Gegeben ist $y=\log_3(x-1{,}5)+0{,}5$. Vertausche $x$ mit $y$ und löse nach $y$ auf.

Jetzt müssen wir noch auf beiden Seiten $1{,}5$ addieren.

Die Gleichung lautet dann: $y=3^{x-0{,}5}+1{,}5$

Die Umkehrfunktion hat dann die Funktionsgleichung:

In der zweiten Aufgabe sollen wir bestimmen, wie weit wir den Graphen von $f_1$ in $x$-Richtung verschieben müssen, damit der Punkt $\left(-3|2{,}5\right)$ auf ihm liegt.

Wir benutzen die Abbildungsgleichung der Parallelverschiebung:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\\log_3(x-1{,}5)+0{,}5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}v_x\\0\end{pmatrix}$

Da $P(-3|2{,}5)$ auf dem Graphen von $f_2$ liegen soll, gilt:

$\begin{pmatrix}-3\\2{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+v_x\\\log_3(x-1{,}5)+0{,}5\end{pmatrix}$

Man erhält zwei Gleichungen:

$-3=x+v_x\;\Rightarrow\;x=-3-v_x\;\text{und}\;2{,}5=\log_3(x-1{,}5)+0{,}5$

Setze in die zweite Gleichung $x=-3-v_x$ ein und löse nach $v_x$ auf:

Damit haben wir $v_x$ bestimmt.

Für die Gleichung der Funktion $f_2$ folgt dann:

Es ist $x'=x+v_x=x-13{,}5\;\Rightarrow\;x=x'+13{,}5$.

Andererseits ist $y'=\log_3(x-1{,}5)+0{,}5$.

Setze $x=x'+13{,}5$ ein:

$y'=\log_3(x'+13{,}5-1{,}5)+0{,}5\;\Rightarrow\;y'=\log_3(x'+12)+0{,}5$

Die Funktionsgleichung von $f_2$ lautet schließlich:

$f_2(x)=\log_3(x+12)+0{,}5$