In der folgenden Schritt für Schritt Anleitung siehst du wie du das Trapez mit $\varphi=85\degree$ zeichnen kannst.

Verringert man den Winkel $\varphi$, so verringert sich die Seitenlänge $\overline{C_nD_n}$ immer mehr. So verändert sich das gleischschenklige Trapez "irgendwann" zu einem gleichschenkligen Dreieck. Also ist die Untergrenze von $\varphi$ der Winkel, bei dem das Trapez zu einem Dreieck wird.

Um herauszufinden, für welchen Winkel $\varphi$ aus dem Trapez ein Dreieck wird, hilft dir folgendes Bild:

Die Höhe $h$ des Dreiecks halbiert die Seite $[AB]$, daher ist $\overline{AE}=\overline{EB}=3\;\text{cm}$.

Mithilfe des Kosinus kannst du nun den gesuchten Winkel $\varphi$ bestimmen:

Die Länge $\overline{AB}$ ist schon gegeben. Die Längen $h$ und $\overline{D_nC_n}$ müssen noch berechnet werden.

Zeichne dir hierfür am besten die Höhe $h$ ein. Da sich je nach Winkel $\varphi$ die Höhe so wie $C_n$ und $D_n$ verändern, kannst du sie auch $h_n$ nennen.

• Höhe $h_n$ berechnen

Das Dreieck $AE_nD_n$ ist rechtwinklig. Du hast die Seite $\overline{AD_n}$ gegeben. Daher kannst du mit dem Sinus $h_n$ bestimmen.

Auflösen nach $h_n$ und einsetzen von $\overline{AD_n}=5\ \text{cm}$ ergibt:

• $\overline{D_nC_n}$ berechnen

Um nun noch die Länge $\overline{D_nC_n}$ zu bestimmen, kannst du erstmal $\overline{AE_n}$ berechnen. Da $\overline{AD_n}$ gegeben ist, kannst du $\overline{AE_n}$ mithilfe des Kosinus bestimmen.

Mit dem Kosinus bekommst du folgende Gleichung:

Auflösen nach $\overline{AE_n}$ und einsetzen von $\overline{AD_n}=5\ \text{cm}$ ergibt:

Mit der Länge $\overline{AE_n}$ kannst du endlich die fehlende Länge $\overline{D_nC_n}$ berechnen. Sie ergibt sich (wie du aus dem Bild erkennen kannst) aus der Gleichung:

Nun musst du noch nach $\overline{D_nC_n}$ auflösen:

Jetzt alles einsetzen:

• Flächeninhalt bestimmen

Jetzt hast du alle Längen, um den Flächeninhalt des Trapezes zu bestimmen.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} A_{ABC_nD_n}&=&\dfrac{\overline{AB}+\overline{D_nC_n}}{2}\cdot h\\&=&\dfrac{6\;\text{cm}+6\;\text{cm}-10\;\text{cm}\cdot \cos\varphi}{2}\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=&\dfrac{12\;\text{cm}-10\;\text{cm}\cdot \cos\varphi}{2}\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=&\dfrac{2\cdot (6\;\text{cm}-5\;\text{cm}\cdot \cos\varphi)}{2}\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=& (6\;\text{cm}-5\;\text{cm}\cdot \cos\varphi)\cdot 5\;\text{cm}\cdot \sin\varphi \\&=& 30\;\text{cm}^2\cdot\sin\varphi-25\;\text{cm}^2\cdot \cos\varphi\cdot \sin\varphi\\& =&(30\cdot \sin\varphi-25\cdot \cos\varphi\cdot \sin\varphi)\;\text{cm}^2\end{array}$