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Aufgaben
1.0 Die Funktion f1f_1 hat die Gleichung y=log3(x1,5)+0,5y=\log_3(x-1,5)+0,5 mit G=R\mathbb{G}=\mathbb{R}xR \mathbb{R}.
1.1 Bestimmen Sie die nach y aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu f1f_1.
1.2 Der Graph der Funktion f1f_1 wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor v=(vx0)\vec{v}=\begin{pmatrix} v_x \\ 0 \end{pmatrix} auf den Graphen der Funktion f2f_2 abgebildet, wobei der Punkt P(32,5)P(-3| 2,5) auf dem Graphen zu f2f_2 liegt. Bestimmen Sie durch Rechnung vxv_x und die Gleichung der Funktion f2f_2.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmusfunktion

Lösung zu 1.1


Das Ziel der ersten Aufgabe ist es, die gegebene Gleichung so umzuformen, dass xx in Abhängigkeit von yy ausgedrückt wird. Dazu müssen wir den Term auf der rechten Seite von "außen" nach "innen" auflösen.
Die äußerste Funktion auf der rechten Seite ist der Logarithmus zur Basis 33. Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, potenzieren wir die Zahl 33 mit beiden Seiten der Gleichung und bekommen:
3y3^y==3log3(x1,5)3^{\log_3\left(x-1,5\right)}
3y3^y==x1.5x-1.5
Jetzt müssen wir noch auf beiden Seiten 1,5 addieren. Die gesuchte Gleichung lautet dann:
x=3y+1,5\displaystyle x=3^y+1,5

Lösung zu 1.2


In der zweiten Aufgabe sollen wir bestimmen, wie weit wir den Graphen von f1f_1 in xx-Richtung verschieben müssen, damit der Punkt (3,2.5)\left(-3,2.5\right) auf ihm liegt. Die Funktion f2f_2 mit dem um (vx0)\begin{pmatrix} v_x \\ 0 \end{pmatrix} verschobenen Graphen ist
f2(x)=f1(xvx)=log3(xvx1,5).\displaystyle f_2(x)=f_1(x-v_x)=log_3(x-v_x -1,5).
Da P=(3,2.5)P=(-3,2.5) auf dem Graphen von f2f_2 liegen soll, gilt
2,5=f2(3)=log3(vx4,5).\displaystyle 2,5=f_2(-3)=log_3(-v_x-4,5).
Diese Gleichung können wir ähnlich wie vorher nach vxv_x auflösen. Zuerst potenzieren wir 33 wieder mit beiden Seiten der Gleichung:
32,53^{2,5}==3log3(vx4,5)3^{log_3(-v_x-4,5)}
32,53^{2,5}==vx4,5-v_x-4,5
Danach addieren wir auf beiden Seiten 4,54,5 und multiplizieren mit 1-1:
vx=4,532,5=4,593\displaystyle v_x =-4,5-3^{2,5}=-4,5-9 \sqrt3
Damit haben wir vxv_x bestimmt. Die Funktionsgleichung von f2f_2 lautet schließlich
f2(x)=log3(x(4,593)1,5)=log3(x+3+93).\displaystyle f_2(x)=log_3(x-(-4,5-9 \sqrt3)-1,5)=log_3(x+3+9 \sqrt3).
2.0 Das bei A rechtwinklige Dreieck ABC ist die Grundfläche der Pyramide ABCS mit der Spitze S. Der Punkt F[AC]F\in[AC] ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe [FS][FS], die senkrecht auf der Grundfläche ABC steht.
Es gilt: AC=9cm;BC=11cm;AF=2cm;FS=7cm;\overline{AC}=9cm; \overline{BC}=11cm; \overline{AF}=2cm; \overline{FS}=7cm;
Die untenstehende Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCS. In der Zeichnung gilt: q=12;ω=45°.q=\frac{1}{2}; \omega=45°. [AC][AC] liegt auf der Schrägbildachse.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Pyramide
2.1 Berechnen Sie das Maß des Winkels CAS.
[Ergebnis: CAS=74,05°\sphericalangle CAS=74,05°]
2.2 Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [AS][AS]. Die Winkel PnCAP_n CA haben das Maß φ \varphi mit φ ]0°;45°]\varphi\in\ ]0°;45°]. Das Dreieck ABC ist die Grundfläche der Pyramiden ABCPnABCP_n mit den Spitzen PnP_n und den Höhen [PnTn][P_nT_n]. Zeichnen Sie die Pyramide ABCP1ABCP_1 sowie deren Höhe [P1T1][P_1T_1] für φ=20°\varphi =20°in das Schrägbild zu 2.0 ein.
2.3 Begründen Sie die obere Intervallgrenze für φ\varphi.
2.4 Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [CPn][CP_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:
CPn(φ)=8,65sin(74,05°+φ)\overline {CP_n}(\varphi)=\frac{8,65}{\sin(74,05°+\varphi)} cm.

