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Gegeben sind Sechsecke ABnCnDEnFnAB_nC_nDE_nF_n mit der Symmetrieachse ADAD. Der Punkt GG ist der Mittelpunkt der Strecken [CnEn][C_nE_n] und [BnFn][B_nF_n].

Es gilt: AG=4  cm \overline{AG}=4\;\text{cm} und DG=3  cm\overline{DG}=3\;\text{cm}.

Die Winkel BnAFnB_nAF_n haben das Maß φ\varphi und die Winkel EnDCnE_nDC_n haben das Maß 2φ2\varphi mit φ]0;  90[.\varphi\in\,]0^\circ;\;90^\circ\lbrack.

Die Zeichnung zeigt das Sechseck AB1C1DE1F1AB_1C_1DE_1F_1 für φ=40\varphi= 40^\circ.

Bild
  1. Zeigen Sie, dass für die Längen der Strecken [BnFn][B_nF_n] und [CnEn][C_nE_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: BnFn(φ)=8tan(0,5φ)cm\overline{B_nF_n}(\varphi)=8\cdot \textrm{tan}(0{,}5\cdot\varphi)\,\textrm{cm} und CnEn(φ)=6tanφ cm.\overline{C_nE_n}(\varphi)=6\cdot \textrm{tan}\varphi \ \textrm{cm}.

  2. Die Sechsecke ABnCnDEnFnAB_nC_nDE_nF_n rotieren um die Gerade AD AD.

    Zeigen Sie, dass für den Oberflächeninhalt OO der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

    O(φ)=(16πtan(0,5φ)cos(0,5φ)+9πtan(φ)cos(φ)+9πtan2φ16πtan2(0,5φ)) cm2O(\varphi)=\bigg(16\pi\cdot \frac{{\tan(0{,}5\cdot\varphi})}{\cos(0{,}5\cdot\varphi)}+9 \pi\cdot\frac{{\tan(\varphi})}{\cos(\varphi)}+9\pi\cdot \tan^2\varphi-16\pi\cdot \tan^2(0{,}5\cdot\varphi)\bigg)\ \text{cm}^2

  3. Für das Sechseck AB2C2DE2F2AB_2C_2DE_2F_2 gilt: AB2=B2F2=F2A\overline{AB_2}=\overline{B_2F_2}=\overline{F_2A}.

    Zeichnen Sie das Sechseck AB2C2DE2F2AB_2C_2DE_2F_2 in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.

    Berechnen Sie sodann den Oberflächeninhalt des zugehörigen Rotationskörpers. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.