqrt{40}$ ), beträgt das Volumen $V (φ) = (\frac{82,00 \cdot \sin φ}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)}) {cm}^{3}$ .
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Das Volumen der Pyramide $A B C P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ :
Allgemein: $V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gleichschenklige Trapeze $A B C_{n} D_{n}$ haben die parallelen Seiten $[A B]$ und $[C_{n} D_{n}]$ . Die Winkel $B A D_{n}$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 53,13 °; 90 °]$
Es gilt: $A B = 6 cm; A D_{n} = 5 cm$ .
Die Zeichnung zeigt das Trapez $A B C_{1} D_{1}$ für $φ = 65 °$ .
1. Zeichnen Sie das Trapez $A B C_{2} D_{2}$ für $φ = 85 °$ in die Zeichnung zu 3.0 ein.
  
  In der folgenden Schritt für Schritt Anleitung siehst du wie du das Trapez mit $φ = 85 °$ zeichnen kannst.
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2. Begründen Sie rechnerisch die untere Intervallgrenze für $φ$ .
  
  Verringert man den Winkel $φ$ , so verringert sich die Seitenlänge $C_{n} D_{n}$ immer mehr. So verändert sich das gleischschenklige Trapez "irgendwann" zu einem gleichschenkligen Dreieck. Also ist die Untergrenze von $φ$ der Winkel, bei dem das Trapez zu einem Dreieck wird.
  Um herauszufinden, für welchen Winkel $φ$ aus dem Trapez ein Dreieck wird, hilft dir folgendes Bild:
  Die Höhe $h$ des Dreiecks halbiert die Seite $[A B]$ , daher ist $A E = E B = 3 cm$ .
  Mithilfe des Kosinus kannst du nun den gesuchten Winkel $φ$ bestimmen:
  $\begin{array}{rcl} \cos (φ) = \frac{Ankathete}{Hypothenuse} = \frac{A E}{D_{n} A} \end{array}$ $=$ $\frac{3}{5}$
  $φ$ $\approx$ $53,13 °$
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3. Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $A B C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrisches Trapez
  Die Länge $A B$ ist schon gegeben. Die Längen $h$ und $D_{n} C_{n}$ müssen noch berechnet werden.
  Zeichne dir hierfür am besten die Höhe $h$ ein. Da sich je nach Winkel $φ$ die Höhe so wie $C_{n}$ und $D_{n}$ verändern, kannst du sie auch $h_{n}$ nennen.
  Höhe $h_{n}$ berechnen
  Das Dreieck $A E_{n} D_{n}$ ist rechtwinklig. Du hast die Seite $A D_{n}$ gegeben. Daher kannst du mit dem Sinus $h_{n}$ bestimmen.
  $\begin{array}{rcl} \sin φ & = & \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} \\ = & \frac{h_{n}}{A D_{n}} \end{array}$
  Auflösen nach $h_{n}$ und einsetzen von $A D_{n} = 5 cm$ ergibt:
  $\begin{array}{rcl} h_{n} & = & \sin (φ) \cdot A D_{n} \\ = & 5 cm \cdot \sin φ \end{array}$
  $D_{n} C_{n}$ berechnen
  Um nun noch die Länge $D_{n} C_{n}$ zu bestimmen, kannst du erstmal $A E_{n}$ berechnen. Da $A D_{n}$ gegeben ist, kannst du $A E_{n}$ mithilfe des Kosinus bestimmen.
  Mit dem Kosinus bekommst du folgende Gleichung:
  $\begin{array}{rcl} \cos φ & = & \frac{Ankathete}{Hypotenuse} \\ = & \frac{A E_{n}}{A D_{n}} \end{array}$
  Auflösen nach $A E_{n}$ und einsetzen von $A D_{n} = 5 cm$ ergibt:
  $\begin{array}{rcl} A E_{n} & = & A D_{n} \cdot \cos φ \\ = & 5 cm \cdot \cos φ \end{array}$
  Mit der Länge $A E_{n}$ kannst du endlich die fehlende Länge $D_{n} C_{n}$ berechnen. Sie ergibt sich (wie du aus dem Bild erkennen kannst) aus der Gleichung:
  $\begin{array}{rcl} A B = A E_{n} + D_{n} C_{n} + A E_{n} = D_{n} C_{n} + 2 \cdot A E_{n} \end{array}$
  Nun musst du noch nach $D_{n} C_{n}$ auflösen:
  $\begin{array}{rcl} A B & = & D_{n} C_{n} + 2 \cdot A E_{n} \\ A B - 2 \cdot A E_{n} & = & D_{n} C_{n} \end{array}$
  Jetzt alles einsetzen:
  $\begin{array}{rcl} D_{n} C_{n} & = & 6 cm - 2 \cdot 5 cm \cdot \cos φ \\ = & 6 cm - 10 cm \cdot \cos φ \end{array}$
  Flächeninhalt bestimmen
  Jetzt hast du alle Längen, um den Flächeninhalt des Trapezes zu bestimmen.
  $\begin{array}{rcl} A_{A B C_{n} D_{n}} & = & \frac{A B + D_{n} C_{n}}{2} \cdot h \\ = & \frac{6 cm + 6 cm - 10 cm \cdot \cos φ}{2} \cdot 5 cm \cdot \sin φ \\ = & \frac{12 cm - 10 cm \cdot \cos φ}{2} \cdot 5 cm \cdot \sin φ \\ = & \frac{2 \cdot (6 cm - 5 cm \cdot \cos φ)}{2} \cdot 5 cm \cdot \sin φ \\ = & (6 cm - 5 cm \cdot \cos φ) \cdot 5 cm \cdot \sin φ \\ = & 30 {cm}^{2} \cdot \sin φ - 25 {cm}^{2} \cdot \cos φ \cdot \sin φ \\ = & (30 \cdot \sin φ - 25 \cdot \cos φ \cdot \sin φ) {cm}^{2} \end{array}$
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  Den Flächeninhalt des gleischenkligen Trapez bestimmst du über die Formel:
  $A_{A B C_{n} D_{n}} = \frac{A B + D_{n} C_{n}}{2} \cdot h$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Hinweis für die Gleichung (vorletzte Zeile): Wegen der Symmetrie der Sinusfunktion zu $90^{\circ}$ ist $\sin (180^{\circ} - α) = \sin (α) .$ Wir können folglich die $180^{\circ}$ und das Minus wegfallen lassen!
	↓
$\frac{C P_{n}}{\sin (∡ C A S)}$	$=$	$\frac{A C}{\sin (∡ A P_{n} C)}$
$\frac{C P_{n}}{\sin ({74,05}^{\circ})}$	$=$	$\frac{9 cm}{\sin (180^{\circ} - (φ + {74,05}^{\circ}))}$	$\cdot \sin ({74,05}^{\circ})$
$C P_{n}$	$=$	$\frac{9 cm \cdot \sin ({74,05}^{\circ})}{\sin (180 ° - (φ + 74,05 °))}$
$C P_{n}$	$\approx$	$\frac{8,65 cm}{\sin (180^{\circ} - (φ + {74,05}^{\circ}))}$
$C P_{n}$	$\approx$	$\frac{8,65}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)} cm$

