Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Gleichschenklige Trapeze $A B C_{n} D_{n}$ haben die parallelen Seiten $[A B]$ und $[C_{n} D_{n}]$ . Die Winkel $B A D_{n}$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in ]53{,}13° ;90°]$

Es gilt: $\overline{AB}=6\;\text{cm};\overline{AD_n}=5\;\text{cm}$ .

Die Zeichnung zeigt das Trapez $A B C_{1} D_{1}$ für $\varphi=65°$ .

Zeichnen Sie das Trapez $A B C_{2} D_{2}$ für $\varphi=85°$ in die Zeichnung zu 3.0 ein.

In der folgenden Schritt für Schritt Anleitung siehst du wie du das Trapez mit $\varphi=85\degree$ zeichnen kannst.
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Begründen Sie rechnerisch die untere Intervallgrenze für $\varphi$ .

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $A B C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrisches Trapez
Die Länge $\overline{AB}$ ist schon gegeben. Die Längen $h$ und $\overline{D_nC_n}$ müssen noch berechnet werden.
Zeichne dir hierfür am besten die Höhe $h$ ein. Da sich je nach Winkel $\varphi$ die Höhe so wie $C_{n}$ und $D_{n}$ verändern, kannst du sie auch $h_{n}$ nennen.
Höhe $h_{n}$ berechnen
Das Dreieck $A E_{n} D_{n}$ ist rechtwinklig. Du hast die Seite $\overline{AD_n}$ gegeben. Daher kannst du mit dem Sinus $h_{n}$ bestimmen.
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\sin \varphi &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\\ &=&\dfrac{h_n}{\overline{AD_n}}\end{array}$
Auflösen nach $h_{n}$ und einsetzen von $\overline{AD_n}=5\ \text{cm}$ ergibt:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} h_n&=&\sin(\varphi)\cdot\overline{AD_n}\\&=&5\ \text{cm}\cdot\sin\varphi\end{array}$
$\overline{D_nC_n}$ berechnen
Um nun noch die Länge $\overline{D_nC_n}$ zu bestimmen, kannst du erstmal $\overline{AE_n}$ berechnen. Da $\overline{AD_n}$ gegeben ist, kannst du $\overline{AE_n}$ mithilfe des Kosinus bestimmen.
Mit dem Kosinus bekommst du folgende Gleichung:
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\cos\varphi &=& \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\\ \\ &=&\dfrac{\overline{AE_n}}{\overline{AD_n}}\end{array}$
Auflösen nach $\overline{AE_n}$ und einsetzen von $\overline{AD_n}=5\ \text{cm}$ ergibt:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overline{AE_n}&=&\overline{AD_n}\cdot\cos\varphi\\&=&5\ \text{cm}\cdot\cos\varphi\end{array}$
Mit der Länge $\overline{AE_n}$ kannst du endlich die fehlende Länge $\overline{D_nC_n}$ berechnen. Sie ergibt sich (wie du aus dem Bild erkennen kannst) aus der Gleichung:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overline{AB}=\textcolor{ff6600}{\overline{AE_n}}+\textcolor{009999}{\overline{D_nC_n}}+\textcolor{ff6600}{\overline{AE_n}}=\textcolor{009999}{\overline{D_nC_n}}+2\cdot\textcolor{ff6600}{\overline{AE_n}}\end{array}$
Nun musst du noch nach $\overline{D_nC_n}$ auflösen:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overline{AB}&=&\overline{D_nC_n}+2\cdot\overline{AE_n}\\\overline{AB}-2\cdot\overline{AE_n}&=&\overline{D_nC_n}\end{array}$
Jetzt alles einsetzen:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overline{D_nC_n} &=& 6\;\text{cm}-2\cdot 5\;\text{cm}\cdot \cos\varphi\\&=&6\;\text{cm}-10\;\text{cm}\cdot \cos\varphi\end{array}$
Flächeninhalt bestimmen
Jetzt hast du alle Längen, um den Flächeninhalt des Trapezes zu bestimmen.
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} A_{ABC_nD_n}&=&\dfrac{\overline{AB}+\overline{D_nC_n}}{2}\cdot h\\&=&\dfrac{6\;\text{cm}+6\;\text{cm}-10\;\text{cm}\cdot \cos\varphi}{2}\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=&\dfrac{12\;\text{cm}-10\;\text{cm}\cdot \cos\varphi}{2}\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=&\dfrac{2\cdot (6\;\text{cm}-5\;\text{cm}\cdot \cos\varphi)}{2}\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=& (6\;\text{cm}-5\;\text{cm}\cdot \cos\varphi)\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=& 30\;\text{cm}^2\cdot\sin\varphi-25\;\text{cm}^2\cdot \cos\varphi\cdot \sin\varphi\\& =&(30\cdot \sin\varphi-25\cdot \cos\varphi\cdot \sin\varphi)\;\text{cm}^2\end{array}$
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Den Flächeninhalt des gleischenkligen Trapez bestimmst du über die Formel:
$A_{ABC_nD_n}=\dfrac{\overline{AB}+\overline{D_nC_n}}{2}\cdot h$

$\def\arraystretch{2} \displaystyle \begin{array}{rcl}\cos(\varphi)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}=\dfrac{\overline{AE}}{\overline{D_nA}}\end{array}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{5}$
$\displaystyle \varphi$	$\approx ≈$	$\displaystyle 53{,}13°$

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