Gegeben ist $y={\log }_3(x-\mathrm{1,5})+\mathrm{0,5}$. Vertausche $x$ mit $y$ und löse nach $y$ auf.

Jetzt müssen wir noch auf beiden Seiten $\mathrm{1,5}$ addieren.

Die Gleichung lautet dann: $y=3^{x-\mathrm{0,5}}+\mathrm{1,5}$

Die Umkehrfunktion hat dann die Funktionsgleichung:

In der zweiten Aufgabe sollen wir bestimmen, wie weit wir den Graphen von $f_1$ in $x$-Richtung verschieben müssen, damit der Punkt $(-3|\mathrm{2,5})$ auf ihm liegt.

Wir benutzen die Abbildungsgleichung der Parallelverschiebung:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ {\log }_3(x-\mathrm{1,5})+\mathrm{0,5}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{v}_x\\ 0\end{array}\right)$

Da $P(-3|\mathrm{2,5})$ auf dem Graphen von $f_2$ liegen soll, gilt:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ \mathrm{2,5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+v_x\\ {\log }_3(x-\mathrm{1,5})+\mathrm{0,5}\end{array}\right)$

Man erhält zwei Gleichungen:

$-3=x+v_x\Rightarrow x=-3-v_x\text{und}\mathrm{2,5}={\log }_3(x-\mathrm{1,5})+\mathrm{0,5}$

Setze in die zweite Gleichung $x=-3-v_x$ ein und löse nach $v_x$ auf:

Damit haben wir $v_x$ bestimmt.

Für die Gleichung der Funktion $f_2$ folgt dann:

Es ist $x^{\prime }=x+v_x=x-\mathrm{13,5}\Rightarrow x=x^{\prime }+\mathrm{13,5}$.

Andererseits ist $y^{\prime }={\log }_3(x-\mathrm{1,5})+\mathrm{0,5}$.

Setze $x=x^{\prime }+\mathrm{13,5}$ ein:

$y^{\prime }={\log }_3(x^{\prime }+\mathrm{13,5}-\mathrm{1,5})+\mathrm{0,5}\Rightarrow y^{\prime }={\log }_3(x^{\prime }+12)+\mathrm{0,5}$

Die Funktionsgleichung von $f_2$ lautet schließlich:

$f_2(x)={\log }_3(x+12)+\mathrm{0,5}$