$x$	$=$	$\log_{3} (y - 1,5) + 0,5$	$- 0,5$
$x - 0,5$	$=$	$\log_{3} (y - 1,5)$	$3^{()}$
	↓	Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, potenzieren wir die Zahl $3$ auf beiden Seiten der Gleichung.
$3^{x - 0.5}$	$=$	$3^{\log (y - 1,5)}$
$3^{x - 0,5}$	$=$	$y - 1,5$

$2,5$	$=$	$\log_{3} (x - 1,5) + 0,5$	$- 0,5$
$2$	$=$	$\log_{3} (x - 1,5)$
	↓	Setze $x = - 3 - v_{x}$ ein
$2$	$=$	$\log_{3} (- 3 - v_{x} - 1,5)$	$3^{()}$
	↓	Löse nach $v_{x}$ auf.
$3^{2}$	$=$	$- 4,5 - v_{x}$	$+ v_{x}$
$v_{x} + 9$	$=$	$- 4,5$	$- 9$
$v_{x}$	$=$	$- 13,5$

$\tan (∡ S C A)$	$=$	$\frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$
$\tan (∡ S C A)$	$=$	$\frac{F S}{F C}$
$\tan (∡ S C A)$	$=$	$\frac{F S}{A C - A F}$
$\tan (∡ S C A)$	$=$	$\frac{7 c m}{9 c m - 2 c m}$
$\tan (∡ S C A)$	$=$	$1$	$\tan^{- 1}$
$(∡ S C A)$	$=$	$45 °$

$\sin (∡ P_{n} C T_{n})$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (∡ P_{n} C T_{n})$	$=$	$\frac{P_{n} T_{n}}{C P_{n}}$	$\cdot C P_{n}$
$P_{n} T_{n}$	$=$	$\sin (∡ P_{n} C T_{n}) \cdot C P_{n}$
$P_{n} T_{n}$	$=$	$(\sin φ \cdot \frac{8,65}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)}) cm$

$V_{Pyramide} (φ)$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
	$=$	$(\frac{1}{3} \cdot 9 \sqrt{10} \cdot \sin φ \cdot \frac{8,65}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)}) {cm}^{3}$
	$=$	$(\frac{82,06 \cdot \sin φ}{\sin ({74,05}^{\circ} + φ)}) {cm}^{3}$

$\begin{array}{rcl} \cos (φ) = \frac{Ankathete}{Hypothenuse} = \frac{A E}{D_{n} A} \end{array}$	$=$	$\frac{3}{5}$
$φ$	$\approx$	$53,13 °$

Nachtermin Teil A

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