2.5 Berechnen Sie das Volumen V der Pyramiden ABCPnABCP_n in Abhängigkeit von φ\varphi.
3.0 Gleichschenklige Trapeze ABCnDnABC_nD_n haben die parallelen Seiten [AB][AB] und [CnDn][C_nD_n]. Die Winkel BADnBAD_n haben das Maß φ\varphi mit φ]53,13°;90°]\varphi \in ]53,13° ;90°]
Es gilt: AB=6 cm;ADn=5 cm\overline{AB}=6\ cm;\overline{AD_n}=5\ cm.
Die Zeichnung zeigt das Trapez ABC1D1ABC_1D_1 für φ=65°\varphi=65°.
Gleichschenkliges Trapez
3.1 Zeichnen Sie das Trapez ABC2D2ABC_2D_2 für φ=85°\varphi=85° in die Zeichnung zu 3.0 ein.
3.2 Begründen Sie rechnerisch die untere Intervallgrenze für φ\varphi.
3.3 Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Trapeze ABCnDnABC_nD_n in Abhängigkeit von φ\varphi.

Aufgabenlösung 3.1

In der folgenden Schritt für Schritt Anleitung siehst du wie du das Trapez mit φ=85°\varphi=85\degree zeichnen kannst.
GeoGebra

Aufgabenlösung 3.2

Verringert man den Winkel φ\varphi, so verringert sich die Seitenlänge CnDn\overline{C_nD_n} immer mehr. So verändert sich das gleischschenklige Trapez "irgendwann" zu einem gleichschenkligen Dreieck. Also ist die Untergrenze von φ\varphi der Winkel, bei dem das Trapez zu einem Dreieck wird.
Zieh am Schieberegler, um den Winkel φ\varphi in der Animation zu verändern.
GeoGebra
Um herauszufinden, für welchen Winkel φ\varphi aus dem Trapez ein Dreieck wird, hilft dir folgendes Bild:
Die Höhe hh des Dreiecks halbiert die Seite [AB][AB], daher ist AE=EB=3cm\overline{AE}=\overline{EB}=3\text{cm}.
Mithilfe des Kosinus kannst du nun den gesuchten Winkel φ\varphi bestimmen:
cos(φ)=AnkatheteHypothenuse=AEDnA=35\displaystyle \begin{array}{rcl}\cos(\varphi)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}=\dfrac{\overline{AE}}{\overline{D_nA}}=\dfrac{3}{5}\end{array}
φ53,13°\displaystyle \varphi\approx53,13°

Aufgabenlösung 3.3

Den Flächeninhalt des gleischenkligen Trapez bestimmst du über die Formel:
AABCnDn=AB+DnCn2h\displaystyle A_{ABC_nD_n}=\dfrac{\overline{AB}+\overline{D_nC_n}}{2}\cdot h
Die Länge AB\overline{AB} ist schon gegeben. Die Längen hh und DnCn\overline{D_nC_n} müssen noch berechnet werden.
Zeichne dir hierfür am Besten die Höhe hh ein. Da sich je nach Winkel φ\varphi die Höhe so wie CnC_n und DnD_n verändern, kannst du sie auch hnh_n nennen.

Höhe hnh_n berechnen

Das Dreieck AEnDnAE_nD_n ist rechtwinklig. Du hast die Seite ADn\overline{AD_n} gegeben. Daher kannst du mit dem Sinus hnh_n bestimmen.
sinφ=GegenkatheteHypotenuse=hnADn\displaystyle \begin{array}{rcl}\sin \varphi &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\\ &=&\dfrac{h_n}{\overline{AD_n}}\end{array}
Auflösen nach hnh_n und einsetzen von ADn=5 cm\overline{AD_n}=5\ \text{cm} ergibt:
hn=sin(φ)ADn=5 cmsinφ\displaystyle \begin{array}{rcl} h_n&=&\sin(\varphi)\cdot\overline{AD_n}\\&=&5\ \text{cm}\cdot\sin\varphi\end{array}

DnCn\overline{D_nC_n} berechnen

Um nun noch die Länge DnCn\overline{D_nC_n} zu bestimmen, kannst du erstmal AEn\overline{AE_n} berechnen. Da ADn\overline{AD_n} gegeben ist, kannst du AEn\overline{AE_n} mithilfe des Kosinus bestimmen.
Mit dem Kosinus bekommst du folgende Gleichung:
cosφ=AnkatheteHypotenuse=AEnADn\displaystyle \begin{array}{rcl}\cos\varphi &=& \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\\ \\ &=&\dfrac{\overline{AE_n}}{\overline{AD_n}}\end{array}
Auflösen nach AEn\overline{AE_n} und einsetzen von ADn=5 cm\overline{AD_n}=5\ \text{cm} ergibt:
AEn=ADncosφ=5 cmcosφ\displaystyle \begin{array}{rcl}\overline{AE_n}&=&\overline{AD_n}\cdot\cos\varphi\\&=&5\ \text{cm}\cdot\cos\varphi\end{array}
Du kannst ADn\overline{AD_n} auch mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen. Das ist aber leider etwas komplexer.
ADn2=AEn2+hn2AEn2=ADn2hn2AEn2=(5  cm)2(5  cmsinφ)2AEn2=25  cm225  cm2(sinφ)2AEn2=25  cm2(1(sinφ)2)AEn=±25  cm2(1(sinφ)2)AEn=±5  cm1(sinφ)2\displaystyle \begin{array}{rcl}\overline{AD_n}^2&=&\overline{AE_n}^2+h_n^2 \\ \overline{AE_n}^2&=&\overline{AD_n}^2-h_n^2 \\\overline{AE_n}^2&=&(5\;\text{cm})^2- (5\;\text{cm}\cdot\sin\varphi)^2\\\overline{AE_n}^2&=&25\;\text{cm}^2- 25\;\text{cm}^2\cdot(\sin\varphi)^2 \\\overline{AE_n}^2&=&25\;\text{cm}^2\cdot(1- (\sin\varphi)^2)\\\overline{AE_n}&=&\pm \sqrt{25\;\text{cm}^2\cdot(1- (\sin\varphi)^2)}\\\overline{AE_n}&=&\pm 5\;\text{cm}\cdot\sqrt{1- (\sin\varphi)^2}\end{array}
Hier wird es schwierig. Anhand einer Formelsammlung kannst du nun herausfinden, dass 1(sinφ)2=cosφ\sqrt{1-(\sin\varphi)^2}=\cos\varphi gilt und dann bekommst du:
AEn=±5  cm1(sinφ)2AEn=±5  cmcosφ\displaystyle \begin{array}{rcl}\overline{AE_n}&=&\pm 5\;\text{cm}\cdot\sqrt{1- (\sin\varphi)^2}\\ \overline{AE_n}&=&\pm 5\;\text{cm}\cdot\cos\varphi\end{array}
Da diese Formel jedoch nicht sehr geläufig ist und nicht in allen Formelsammlungen vorkommt, ist es sehr viel leichter mit dem Kosinus auf ADn\overline{AD_n} zu kommen.
Mit der Länge AEn\overline{AE_n} kannst du endlich die fehlende Länge DnCn\overline{D_nC_n} berechnen. Sie ergibt sich (wie du aus dem Bild erkennen kannst) aus der Gleichung
AB=AEn+DnCn+AEn=DnCn+2AEn\displaystyle \begin{array}{rcl}\overline{AB}=\textcolor{ff6600}{\overline{AE_n}}+\textcolor{009999}{\overline{D_nC_n}}+\textcolor{ff6600}{\overline{AE_n}}=\textcolor{009999}{\overline{D_nC_n}}+2\cdot\textcolor{ff6600}{\overline{AE_n}}\end{array}
Nun musst du noch nach DnCn\overline{D_nC_n} auflösen:
AB=DnCn+2AEnAB2AEn=DnCn\displaystyle \begin{array}{rcl} \overline{AB}&=&\overline{D_nC_n}+2\cdot\overline{AE_n}\\\overline{AB}-2\cdot\overline{AE_n}&=&\overline{D_nC_n}\end{array}
Jetzt alles einsetzen:
DnCn=6  cm25  cmcosφ=6  cm10  cmcosφ\displaystyle \begin{array}{rcl}\overline{D_nC_n} &=& 6\;\text{cm}-2\cdot 5\;\text{cm}\cdot \cos\varphi\\&=&6\;\text{cm}-10\;\text{cm}\cdot \cos\varphi\end{array}

Flächeninhalt bestimmen

Jetzt hast du alle Längen, um den Flächeninhalt des Trapezes zu bestimmen.
AABCnDn=AB+DnCn2h=6  cm+6  cm10  cmcosφ25  cmsinφ=12  cm10  cmcosφ25  cmsinφ=2(6  cm5  cmcosφ)25  cmsinφ=(6  cm5  cmcosφ)5  cmsinφ=30  cm225  cm2cosφsinφ\begin{array}{rcl} A_{ABC_nD_n}&=&\dfrac{\overline{AB}+\overline{D_nC_n}}{2}\cdot h\\&=&\dfrac{6\;\text{cm}+6\;\text{cm}-10\;\text{cm}\cdot \cos\varphi}{2}\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=&\dfrac{12\;\text{cm}-10\;\text{cm}\cdot \cos\varphi}{2}\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=&\dfrac{2\cdot (6\;\text{cm}-5\;\text{cm}\cdot \cos\varphi)}{2}\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=& (6\;\text{cm}-5\;\text{cm}\cdot \cos\varphi)\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=& 30\;\text{cm}^2-25\;\text{cm}^2\cdot \cos\varphi\cdot \sin\varphi\end{array}
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